2017年数学真题及解析_2017年北京市高考数学试卷（理科）.pdf

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1、2017年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题.（每小题5分）1.（5 分）若集合 A=x|-2 x V l ,B=xx 3 ,则 A C B=（）A.x|-2 x -1 B.x|-2x3 C.x|-1X1 D.x|lx 2，则x+2y的最大值为（）A.1 B.3 C.5 D.95.（5 分）已知函数 f（x）=3X-（L）x,则 f（x）（）3A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数6.（5分）设 京 W 为非零向量，贝厂存在负数入，使得。入室是味。bc,则a+b c 是假命题的一组整数a,b,c的 值 依

2、次 为.1 4.（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=l,2,3.（1）记 Qi为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Qi，Cb，Ch中最大的是.（2）记 pi为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 pi，P2，P3中最大的是.八零件数（件）*A1B*i,B 3*Al BiA3 工作时间（小时）三、解答题15.（13 分）在ABC 中，ZA=60,c=2a.7（1）求 sinC的值；（2）若 a=7,求AABC的面积

3、.16.（14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD，平面 ABCD,点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC,PA=PD=遍，AB=4.（1）求证：M 为 PB的中点；（2）求二面角B-P D-A 的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.17.（13分）为了研究一种新药的疗效，选 100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y的数据，并制成如图，其中*表示服药者，表示未服药者.(1)从服药的5 0名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于6 0的概率；(2)从图中A,B,C,D四人中随机选

4、出两人，记 为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求 的分布列和数学期望E (1)；(3)试判断这1 0 0名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)f 指；01 7指扁1 8.(1 4分)已知抛物线C：y2=2 px过点P (1,1).过 点(0,1)作直线I与抛2物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线O P、ON交于点A,B,其中。为原点.(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点.1 9.(1 3 分)已知函数 f(x)=exc osx -x.(1)求曲线y二f(x)在 点(0,f(0)处的

5、切线方程；(2)求函数f(x)在区间 0,3 _ 上的最大值和最小值.22 0.(1 3 分)设 a/和 bj 是两个等差数列，记 C n=max bi -a n b2-a2n,bn-ann (n=l,2,3,其中 max x i,X2，Xs表示 Xi,X2,，Xs这 s 个数中最大的数.(1)若an=n,bn=2 n-1,求口，C 2，C 3的值,并证明 c j是等差数列；(2)证明：或者对任意正数M,存在正整数m,当n 2m时，区 M；或者存在正整数m,使得C m，C m.l，C m.2,.是等差数列.2017年北京市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题.(每小题5分)1.(5

6、 分)若集合 A=x|-2 x 3 ,则 AC1B=()A.x|-2 x -1 B.x|-2x3 C.x|-1X1 D.x|l x3,.*.AAB=x|-2 x 0【解答】解：复 数(1-i)(a+i)=a+l+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限，a+l 0解得a V-L则实数a的取值范围是(-8,-1).故 选:B.【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.(5分)执行如图所示的程序框图，输出的S值 为()A.2 B.C.a D.图 2 3 5【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程

7、序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=l,S=2,当k=l时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=2,S=3,2当k=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后，k=3,S=l,3当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：”，3故选：C.【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.x 4 34.（5分）若x,y满足,x+y 2，则x+2y的最大值为（）A.1 B.3 C.5 D.9【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可.x 4

8、 3【解答】解：x,y满足,x+y 2的可行域如图：,X由可行域可知目标函数z=x+2y经过可行域的A时，取得最大值，由，*=3,可得I x=yA(3,3),目标函数的最大值为：3+2X3=9.故选：D.【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键.5.(5 分)已知函数 f(x)=3X-(1)x,则 f(x)()3A.是奇函数，且 在 R 上是增函数 B.是偶函数，且 在 R 上是增函数C.是奇函数，且 在 R 上是减函数 D.是偶函数，且 在 R 上是减函数【分析】由已知得f(-X)=-f(x),即函数f(x)为奇函数，由函数y=3x为增函数，y=(L)x

9、为减函数，结合“增-减=增 可得答案.3【解答】解：f(x)=3X-(JL)X=3X-3 X,3/.f(-x)=3 x-3X=-f(x),即函数f(x)为奇函数，又由函数y=3x为增函数，y=(L)x为减函数，3故函数f(X)=3 X-(1)X 为增函数，3故选：A.【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题.6.（5 分）设W 为非零向量，则 存在负数入，使得入会是腺SV O 的（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】7,3 为非零向量，存在负数入，使得入1则向量

10、7,款线且方向相反，可得irn 0.反之不成立，非零向量ir，n的夹角为钝角，满足irnO，而泡人二不成立.即可判断出结论.【解答】解：7,7；为非零向量，存在负数入，使得入1则向量7,款 线 且 方向相反，可得ir*n0.反之不成立，非零向量7,的夹角为钝角，满 足/7；n为非零向量，则 存在负数入，使得卡入。是irn0）的离心率为百，m可得：邛班，解 得m=2.故答案为：2.【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力.10.（5分）若等差数列 和等比数列也 满 足ai=bi=-1,a4=b4=8,则 也 1.b2【分析】利用等差数列求出公差，等比数列求出公比，然后求解第二项，即可得到结

11、果.【解答】解:等 差 数 列 国 和等比数列也 满 足ai=b1=-l,a4=b4=8,设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q.可得：8=-l+3d,d=3,32=2；8=-q 3,解得 q=-2,b2=2.可得b2故答案为：L【点评】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式的应用，考查计算能力.11.（5分）在极坐标系中，点A在 圆p2-2pcos8-4psin8+4=0上，点P的坐标为（1,0）,则I API的 最 小 值 为1.【分析】先将圆的极坐标方程化为标准方程，再运用数形结合的方法求出圆上的点到点P的距离的最小值.【解答】解：设 圆p2-2pcos0-4psin0+4=O为 圆C

12、,将 圆C的极坐标方程化为:x2+y2-2x-4y+4=0,再化为标准方程:(x-1)2+(y-2)2=1；如图，当A在CP与。C的交点Q处时，AP|最小为：|AP|min=|CP|-rc=2-1=1,故答案为：1.【点评】本题主要考查曲线的极坐标方程和圆外一点到圆上一点的距离的最值,难度不大.12.(5分)在平面直角坐标系xO y中，角a与 角B均 以O x为始边，它们的终边关于y轴对称，若sina=L 则cos(a-P)=_-.3 9【分析】方法一：根据教的对称得到sina二sinB二L,cosa=-c o s p,以及两角差的3余弦公式即可求出方法二：分a在第一象限，或第二象限，根据同角

13、的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：角a与 角B均 以O x为始边，它们的终边关于y轴对称,.*.sina=sinP=-L,cosa=-cosp,3cos(a-P)=cosacos|3+sinasinp=-cos2a+sin2a=2sin2a-1=-1=-L9 9方法二：Vsina=,3当a在第一象限时，cosa=2,3a,B角的终边关于y轴对称，B 在第二象限时，sinP=sina=-L,cos0=-cosa=-a巨，3 3/.cos（a-P）=cosacosP+sinasinP=-2-X ZZ.+_Lx_L=-L3 3 3 3 9：Vsina=,3当a在第二象限

14、时，cosa=叵，3a,0角的终边关于y轴对称，3 在第一象限时，sinP=sina=,cos|3=-cosa=*/,3 3/.cos（a-P）=cosacosP+sinasinP=-3;但X当但+L x L=-工3 3 3 3 9综上所述cos（a-p）=-,9故答案为：-工9【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题13.（5分）能够说明“设a,b,c是任意实数.若a b c,则a+bc是假命题的一组整数a,b,c的值依次为-1,-2,-3 .【分析】设a,b,c是任意实数.若a b c,则a+bc是假命题，则若ab c,则a+bWc”是真命题，

15、举例即可，本题答案不唯一【解答】解：设a,b,c是任意实数.若a b c,则a+bc是假命题，则若a b c,则a+bWc”是真命题，可设a,b,c的值依次-1,-2,-3,（答案不唯一），故答案为：-1,-2,-3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题.14.（5分）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中A的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=l,2,3.（1）记Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi，Cb，6中最大的是Q i _.（2）记Pi为第i名工人在这

16、一天中平均每小时加工的零件数，则Pl，P2,P3中最 大 的 是P2.T零件数（件）A1*B1 7 3A1 31A3 工作时间（小时）【分析】（1）若Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Qi=A的综坐标+Bi的纵坐标；进而得到答案.（2）若pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则Pi为AB i中点与原点连线的斜率；进而得到答案.【解答】解：（1）若Q为第i名工人在这一天中加工的零件总数，Q i=Ai的纵坐标+B i的纵坐标；Q2=A2的纵坐标+B2的纵坐标，Cb=A3的纵坐标+B3的纵坐标，由已知中图象可得：Qi,Cb，Q3中最大的是Q i，（2）若pi为第i名工人在这一天

17、中平均每小时加工的零件数，则Pi为AiBi中点与原点连线的斜率，故Pl，P2，P3中最大的是P2故答案为：Q l，P2【点评】本题考查的知识点是函数的图象，分析出Q和Pi的几何意义，是解答的关键.三、解答题15.（13 分）在aABC 中，ZA=60,c=2a.7(1)求sinC的值;(2)若a=7,求AA BC的面积.【分析】(1)根据正弦定理即可求出答案，(2)根据同角的三角函数的关系求出cosC,再根据两角和正弦公式求出sinB,根据面积公式计算即可.【解答】解：(1)NA=60。，c=a,7由正弦定理可得sinC=EsinA=X返二工巨，7 7 2 14(2)a=7,则 c=3,/.C

18、 A,由(1)可得 cosC=H,14 _ _/.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=V.X X,_ 2 14 2 14 7*SAABC=皂 csinBX 7 X 3 X血6代.2 2 7【点评】本题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式，属于基础题16.(1 4分)如图，在四棱锥P-AB C D中，底面ABCD为正方形，平面PAD，平面 A B C D,点 M 在线段 PB 上，PD平面 MAC,PA=PD=J,AB=4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B-PD-A的大小；(3)求直线M C与平面BDP所成角的正弦值.【分析】(1)设A C n

19、B D=O,则。为B D的中点，连接0 M,利用线面平行的性质证明OMP D,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；(2)取A D中点G,可得PGJ_AD,再由面面垂直的性质可得PG_L平面ABCD,则PG_LAD,连接。G,则P G L O G,再证明O G L A D.以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A的大小；(3)求出而的坐标，由而与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线M C与平面BDP所成角的正弦值.【解答】(1)证明：如图，设ACnBD=O

20、,YABCD为正方形，0为BD的中点，连接0M,：PD平面 MAC,PDu 平面 P B D,平面 PBD A平面 AMC=OM,，PDO M,则BO 即M为PB的中点；BD-BP(2)解：取A D中点G,VPA=PD,A PGAD,平面PAD_L平面AB C D,且平面PAD A平面ABCD=AD,，PGJ_ 平面 A B C D,贝 lj PG，A D,连接 O G,贝 IPG LOG,由G是A D的中点，。是AC的中点，可得OGD C,则OG_LAD.以G为坐标原点，分别以GD、G。、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由 PA=PD=7,A B=4,得 D(2,0,0),A(

21、-2,0,0),P(0,0,&),C(2,4,0),B(-2,4,0),M(-1,2,返)，2DP=(-2,0,DB=(-4,4,0)-设平面PBD的一个法向量为U(x,y,z)，则由 可=。，得卜:x+/：。，取z=&,得彘(i,i,加).,m-DB=0 l-4x+4y=0取平面PAD的一个法向量为X(0,1,0)-*.cos=1m Im lln l 2X1 2二面角B-PD-A的大小为60；(3)解：M=(-3,-2,零)，平面BDP的一个法向量为常(i,1,6，直线 M C与 平 面B D P所 成 角 的 正 弦 值 为Icos V石7 【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用

22、空间向量求空间角，属中档题.17.（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中*表示服药者，+表示未服药者.（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；（2）从图中A,B,C,D四人中随机选出两人，记 为选出的两人中指标x的值大 于1.7的人数，求 的分布列和数学期望E（1）；（3）试判断这100名患者中服药者指标v数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论）【分析】（1）由图求出在5 0名服药患者中，有15名患者指标y的值小于6

23、0,由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率.（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7,而 B、D两人则小于1.7,可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7 的人数 的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和E （1）.（3）由图知1 0 0 名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大.【解答】解：（1）由图知：在 5 0 名服药患者中，有 1 5 名患者指标y的值小于6 0,则从服药的5 0 名患者中随机选出一人，此人指标小于6 0 的概率为：n_15,350 10（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7,而

24、 B、D两人则小于1.7,可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7 的人数 的可能取值为0,1,2,p (=1)C2 3的分布列如下:012PT2E(O=0 x|+1xf+2 X-l.（3）由图知1 0 0 名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大.【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题.18.（14分）已知抛物线C：y2=2px过点p（1,1）.过 点（0,1）作直线I与抛2物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP

25、、O N交于点A,B,其中。为原点.（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段B M的中点.【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）.代值求出P，即可求出抛物线C的方程,焦点坐标和准线方程；（2）设过点（0,）的直线方程为y=kx+L,M（x i，y i）,N（X2，丫2），根据韦2 2达定理得到Xi+X2=!也，X 1 X 2=,根据中点的定义即可证明.k2 4 k2【解答】解:（1）；y2=2px过点P（1,1）,：.l=2p,解得p=2/.y2=x,.焦点坐标为（1，0）,准线为X=-L,4 4（2）证明：设过点（0,1）的直线方程为2y=kx+,M（x i，

26、y i）,N（X2，丫2），2二直线（为丫=*,直线O N为：y=%,x2由题意知 A（x i，x i）,B（x i，卫2）,x2（,1由 1 2,可得|0,d iV O三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得Cm,Cm-l，Cm，2,是等差数列；设&An+B+弓对任意正整数M,n n存在正整数m,使得nm,&L M,分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任n意正数M,存在正整数m,使得当n m时，3 _ M.n【解答】解：(1)31=1,32=2,33=3,bi=l,b2=3,b3=5,当 n=l 时，ci=max bi-a j=max 0=0,当 n=2 时,C2=maxbi-2ai,

27、b2-2=max-1,-1=-1,当 n=3 时，C3=maxbi-3ai,b2-3a2,bs-3a3)=max-2,-3,-4=-2,下面证明：对V n N*,月.n N 2,都有Cn=bi-nai，当 n E N*,且 2 0,且 2-nWO,则(bk-nak)-(bi-nai)W O,则 bi-naibk-nak,因 止 匕，对V nN*,月.nN2,cn=bi-nai=l-n,Cntl-C n=-1，C 2 -Ci=-1,.Cn.l-C n=-1 对V nN*均成立，数列 C n是等差数列；(2)证明：设数列 a j和 bn的公差分别为di,d 2,下面考虑的Cn取值，由 b i-a

28、m，b2-azn,bn-ann,考虑其中任意bi-am,(i N*,且lW W n),则 bi-ain=bi+(i-1)di-ai+(i-1)dzl X n,=(bi-ain)+(i-1)(ch-d iX n),下面分di=O,di0,diVO三种情况进行讨论，若 di=O,贝ij bi-am(bi-ain)+(i-1)ch，当若 chW O,则(bi-am)-(bi-ain)=(i-1)dzWO,则对于给定的正整数n而言，cn=bi-a in,此时C n+i-C n=-ai，数列 C n是等差数列；当 d20,(bi-am)-(bn-ann)=(i-n)d20,则对于给定的正整数n而言，Cn

29、=bn-ann=bn-ain,此时 C n+l C n dz-a,数列 C n是等差数列；此时取m=l,则Ci，C2,是等差数列，命题成立；若d i 0,则此时-din+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故 必 存 在N*,使得n 2 m时，-din+d2V0,则当 n2m 时,(bi-am)-(bi-ain)=(i-1)(-din+dz)WO,(iG N*,1WiWn),因此当n 2 m时，cn=bi-am此时Cml-C n=-ai，故数列 cn从第m项开始为等差数列，命题成立；若d i0,则当 n s 时，(b-an)-(bn-ann)=(i-1)(-ckn+d2)WO,(i

30、N*,iW iW n),因此，当 n，s 时，cn=bn-ann,止 匕 时 二 2=-an+n nb-d=-dzn+(d i-ai+d2)+,n令-di=A 0,di-ai+d2=B,bi-ch二C,下面证明：&GAn+B+C对任意正整数M,存在正整数m,使 得nm,至 M,n n n若C 2 0,取m=M-BI+M,x 表示不大于X的最大整数，A当 n 2 m 时，S-，An+B，Am+B=AlZJ-+l+BAtL+B=M,n A A此时命题成立；若 C A.IMV-B I+B+C2 M -C-B+B+C=M,n n A此时命题成立，因此对任意正数M,存在正整数m,使得当n N m时，区 M；n综合以上三种情况，命题得证.【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查 放缩法 的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题.