河北省衡水2021-2022学年高三下学期第一次联考数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3 .请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4 .作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四

2、个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.数列%满足：。“+2+%=4+1，4=1,“2=2,S”为其前 项和，贝 2019=（）A.0 B.1 C.3 D.42.如图所示的程序框图，若输入a =4,b=3,则输出的结果是（）A.6 B.7 C.5 D.8x+y-l 0A.-B.C.13 D.J 132 24 .在关于x的不等式以2+2%+1 0中，是“依2+2%+1 0恒成立”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件x-+3 05.已知实数X，），满足约束条件x +2y N 0，则z =3 x +y的最小值为（）x 2A.-5 B.2 C.7 D.11

3、6.已知。=（1,3）,坂=（2,2）,0=（,一1）,若贝!1等 于（）A.3 B.4 C.5 D.67.给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是（）A.和 B.和 C.和 D.和8.设 i 是虚数单位，若复数z =l +i,则 +z2=（）zA.1 +z B.-i C.-1-z D.-+i9.博览会安排了分别标有序号为“1 号”“2 号”“3 号”的三辆车，等可能随机顺

4、序前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为Pl,P 2,则（）1 1 5A.Pi*P2=B.P i=P 2=-C.Pi+Pz=-D.P1VP24 3 610.一辆邮车从A地往3地运送邮件，沿途共有地，依次记为4，（A为 A地，4 为 3地）.从 4地出发时，装上发往后面-1地的邮件各1 件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1 件，记该邮车到达4，&,儿各地装卸完毕后剩余的邮件数记为

5、伙=1,2,则 4的表达式为（）.A.k n-k +V)B.k(n-k-1)C.n(n-k)D.k(n-k)11.地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是清洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近 10年来,全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014 年累计装机容量就突破了 1 O O G W ,达到114.6G W,中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.根据所给信息，正确的统计结论是（）A.截止到2015年中国累计装机容量达到峰值B.10年来全球新增装机容量

6、连年攀升C.10年来中国新增装机容量平均超过2 0 G WD.截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过13O12.已知 4 为正项等比数列，S“是它的前”项和，若 q=1 6,且 4与 附 的等差中项为晟，则 S5的值是（）OA.29 B.3 0 C.3 1 D.3 2二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 20分。13 .三对父子去参加亲子活动，坐在如图所示的6 个位置上，有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有 种（比如：5 与。、8 与 C是相邻的，A与。、C与。是不相邻的）.14 .某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1 桶需耗A原 料 1 千克、3原料2 千

7、克；生产乙产品1 桶需耗A原料2 千克，8 原 料 1 千克.每桶甲产品的利润是3 00元,每桶乙产品的利润是4 00元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗4B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是_ _ _ _ _ _ _ _ _元.15.若存在直线/与函数f（x）=（x 0）及 g（x）=/+a的图象都相切，则实数。的最小值为.X16.设=1 一9 0。：。+9。2叱-9。3 品+（琰 9 0七 2+9（y C：；,则除以8 8 的余数是,三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12分）在平

8、面四边形ACBO（图）中，AABC与 A A 5。均为直角三角形且有公共斜边AB,设 A B =2,NBAD =3 0。，/8 4C=4 5。，将 A A B C 沿 A8 折起，构成如图所示的三棱锥C 一ABO,且使。=行.（1）求证：平面C A B-L 平面ZMB；（2）求二面角A-3的余弦值.18.（12分）x）=l n x-a r 有最大值，且最大值大于0.（1）求。的取值范围；当 a =g时，/（X）有两个零点玉,工 2（玉 ），证明：xx2 1).(1)求当日产量为3吨时的边际成本(即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数)；(2)记每日生产平均成本上=加,求证：机16；X

9、2几(3)若财团每日注入资金可按数列为=一(单位:亿元)递减，连续注入6()天，求证:这6()天的总投入资金大于4 -1功11亿元.21.(12分)如图,四棱锥P-A B C。中，平面厚，平面A B C。,底面A B C D为梯形.A B/C DA 0=2Z)C =2j 5,且APAD与AABD均为正三角形.E为AD的中点，G为 P A D重心,AC与8。相交于点尸.求证:G/7/平面尸OC；(2)求三棱锥G-P C D的体积.22.(10分)已 知A A B C的面积为、工，且 福 衣=一1.2(1)求角A的大小及8 C长的最小值；(2)设M为3c的中点，且AM=Y3，Z B A C的平分线

10、交8 c于点N,求线段MN的长.2参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】用+1去换4+2 +4,=4川中的，得氏+3+。e=。“+2,相加即可找到数列 4 的周期，再利用S 2 0 1 9 =336s6+q+4 +%计算.【详解】由已知，an+2+an=an+l,所以限+-=*，+，得4+3=a”，从而4+6=%，数列是以6 为周期的周期数列，且前6 项分别为1,2,1,-1,-2,-1,所以1=0,S，o i 9 =336(6+a、+,+4)+%+a-+%=0+l +2+l =4.故选：D.【点睛】本题考查

11、周期数列的应用，在求S.时，先算出一个周期的和即S 6,再将23 9表示成336s6+4+4+%即可，本题是一道中档题.2.B【解析】列举出循环的每一步，可得出输出结果.【详解】i =4,5=3,不成立，s=3?=9，Z=4+1=5；S /2不成立，5=92=81,z=5+l =6；不成立，S=8F=6561,i =6+l=7；S /成立，输出i的值为7.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.3.C【解析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值.【详解】,x+y-1=0解：f +）,2表示可行域内的点（X,）,）到

12、坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由 工+2=0y =3解得=为即 A（2,3）点A（-2,3）到坐标原点（0,0）的距离最大，即，+=（一犷+32=13.故选：C.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题.4.C【解析】讨论当。1时，加+2x +l 0是否恒成立；讨 论 当 加+2x +l 0恒成立时，。1是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时，=4-4”o恒成立；当62+21+1 0恒成立时，若。=0,则2 x+l 0不恒成立，不符合题意，Q 0若时，要 使 得?+2元+1 0恒成立，贝！,即。1.二 4 -4。1 ”是“依

13、2 +1 o恒成立”的充要条件.故选:c.【点睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若=4,则推出。是 q的充分条件；若 q n p,则推出。是q的必要条件.5.A【解析】根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.【详解】x-y+3 0由约束条件，x+2 y 0,画出可行域AABC如图x z2=(l+z)2.i 则 +z=-i-2i-i-2i i i+2i +i,z 1 +z(l+z)(l-z)故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题9.C【解析】将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即

14、可.【详解】三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、3213方案一坐车可能：132、213、2 3 1,所以，Pi=；62方案二坐车可能：312、3 2 1,所以，Pi=；6所以 Pl+P2=36故选c.【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题.1 0.D【解析】根据题意，分析该邮车到第站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案.【详解】解：根据题意，该邮车到第Z站时，一共装上了(-1)+(-2)+(-6=2 二 资 包件邮件,需要卸下1 +2 +3 +(%-1)=空5件邮件，皿 I(2 n-1-k)x k

15、k x(k-)贝!J ak=-=k(n-k),故选：D.【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题.1 1.D【解析】先列表分析近1 0 年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.【详解】年份2009201020112012201320142015201620172018累计装机容量158.1197.2237.8282.9318.7370.5434.3489.2542.7594.1新增装机容量39.140.645.135.851.863.854.953.551.4中国累计装机装机容量逐年递增，A错误；全球新增装机容量在2 0 1 5 年之后呈现下降

16、趋势，5错误；经计算，1 0 年来中国新增装机容量平均每年为1 9.7 7 G W,选 项 C错误；截止到2 0 1 5 年中国累计装机容量1 9 7.7 G W,全球累计装机容量5 9 4.1 1 5 8.1=436GW,占比为4 5.3 4%,选项O正确.故选：D【点睛】本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题.1 2.B【解析】设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求.【详解】设正项等比数列的公比为q,则 a4=16q3,a7=16q6,9a 与 a 的等差中项为G，o9即有 34+37=949B P 16

17、q3+16q6,=,4解 得 q=；（负值舍去），则有3业M/L.1q 1 _ 12故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.192【解析】根据题意，分 2 步进行分析：，在三对父子中任选1对，安排在相邻的位置上，将剩下的4 人安排在剩下的4个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，分 2 步进行分析：，在三对父子中任选1对，有 3 种选法，由图可得相邻的位置有4 种情况，将选出的1对父子安排在相邻的位置，有 3 x 4 =12种安

18、排方法；，将剩下的4 人安排在剩下的4 个位置，要求父子不能坐在相邻的位置，有 2 x 2 x 2 x 2 =16种安排方法，则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法16x 12=192种；故答案为：192【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.14.1 元【解析】设分别生产甲乙两种产品为X桶，y桶，利润为z元x+2y 0 且x,y&N目标函数z =3 0 0 x+4 0 0 y ,作出可行域，如图所示作直线L：3 x+4 y =0,然后把直线向可行域平移,由图象知当直线经过A时，目标函数z =3 0 0 x+4 0 0)，的截距最大，此时z最大,x+2 y=1 22

19、x+y=l 2x=4可得 .即A(4,4)尸4此时 Z 最大 z =3 0 0 x 4 +4 0 0 x 4 =2 8 0 0 ,即该公司每天生产的甲4桶，乙4桶，可获得最大利润，最大利润为1.【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值，根据条件建立不等式关系，以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键.1 5.一 逑2【解析】设直线/与函数/(X)及g(x)的图象分别相切于A(皿，)(加0),8(,/+/，tn因为/(x)=-V，所以函数/(x)的图象在点A处 的 切 线 方 程 为=即y=-4x +2,因为X m m irv mg (x)=2 x,所以函数g(x)的图象在点B处的切线

20、方程为y-n 2-a=2(x-)，y =2nx-n2+a,因为存在直线/与函数“X)及g(x)的图象都相切，所以 m,所以 =2 2 4?m-n+=.m令f =_l(f 0),设(0 =匕4+2/0),则)=户+2,m 4当/-短 时，/。)0,函数力单调递减；当-蚯 f 0,函数力单调递增,所以W)m i“=(-啦)=-孚，所以实数”的最小值为-当16.1【解析】利用二项式定理得到=8夕,将89写 成1+88,然后再利用二项式定理展开即可.【详解】=(1 一90产=84=(1+88)i=1 +88C：o+882%+883C+8 8 y,因展开式中后 面10项均有88这个因式，所以除以88的余

21、数为L故答案为：1【点睛】本题考查二项式定理的综合应用，涉及余数的问题，解决此类问题的关键是灵活构造二项式，并将它展开分析，本题是一道基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析；(2)-巫135【解析】(1)取4 8的中点O,连接CO,。，证得C O L O O,从而证得C，O_L平面48。，再结合面面垂直的判定定理，即可证得平面C4?J平面D A B;(2)以。为原点，AB,0C所在的直线为y轴，z轴，建立的空间直角坐标系，求得平面ACZ和 平 面 的 法 向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)取4 5的中点。，连接CO,D O,

22、在 RfA 和 KfA AO8 中，A B=2,则 CO=00=1,又 C D=y/2，所以 CO?+D O2=CD2，即 CO OD,又 C0_L48,S.ABCOD=O,u 平面 A SO,所以 CO _L平面 A8Z),又COu平面CAB,所以平面C A B，平面D A B(2)以。为原点，AB,0C所在的直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(垂)则 4(0,-1,0),8(0,1,0),。(0,0,1),D-y,-,0 ,7所 以 正=(0,1,1)，5 c;=(0,-l,l)C D=(6 1 JT,25-1设平面A C。的法向量为 i=(%,%,z j则LAC1CD即n,

23、AC=0 8 =。代入坐标得y+Z|=0,也工 n，彳 玉+/一10令Z =l,得y=-1,%=#),所以勺=(6,1,1),设平面5 c。的法向量为2=(.x2,y2,z2),n B C ”8 C =0 t 2则，八，即:，力代入坐标得G 1&A-C D%。D。X)1%、2 2令 Z,=1,得 力=1,X,=所 以 小=,1,1 ,3 I 3 I所以=生上=吗J 3+1+1 q+i+i【点睛】本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计

24、算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.(1 8.(1)0,-;(2)证明见解析.【解析】(D求出函数y=/(x)的定义域为(0,+“)，r(x)=竺，分aM O和。0两种情况讨论，分析函数y=/(x)的单调性，求出函数y=/(x)的最大值，即可得出关于实数。的不等式，进而可求得实数。的取值范围；(2)利用导数分析出函数y=在(0,3)上递增，在(3,转)上 递 减，可得出0芯 3 0,进而得出，再由函数y=/(x)在区间(3,+o。)上的单调性可证得结论.x J【详解】(1)函数.f(x)=ln x-仪的定义域为(),+功，且 尸(力=上0.当时，对任意

25、的x 0,/(x)0,此时函数y=/(x)在(0,+a)上为增函数，函数y=/(X)为最大值；当40时，令/(力=0,得X =当0 x 0,此时函数y=/(x)单调递增；当X：时，r(x)0,解得0 a ).综上所述，实数。的取值范围是0。,；e(2)当a=g时，/(x)=l n x-g x,定义域为(0,+“)，1 1 丫y，(x)=上=，当0%0；当x 3时，/(x)0.x 3 3 x所以，函数y=x)的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(3,+8).由于函数y=X)有两个零点X、且 为 ，0 !3%2,=f M-f =此玉一寸-In-=3 1 n x,-+-y-ln 3 0,J 1

26、%J I 3 J I%J 1Y 1 Q构造函数g(x)=3 1 n x-+7-ln 3 0,其中0 尤 3,”、3 1 20g(力=；一 丁 丁X3-9X2+603x3令/z(x)=9x?+60,(x)=3f-18x=3x(x-6),当0尤3时，(x)妆3)=6 0,则g(x)0.所以，函数y=g(x)在区间(0,3)上单调递减,/0%,g(3)=31n3 1 +?一ln30=ln0.9+0,(QOA (an)(an、即/(犬2)一/=/(办)/=g(X1)O，即/()/丁1 7 J X J30 30 10 o/、/、.0X3且 3,而函数y=/(x)在(3,+oo)上为减函数,30,所以，x

27、z ,因此，xx2 k e Z.2 1219.(1)。=2,(p=t(2)k7t,k7r H k G.Z,3 L 12 12_【解析】(1)直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果.(2)首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果.【详解】(1)由题意得口=2,小十 3卜 山(2尤+年卜。s(2+?)3 =小+讣8口4卜 抽(2%+总+8$,+总V2 sinf 2x+y.T C.T C._ kjT 7 V由 2 x d =kjr H f 解得 x=-1 93 2 2 1 2所以对称轴为x=-1,keZ.2 1 2n TT n由 2k兀 2 x+2攵)+,

28、2 3 2解得 k7 T -X1)的导函数，由此求得求当日产量为3吨时的边际成本.(2)将所要证明不等式转化为证明2 1 n x-x+J 0,构造函数(x)=2 1 n x-x+J,利用导数证得(x)lnll.4/1-1 4 1 2-1 2/1 +1)2 2n-J【详解】(1)因为y =3y2rl2nx,(x l)_ 32x 6 4 x lnx所以,二口一百1当x =3时，y|A=3=1 2-31 n3(2)要证 1 6,xX2-1 1 1只需证2 1n x即证21 nx x +21nxx1(2+1 2-1 41 2-1 2n+l J所以2+12/1-12-1 _ _ f 2n+l21n-2+

29、1-12-1所 以 可gln2+12/2-1J所以 S eo 3+In(+In得)=gin 121=In 11【点睛】本小题主要考查导数的计算，考查利用导数证明不等式，考查放缩法证明数列不等式，属于难题.21.(1)见 解 析(2)昱2【解析】(1)第(1)问，连AG交P。于H,连接C”.证明G f HC,即证G F/平面PDC.(2)第问，主要是利用体积变换，VG-PCD=VF-PCD=Vp_cDF g p E x S，求得三棱锥 G 一 P C D 的体积.【详解】(1)方法一：连AG交PD于H,连接C”.2由梯形ABC。，4 8|。且48=2。，知一=-F C 1A(Z 2又E为AO的中

30、点，G为/%的重心，二=-GH 1AG A F 2在A4HC中，=一，故G/H C.GH F C 1又 平面 PCD,G F D 平面 PC。,GF/平面 PDC.方法二：过 G 作 GN|A。交 PD于 N,过 F 作 FM|AD交 CD于 M,连 接 MN,N PC1 9 2 2/6为4 PAD 的重心，G N =-E D =-y5.D E P E 3 3 3r 位 NR C D 1 C F 1又 ABCD 为梯形，A B|C D,=,-=.A B 2 A F 2.M F 1 .2 仄.-=,M F=/3,:.G N F M.A D 3 3又由所作GN|AD,FM|AD,得GN F M,所

31、以GNMF为平行四边形.因为 GF|MN,GF 8,；.6/|平面PCD(2)方法一:由平面BAD，平面ABC。，与 AABZ)均为正三角形，E 为 A O 的中点A P E A D,B E工A D,得 PE_L平面 A 3 C D,且 PE=3由 知 6 平 面 的，.展 展CD=%=；XPEXSASFI 2又由梯形 ABCD,AB|CD,且 4 5 =2。=2百，知 D F =B D =q 逝又 ZVL8D为正三角形，得N C D F =A B D=6 0，；S.ArC OnFF =-x C D x D F xsi nZ B D C =,22得 Vp CDF=LXP EX SASF=.三棱

32、锥G -P C D的体积为且.方法二：由平面平面ABC。，AE4Q与 均 为 正 三 角 形，为A D的中点:P E L AD,B E AD,得PE_L平面A 3 C D,且PE=32 2 2 2 1由 P G =P E ,.VG_PCD=_ YE-PCD=q%_CDE=义 飞 义 P Ex SS C D E而又AARD为正三角形，得NEDC=120，得Sd”L D所匕=-xCxZ)xsinZC=-.2 4.1Z _ 2 1 0-_2 1 _ 3 _ V 3-CDF=XX P E X S&CDF=W，.三棱锥G-P C D的体积为3.2?冗 L J l22.（1）A=,BCm.n=46；（2）

33、M N =J.3 6【解析】（1）根据面积公式和数量积性质求角A及最大边。；（2）根据AM的长度求出匕，。再根据面积比值求BM,B N 从而求出M N.【详解】(1)在 AABC 中，由 4月.4。=-1,得 cZ?cosA=-l,由 SBC-，得。csin A=G，所以 0c)2(cos2 A 4-sin2 A)=4,所以c=2,cosA =-,224因为在AA3C中，0 A 所以2AM=AB+AC，因为AM=,所以（2而y=（丽+/）2=从+2-2=3,2所以k+/5,由(1)知。c =2,所以Z?=l,c =2或=2,c =l,所以 a2=b2+c2-2Z?c c o s A=J 7，TT IT因为 4V为角平分线，5i W fi N=-A B.A 7 V si ny,SM C N=-A C-A Nsin-,.SM B N_C_ B N 一 S.N b CN 2 或 2所以B M=包,8 N =也 或3且，2 3 3所以MN=立.6【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用，属于中档题.