2023年北师大版初中数学知识点总结.pdf

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1、初中数学知识点总结第一章实数考点一、实数的概念及分类1、实数的分类写 国 数 j有理数 G 年 限小数和无限循环小数实数 负有理数哆W数 无理数 L 无限栗循环小数负无理数2、无理数在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：(1)开方开不尽的数，如伤等；(2)有特定意义的数，如圆周率兀,或化简后具有n的数，如三+8等；3(3)有特定结构的数，如0.等；(4)某些三角函数，如s i n60。等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值1、极反数：实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所相应的点关于原点对称，假如a

2、与b互为相反数，则有a+b=0,a=b,反之亦成立。2、绝 对 值:一个数的绝对值就是表达这个数的点与原点的距离,|a|加。零的绝对值时它自身，也可当作它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|=-a,则a平方根:假如一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。一个数有两个平方根，他们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。正数a的平方根记做“土 右”。2、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。a(a 0)4a z0=|=Y;注意G的双重非负性：y-a(a 03、立方根：假如一个数的立方等于a,那么这个

3、数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注 意:金 =-V Z,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。考点四、科学记数法和近似数1、有效数字:一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。2、科学记数法：把一个数写做0X10的形式，其中l4 a 0ab,a-b =0a=b,a-h 0 o a a b=1 tz=b a 0)a(a 0)-a(a Q,b 0)0,Z?0)(2)5、二次根式混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序同样，先乘

4、方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去括号)。第三章方程(组)考点一、一元一次方程的概念1、方程:具有未知数的等式叫做方程。2、方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质(1)等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。(2)等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式。4、一元一次方程只 具 有 一 个 未 知 数，并 且 未 知 数 的 最 高 次 数 是 1的 整 式 方 程 叫 做 一 元 一 次 方 程，其 中 方 程ox +人=0(x 为 未 知 数，a 工0)叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数

5、x的系数，b是常数项。考点二、一元二次方程I、一元二次方程：具有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式：a/+8 x+c =O(aH O),特性:等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中a/叫做二次项，a 叫做二次项系数；b x叫做一次项，b叫做一次项系数；c 叫做常数项。考点三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：运用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法合用于解形如(x+a)2 =b 的一元二次方程。根据平方根的定义可知，x+a 是 b 的平方根，当时，x+a=+4b,x=-a 土当

6、 b 0)2a4,因式分解法：因式分解法就是运用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法筒朴易行,是解一元二次方程最常用的方法。考点四、一元二次方程根的判别式根的判别式:一元二次方程ax?+Z?x+c =O(a w O)中，b-4 a c 叫做一元二次方程a d +Z zx+c =0(a70)的根的判别式，通 常 用“A ”来表达，即 =-4ac考点五、一元二次方程根与系数的关系假如方程以2+b x +c =0(a w 0)的两个实数根是孙x2,那么内+=一土，*=一。也就是说，对于任何a a一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等

7、于常数项除以二次项系数所得的商。考点六、分式方程1、分式方程:分母里具有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程的一般方法:解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根:将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应当舍去；若不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。考点七、二元一次方程组1、二元一次方程：具有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一

8、次方程。2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。4、二元一次方程组的解:使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。5、二元一次方正组的解法：（1）代 入 法（2）加减法6、三元一次方程：把具有三个未知数，并且具有未知数的项的次数都是1 的整式方程。7、三元一次方程组：由 三 个（或三个以上）一次方程组成，且具有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。第四章不等式（组）考点一、不等式的概念（3 分）1、不等式:

9、用不等号表达不等关系的式子,叫做不等式。2、不等式的解集对于一个具有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。对于一个具有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。求不等式的解集的过程，叫做解不等式。3、用数轴表达不等式的方法考点二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.考点三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只具有一个未知数，未知数的次

10、数是1,且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般环节：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。2、一元一次不等式组的解（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）运用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这

11、个不等式组的解集。第五章记录初步与概率初步考点一、平均数1、平均数的概念 1（1 ）平均数:一般地，假 如 有n个数天,Z，那么,x=（jq+X 2+X,）叫 做 这n个数的平均数,x读作n“x 拔”。加权平均数:假如n个数中，M出 现 工 次 出 现 力 次，4出现人次（这 里 +人+人=），那么，根据平均数的定义，这n个 数 的 平 均 数 可 以 表 达 为+登%了/九,这样求得的平均数叫做n加权平均数，其中叫做权。2、平均数的计算方法-1（1）定义法:当所给数据用,工2,X，比较分散时，一般选用定义公式：X=（玉+x2+-+%,；）n（2）加权平均数法：当所给数据反复出现时,一般选用加

12、权平均数公式：.=/+二/2+,其中nf l +J +/=。（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时;一般选用简化公式：x=x+a.其中，常 数 a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数,H=当一。，x2=x2-a,xn=x -a.-1x=（K +M+0；点 P(x,y)在第二象限0 x 0,y 0点 P(x,y)在第三象限=x 0,y 0,y 0b 0y图像通过一、二、三象限，y 随 x 的增大而增大。b0y/k小图像通过一、三、四象限，y 随 x 的增大而增大。k 0/i0kV图像通过一、二、四象限，y 随 x 的增大而减小b 0时，图像通过第一、三象限,y 随 x 的增大

13、而增大；(2)当 k0时,y 随 x 的增大而增大(2)当 kv 0 时,y 随x的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的拟定拟定一个正比例函数，就是要拟定正比例函数定义式y=(k*0)中的常数k。拟定一个一次函数，需要拟定一次函数定义式y=4*0)中的常数卜和13。解这类问题的一般方法是待定系数法。考点五、反比例函数k1、反比例函数的概念：一般地，函数y=（k是常数，kHO）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写x成,=化 的形式。自变量x的取值范围是xH 0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支,这两个分支分别位于第一

14、、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量xHO,函 数yH 0,所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。k拟定及设是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y=士中，只有一个待定系数，因此只需要一对相应值或图x像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而拟定其解析式。5,反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数 =幺（。0）图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM,P N,则所得的矩形PMON的Xk面积 S=PM P N=|y|凶=阿。V y-xy-k,S=|第七章 二次函数考点一、二次函数的概念和图像1、二次函数

15、的概念一般地，假如y=a+以+c（a,c是常数，a w 0）,那么y叫做x的二次函数。y-ax2+6x+c（a,Z?,。是常数，a#0）叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像：二 次 函 数 的 图 像 是 一 条 关 于 对 称 的 曲 线，这条曲线叫抛物线。2。抛物线的重要特性：有开口方向；有对称轴;有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴(2 )求抛物线y =G?+/J X +C与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点

16、按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C及对称点D。由 C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。假如需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。考点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y +。8 +0 a 0图像性质（3）在对称轴的左侧，即当x 2a时,y 随 x 的增大而增大，简记左减右增；b（4）抛物线有最低点，当 x=-时,y 有最小2a/土 4ac b2值，最小值=一T一（3）在对称轴的左侧，即当X 时，y 随 x 的增大而

17、减小，简记2a左增右减；b（4）抛物线有最高点，当 x=-&时，y 有最大2a.4ac-b2值 y最大值=7一2、二次函数 =ax?+Z?x+c（a,4 c 是常数，。7 0）中，a、b、c 的含义:。表达开口方向：”0时，抛物线开口向上；a 0 时,图像与x 轴有两个交点；当A=0时,图像与x 轴有一个交点；当 Z A+Z B=9 0 2、在直角三角形中,30 角所对的直角边等于斜边的一半。N A 平)。1可表达如下：=B C=-A BJ2Z C=9 0 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半Z A CB=9 0 可表达如下：J =C D=A B =B D=A DD为AB的中点4、勾股定理

18、直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+h2=c25、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每DAB条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项Z ACB=9 0 CD2=AD BDA YJ=I AC2=ADABCDAB BC2=BDAB6、常用关系式由三角形面积公式可得：ABCD=AC*BC考点二、直角三角形的鉴定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。2、假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a,b,c 有关系/+/=。2,那么这个三角形是直角三角形。考点三、锐角三角函数

19、的概念1、如图，SAABC 中,ZC=90 锐 角 A 的 对 边 与 斜 边 的 比 叫 做 N A 的 正 弦，记 为 si n A,B Psin A=NA的对边斜边acNA的对边a NB的邻边bB 锐 角 A 的 邻 边 与 斜 边 的 比 叫 做 N A 的 余 弦，记 为 c o s A,即NA的邻边NB的对边cos A=NA的邻边斜边bc锐角A的对边与邻边的比叫做N A 的正切，记为tan A,即tan A=ZA的对边NA的邻边ab锐角A的邻边与对边的比叫做NA的余切，记为c。t A,即cotA=气猿吧.=-NA的对边 a2、锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做N

20、A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数030456 090s i na02V22V321cosa1V32V2Tj_20tana0V331V3不存在c o t a不存在61与304、各锐角三角函数之间的关系(1 )互余关系：s i n A=c o s (9 0 A),c o s A=s in(9 0 A);t a n A=c o t (9 0 A),c o t A =t a n(9 0 A)(2)平方关系：s in2 A +c o s2 A =1(3)倒数关系:t a n A t a n(9 0 A)=1 s in A(4)弦切关系：t a nA=-c o s A5、锐角三角函数的增

21、减性当角度在0。9 0。之间变化时，(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；(2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)；(3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；(4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)考点四、解直角三角形(3-5)1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在 RtaABC 中，Z C=9 0 ,Z A,Z B,NC 所对的边分别为a,b,c(1)三边之间的关系:4+/二/(勾股定理)(2)锐

22、角之间的关系：Z A+Z B-9 0(3)边角之间的关系：s in A ,cosA=,t a n A =,c o t A =;s in B -,c o s B =J a n B =,c o t B =ccbaccab第十二章圆考点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线 段 OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。2、圆的几何表达:以点O为圆心的圆记作“。0”，读 作“圆0”考点二、弦、弧等与圆有关的定义(1 )弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的A B)（2）直径：通过圆心的弦叫做直径。（如途中的C D）

23、直径等于半径的2 倍。（3）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧 用 符 号 表 达，以 A,B 为端点的弧记作“病”，读 作“圆弧A B”或“弧 A B”。大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表达）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表达）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。推 论 1：（1）平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线通过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对

24、的另一条弧。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：隼圆心、全直于弦 直 径 1 平分弦）二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆 的 对 称 性（3 分）1、圆的轴对称性:圆是轴对称图形,通过圆心的每一条直线都是它的对称轴。2、圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。推论：在同圆或等圆中，假如两个圆的圆心角、两条

25、弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所相应的其余各组量都分别相等。考点六、圆周角定理及其推论1、圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。2、圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推 论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;9 0。的圆周角所对的弦是直径。推论3：假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。考点七、点和圆的位置关系设。半 径 r,点 P到圆心距离为d,贝 i j：drO点 P在。O外。考点八、过三点的圆1、过三点的圆：不在同一直线上的

26、三个点拟定一个圆。2、三角形的外接圆：通过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。3、三角形的外心:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。4、圆内接四边形性质(四点共圆的鉴定条件)：圆内接四边形对角互补。考点九、反证法先假设命题中的结论不成立，然后由此通过推理，引出矛盾，鉴定所做的假设不对的，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。考点十、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的

27、切线，(3 )相离：直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。若。半径r,圆心0到直线1 距离d :直 线 1 与。O相交。d r；直 线 1 与。0相切。d=r;直 线 1 与。0相离 d r 考点十一、切线的鉴定和性质1、切线的鉴定定理:通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、切线的性质定理：圆的切线垂直于通过切点的半径。考点十二、切线长定理1、切线长:在通过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。2、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。考点十三、三角形的内切圆1、三角形的内切圆:与三角形的各

28、边都相切的圆叫做三角形的内切圆。2、三角形的内心:三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。考点十四、圆和圆的位置关系I、圆和圆的位置关系假如两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种。假如两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。假如两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。2、圆心距:两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。3、圆和圆位置关系的性质与鉴定设两圆的半径分别为R 和 r,圆心距为d,那么两圆外离。d R+r；两圆外切=d=R+r；两 圆 相 交=R-rdr);两圆内含O d r)4、两圆相切、相交的重要性质假如

29、两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。考点十五、正多边形和圆1、正多边形的定义:各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。2、正多边形和圆的关系只要把一个圆提成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。考点十六、与正多边形有关的概念1,正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。2、正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。3、正多边形的边心距：正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角：正多边形的每一边所对的外接圆

30、的圆心角叫做这个正多边形的中心角。考点十七、正多边形的对称性1、正多边形轴对称性：正多边形都是轴对称图形。一 个 正 n 边 形 共 n 条对称轴，每条对称轴都过正n 边形中心。2、正多边形的中心对称性:边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。3、正多边形的画法:先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。考点十八、弧长和扇形面积H 77T1、弧长公式:n 的圆心角所对的弧长1的计算公式为/=1802、扇形面积公式：S（,=-l R,其中n 是扇形的圆心角度数,R 是扇形的半径，1是扇形的弧长。侬 360 23、圆锥的侧面积：5=/2 =袖 其 中 1是圆锥的母线长,2补充

31、：（此处为大纲规定外的知识，但对开发学生智力，改r 是圆锥的地面半径。善学生数学思维模式有很大帮助）1、相交弦定理中，弦 AB与弦C D 相交与点E,则 A E BE=CE DE2、弦切角定理弦切角：圆的切线与通过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。弦切角定理:弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。即：/B A C=/A D C3、切割线定理P A 为。0 切线，PB C 为。0 割线，则 P/f=PBPC第十三章图形的变换考点一、平移1、定义:把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移.2、性质（1）平移不改变图形的大

32、小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动（2）连接各组相应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。考点二、轴对称、1、定义：把一个图形沿着某条直线折叠，假如它可以与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。2、性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。（2）假如两个图形关于某直线对称，那么对称轴是相应点连线的垂直平分线。（3）两个图形关于某直线对称，假如它们的相应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。3、鉴定:假如两个图形的相应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。4、轴对称图形:把一个图形沿着某条直线折叠，假如直线两旁的部分可以

33、互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。考点三、旋转1、定义:把一个图形绕某点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中。叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、性质(1)相应点到旋转中心的距离相等。(2)相应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。考点四、中心对称1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，假如旋转后的图形可以和本来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。2、性质(1)关于中心对称的两个图形是全等形。(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都通过对称中心，并且被对称中心平分。(3)关于中心对称的两个图形,相应线段平行(或在同一直

34、线上)且相等。3、鉴定:假如两个图形的相应点连线都通过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180,假如旋转后的图形可以和本来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。考点五、坐标系中对称点的特性1、关于原点对称的点的特性两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x,y)关于原点的对称点为P(x,-y)2、关于x 轴对称的点的特性两个点关于x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y 的符号相反，即 点 P(x,y)关 于 x 轴的对称点为P(x,一y)3、关于y 轴对称的点的特性两个点关于y 轴对称时

35、，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点P(x,y)关于y 轴的对称点为P，(-x,y)第十四章 图形的相似考点一、比例线段1、比例线段的相关概念a m假如选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n,那么就说这两条线段的比是，二 或写成a:bb n=m:n,在两条线段的比a :b中,a叫做比的前项，b叫做比的后项。在四条线段中，假如其中两条线段的比等于此外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段,0=，简称比b d例线段若 四条a ,b,c,d满足或a ：b=c：d，那 么a,b ,c ,d叫做组成比例的项，线 段a ,d叫做比例外项，线 段b,c叫做比例内项，线段的d叫做a

36、,b,c的第四比例项。假如作为比例内项的是两条相同的线段，即 =2或a:b=b：c ,那么线段b叫做线段a,c的比例中项。b c2、比例的性质(1)基本性质：a:b二 c :d O a d二b c a :b=b:c h2=ac（2）更比性质（互换比例的内项或外项）a c=h d1g=2（互换内项）c d/d c（互换外项）a-=-（同时互换内项和外项）j c a（3）反比性质（互换比的前项、后项）：-=-=-=-b d a c（4）合比性质:a _ c a+b_ c+db d,一工 a c e m 八 ,八、a+c+e-l-m a(5 )等 比性质：=-=(b+d+f H-=b d f n b

37、+d+f +-+n h3、黄金分割把 线 段AB提成两条线段A C,B C （A C B C）,并 且 使AC是AB和BC的比例中项，叫 做 把 线 段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其 中A C=r 4 A B HO.6 1 8 A B2考点二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的相应线段成比例。推论：（1 ）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的相应线段成比例。逆定理:假如一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的相应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。(2)平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边

38、相应成比例。考点三、相似三角形1、相似三角形的概念相应角相等，相应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“S”来表达，读 作“相 似 于 。相似三角形相应边的比叫做相似比(或相似系数)。2、相似三角形的基本定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。用数学语言表述如下：,.,DET7BC,.-.A A D E-A A B C相似三角形的等价关系：(1)反身性：对于任一A B C,都有ABCsZsABC;(2)对称性:若 A B C s a A，B，CW ij4A，B，C，s a A BC(3)传递性:若AA B C A,B,C,并且A，B，C,

39、A A,B,5 C”,则 A B C sA A B”C3、三角形相似的鉴定(1)三角形相似的鉴定方法定义法：相应角相等，相应边成比例的两个三角形相似平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似鉴定定理1 ：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相应相等，那么这两个三角形相似，可筒述为两角相应相等，两三角形相似。鉴定定理2:假如一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边相应相等,并且夹角相等，那么这两个三角形相似,可简述为两边相应成比例且夹角相等，两三角形相似。鉴定定理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边相应成比例，那么这两个三角形

40、相似，可简述为三边相应成比例,两三角形相似(2)直角三角形相似的鉴定方法以上各种鉴定方法均合用定理:假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边相应成比例，那么这两个直角三角形相似垂直法:直角三角形被斜边上的高提成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质（1 ）相似三角形的相应角相等，相应边成比例；（2）相似三角形相应高的比、相应中线的比与相应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。5、相似多边形（1）假如两个边数相同的多边形的相应角相等，相应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形相应边的比叫做相似比（或相似系数）（2）相似多边形的性质相似多边形的相应角相等，相应边成比例;相似多边形周长的比、相应对角线的比都等于相似比;相似多边形中的相应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比;相似多边形面积的比等于相似比的平方6、位似图形假如两个图形不仅是相似图形，并且每组相应点所在直线都通过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。性质：每一组相应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。运用位似变换可以把一个图形放大或缩小。