2020年数学《冲刺中考》压轴真题（2019年）培优训练：《三角形》（包含答案）.pdf

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1、 冲刺中考压轴真题(20 1 9 年)培优训练：三角形1.(2018鄂州)如图，在四边形4 8 3 中，N D AB=9 0,D B=D C,点、尸分别为加、B C的中点，连接力 EF、AF.(1)求证：AE=EF；(2)当府一/IE时，设/加 8=(1,/C D B=,求 a,B 之间的数量关系式.2.(2019江西)在图1,2,3 中，已知口 AB C D,N/8C=120。，点为线段为上的动点,(2)如图2,连接而：填空：NFA D.NE A B(填,=)；求证：点尸在N48c的平分线上；(3)如图3,连 接 EG,D G,并延长OG交班的延长线于点“，当四边形G是平行四边形时，求三|的

2、值.3.(20 1 9扬州)如图，平面内的两条直线八、e 点 4 8在 直 线 人 上，点 C、。在直线/?上，过 A 8两点分别作直线/?的垂线，垂足分别为4,同,我们把线段4氐叫做线段在直线4上的正投影，其长度可记作八根或 7(A B，lz),特别地线段A C 在直线/2上的正投影就是线段4 c.请依据上述定义解决如下问题：(1)如 图 1,在锐角4 8 C 中，4 8=5,晨 公，协=3,则小脓明=;(2)如图2,在 R t Z UbC 中，N AC B=9 0,心相版=4,九例 一9,求?!&?的面积；(3)如图 3,在钝角4 8。中，N 4=6 0 ,点。在 边 上，N/Q)=9 0

3、 ,TAD 4.（20 1 9枣庄）在/!能 中，N 班 占 9 0 ,A A AC,4 L L 8 C 于点 2(1)如图 1,点 M,分别在 4?,4 8 上，且 N B M N=9 0,当 N 4 W=3 0 ,4 5=2 时,求 线 段 的 长；(2)如图2,点,尸分别在他 M 上，且 Z ED F=9 0,求证：B E=AF；(3)如图3,点 M 在 初的延长线上，点N 在4 C 上，旦 NBMZ0。，求证：A的A N=J M.5.(20 1 9杭州)如图，在4 8 C 中，AC AB 1 时，1-1,2 ,8为直角三角形的三边长，如图.填写下表中8的值：直角三角形三边/72-12

4、B勾股数组I/8勾股数组II35/1 0.(2 0 1 9赤 峰)【问题】如 图1,在 Rt48c中，N AC B=9 0：AC=B C,过 点 C作直线/平行于48 Zf=90,点。在直线/上移动，角的一边史始终经过点B,另一边D F 与4C交于点P,研究如和%的数量关系.【探究发现】（1）如图2,某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点。移动到使点夕与点。重合时，通过推理就可以得到D P=D B,请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3,若点。是/IC上的任意一点（不含端点A C）,受（1）的启发，这个小组过点。作D G1C D 交成?于点G,就可以证明D P=D B,请完成

5、证明过程；【拓展引申】（3）如图4,在（1）的条件下，附 是 边 上 任 意 一 点（不含端点A 6）,是射线劭上一点，A A M=B N、连 接 椒 与 8c交于点0,这个数学兴趣小组经过多次取点反复进行实验，发现点附在某一位置时做的值最大.若A C=B X 4,请你直接写出8。的最大值.11.（2019长春）教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容.例2如图，在 宓 中，D,分 别 是 边 做 的中点，4?,CE相交于点G,求证：空=CEGD=J _AD-7证明：连结出.请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程.结论应用：在“反中，对角线4C、劭交于点0,为边6C的中点

6、，A E.劭交于点尸.(1)如图，若M B C D 为正方形,且4 5=6,则。尸的长为.(2)如图,连结D E交AC于 点G,若四边形O/TG的面积 为/，则。四切的面积为.图 图 图12.(2019鸡西)如图，在48C 中，AB=B C、AD L B C 千点 D,B EL AC 于点、E,AD 与 B E交于点尸，为 于 点 名 点 是8c的中点，连接用/并延长交班于点/.(1)如图所示，若N/l&?=30,求证：D F B H=&B D-,3(2)如图所示，若N/l%=45,如图所示，若N4M=60(点 与 点。重 合)，13.(2019铁岭)如图，中，AB=AC,史垂直平分阳 交线段

7、8c于 点E(点与点C 不重合），点尸为4 C 上一点，点 G 为 四 上 一 点（点 G 与点力不重合），且乙GER/B AC=1 8 0 .（1）如 图 1,当N 8=4 5 时，线段/G 和 的 数 量 关 系 是.（2）如图2,当N 8=3 0 时，猜想线段4 G 和的数量关系，并加以证明.（3）若 四=6,蚌1,C O S Q3,请直接写出听的长.1 4.（2 0 1 9阜新）如图，是具有公共边的两个直角三角形，其中，AX B C,N A C B=NAD B=9 0.（1）如图1,若延长D A到点E,使A E=B D,连 接C D,C E.求证：C D C E,C D JL C E；

8、求证：A屏B D=pD；（2）若与/!劭位置如图2所示，请直接写出线段/，B D,必的数量关系.1 5.（2 0 1 9锦州）已知，在 R t a/l b。中，N AC B=9 0,。是 8 c 边上一点，连接加，分别以切和4 7为直角边作R t Z 6然和R14ADF,使乙DCE=N 4 7 F=9 0，点E,尸在8 c下方，连接EF.(1)如图 1,当 BXAC,CE=CD,DF=ADS,求证：Z.CAD=Z.CDF,BD=EF；(2)如图2,当BX2AC,CE=2CD、F=2 4?时，猜想劭和)之间的数量关系？并说明理由.图1图2参考答案1.(1)证明：点6尸分别为。8、8 c的中点，:

9、、E F=。V DAB=9Q,：.AE=亳BD,:DB=DC,:.AE=EF，(2)解：AF=AE,AE=EF,.4所是等边三角形，：.ZAEF=60,/以8=90,点6尸 分 别 为8 c的中点，：,AE=DE,EF/CD,NADE=/DAE、N8F=BDC=p,：4AEB=2 4 A D E=2Q,乙AEF=/AE济/FEB=2=6 0。,A a,B之间的数量关系式为2a+B=6 0 .2.解：(1):四边形FG是菱形，A Z/fF=180-NEAG=60,：4CEF=4 AEC-2 AEF=60。,故答案为：60；(2).四边形4 8 3是平行四边形，N%8=180-NABC=60,.四

10、边形彳3 Z?是菱形，ZE4Z?=120,，NFAE=60,/.4 FAD=/EAB,故答案为：=;当外维时，如图2,作 砒L8C于M,加劭交班的延长线于乂帆 ZFNB=4FMB=90,NFM=60,又NF=60,NAFN=ZEFM,:EF=EA、NF4E=6Q,43为等边三角形，：.FA=FE,在 和 函/中，ZAFN=ZEFM =BH=2、故答案为2.(2)如图2中，作CH1AB于H.,T(A C、A B)=4,晨8a A B)=i:,AH=4,BH=9,:/A C B=/C H A=/C H A M ,4AC H=qN ,4 A C*/B C H=9 N ,:.4 A=/BCH、:.AA

11、CHSRCBH,.CH=AH一丽一亩.CH=_V-CH，:.CH=6,：.S4ABe=AB-C7/=y X 1 3 X 6=3 9.(3)如图 3 中，蚱 C H AD于 H、BKLCD于 K.：.AC=2,V ZA=6Q,ADC=/BDK=3G,CD=AD1=2AC=A、AH=AC=19 DH,:T”c,AB)=6,CH-LAB:.BH=6,.DB=BH-DH=3,在 RtZk8/T中，VZ/T=90,BD=3,NBDK=30,；.DK=Bcos3Q 二冬巨，2 _.,.欧=W 冰=2后.3V3-7V34.解：ZBAC=9Q,AB=AC,ADI.BC,：.ADBDDC,N A B X NAC

12、8=45,N BAM N CAD=45,：AB2,.AD=BD=DC=A/2，N/MW=30,N身0=180-90-30=60,N侬?=30,：、BM=2DM、由勾股定理得，8-次=8/口 即(2麻2一3=(加)2,解得，DM=瓜,AM=AD-DM=y2 羊；(2)证明：.4M8C,N EDF=9Q,ZBDE=NADF,在48班 和?尸中,/B=/D A F DB=DA,ZBDE=ZADF:.XBDEQ4ADF(.ASA):BE=AF；(3)证明：过点制作寐8 c交 48的延长线于/.ZAME=90,贝 1 彳=扬明Z=45,：.ME=MA,V ZAME=9Q,N8椒=90,：NBME=/AM

13、N,在例归和M中，ZE=ZMAN ME=MA，ZBME=ZAMN:.BMEWXNMA(a 4),:.BE=AN、：.ABAN=A 济 BE=AE=&4K5.解：（1）证明：线段四的垂直平分线与死边交于点匕：、PA=PB,:4 B=4BAP、NAPC=4 济匕 BAP,/.N APC=2N B；(2)根据题意可知&1=8。/B A Q=/BQA,V Z A Q C=3 Z B,2 AQC=乙阶乙BAQ、/.NBQA=2NB,N班仆N86M+N8=180,5N8=180,，N8=36 6.解：（1）6 在/8C中,a=6,6=8,c=12,r.N+N 8 N C；（2）如图，过点8 作触/C,：M

14、N/AC,:./M BA=小、N伤UNC （两直线平行，内错角相等），；NMBN A B O N N B X W （平角的定义），.-.Z/H-Z/lZ=180Q（等量代换），即：三角形三个内角的和等于180；（3）.=/（a+b+c）,a-b+c-cac（尹从。）（a一加c）=（才+2add）-62 22ac=a+2ac-c-b2,.a2+c2=2?2,48C是直角三角形.7.（1）证明：4?J_4；CHIEF、NG=NQ 90,AG/C H.：AD/BC,:.NDEF=NBFE,Y NAEG=NDEF,NCFH=4BFE,:/AEG=/CFH、NG=NH在AG E和 断 中，,ZAEG=Z

15、CFH，AE=CF：,AGE/CHF（AAS）；（2）解：线 段 G 与 4?互相平分，理由如下:连接4A CG,如图所示：由（1）得：RAGEQXCHF,：.AG=CH,:AG C H,四边形4/CG是平行四边形,线 段 的 与 AC互相平分.(2)设 40PM 线段掰绕点户顺时针旋转150。得到线段?N/W=150,PM=PN：/OPN=4 MPN-N OPM=5G0-a：ZAOB=30：.ZOMP=8Q-4AOB-4OPM=W -30-a：.4OMP=/OPN(3)8=2 时，总 有 加 OR 证明如下：过点也乍NCr仍 于 点 C,过点户作PD1 0A于点D,N NCP=Z PDM=N

16、 PDQ=90=150-a如图2V AOB=30,OP=2：.PD=OP=2加加2_建2=立；的=后1：.DH=OH-0D=：N OMP N OPN.-.180-N戚=180-AOPN典 N P M g N NPC在二PDM与/NCP中，Z P D M=Z N C P-Z P M D=Z N P CT M=N P:Z D蛇XNCP(加S)：.PD=NC,DM=CP设 M=C P=x,贝I仇M H=M M D 4/点M关于点，的对称点为Q：.HQ=MH=)&yD g DlhHQ=1 +A+1=2+X：.OC=DQ在XOCN与XQDP中 0 C=Q D0,：.B=n+,当 2=8 时，/7=4,.

17、n+1=42+1=17；当 I-1=3 5 时，)+1=37.故答案为：17；371 0.证明：【探究发现】(1)ZACB=90,ACBC；.N CAB=，CBA=45：CD/AB：.2 CBA=NDCB=45,且 BDL CD：.DCB=4 DBC=45：.DB=DG即 DB=DP【数学思考】(2)：DGCD,N 06=45NDCG=ZDGC=45：.DCDG,NDCP ZDGB=135,ZBDP=ZCDG=90：.Z.CDP=Z.BDG,且 DC=DG,NDCP=NDGB=135,：.CDP/GDB(ASA)：.BD=DP【拓展引申】(3)如图4,过点、M作MHLMN交AC于点、H,连 接

18、 阳HO,:.NAM卅NNMB=qQ：CD/AB,N CDB=90:NDBM=90/./NM m/M NB=Q N:/H M A=/M N B、且 AM=BN、NCAB=/C B N=45AM gRBNQ (ASA)：.AH=BON 4?8=90,AC=BC=4,:5 3=4&,AC-AH=BC-BO:CH=CQ:/C H Q=/C Q H=45=/C AB：.HQ/AB:/H Q M=/Q M B：4ACB=/H M N.点4点K点。，点。四点共圆，4HCM=4HQM：.4HCM=/QMB、且/彳=/烟=45.AC AM一 而 怎.4 二州 4 2 A M =BQ.如-(AM-2圾 产4r.

19、/I Q 2 M 0寸，8。有最大值为2.1 1.教材呈现：证明：如图，连结。.在/b。中，D,分别是边8a的中点，：.DE/AC,D E=%C,:XDEGs XACG、.CG=AG_=AC=2G E-GD-DE-.CG招E AGKD QGEGD.G E _ G D _ 1 C E -A D -7；结论应用：(1)解：如图.四边形须缈为正方形，为边8 c的中点，对角线4 C、曲交于点0,：.AD/B C,B 0=B D,:I X B EF s/D AF、.B F _ B E _ 1 D F -A D：.B F=D F,；.B F=B D,:Bg 三B D,0F=O B-B F B D-B D

20、B D,2 3 6,正方形4 8 3中，AB=6、B D=6y 2,.如=加.故答案为&;(2)解：如 图 ,连 接0 E由(1)知，B F=B D,O F=B D,3 6，度=2.O F.弼与比尸的高相同，二皮尸与龙户的面积比=此=2,O F同理，C E G与。&7的面积比=2,，桀G的面积+在厂的面积=2 (，&的面积+窕厂的面积)=2 X =1,*0 8 0 C的面积=q，.口 力 8 缈的面积=4X=6.2故答案为6.图 图 图1 2.(1)证明：连接庐，如图所示：ADrBC,BEL AC,：.CF-LAB,YBH工 AB,：.GF/BH.：,/C B H=/B C F、:点是的中点，

21、：.BM=MC,，Z M B H=Z M C F在 阚 和 好 中，B M=M C ,Z B M H=Z C M F:4 B M gXCMF(A S A),:BH=CF,：AB=BC,BEA -AC,%垂直平分4 C,:AF=CF、：.BH=AF,:AD=DXAF=DPrBH、在 R t Z 4 Z?8 中，ZABC=3Q,.A D=-B D,3：.D X B H=B氏(2)解：图猜想结论：DRBH=BD,理由如下：同（1）可证：AD=DRAF=DF+BH、:在 中,N 483=45,：.AD=BD,：.DF+BH=BD图猜想结论：D R B H=入 理由如下:同（1）可证：AD=DRAF=D

22、XBH、在 RtZ4Z78 中，NABC=60,：.AD=，D,：.DFBH=yD.B M D C图1 3.解：（1）相等，理由：如图1,连接 必垂直平分府，：.AE=BE,/.Z B A E=Z8=45,:.AELBC、：AB=AC,:BE=EC=AE,NBAE=NEAC=NC=45,NG所N仍7=180,N/G 6N4/T=360-180=180,/|阳NC/T=180,：/A G E=/C FE、Y NGAE=NC=45,侬废尸（加S）,:AG=CF故答案为：AG=CF(2)AG=CF,理由：如图2,连接：AB=AC,N Q N a 3 0 ,A ZC=120,止垂直平分AB,:.AE=

23、BE、：/B A E=/B=3。,：.ZCAE=9Q,NBAE=NC,NG册/附。=180,/.AGB-ZAFE=8QQ,N密N F=180,NAGE=NCFE,:、XAGEsXCFE、.A G _ A E C F =C E,在 RtZ4笫中，Z 0=30,.AG_1.同一：.AG=CF；(3)当G在以上时，如图3,连接 。垂直平分彳区:,AD=BD=3,AE=BE,A B DB E 8 =-S=4,COSD 4:AE=BE=4,4 BAE=N B,：AB=AC,N8=NC,：40=2BAE、N G M N附。=180,：.ZAGB-ZAFE=360-180=180,V ZAFB-ZCFE=8

24、0Q,:/CFE=/AGE、:.CFESRAGE、.CF=CE一正一记过 力作4 a 8c于点，cozB,cos450=-,4 2 旦 返，4 2Z5rDG=3+=,.CF 5:,CF=5,综上所述，亦的长为2.5或5.14.(1)证明：在四边形 4?8 c中，N D AO N D BO/AD讣NACB=36G,N4?小N/1 第=180,N份NZ?仇？=180,：ZEAO ZD AC=80,/./DBC=EAC、,：BD=AE,BC=AC,:A B C恒RACE(S A S),：.CD=CE、/B C D=4ACE,Y /B C A/D C A=9 G ,；/A C 3/D C A=9 N

25、,N。宏=90,/.CDS.CE，：CD=CE,CDLCE,是等腰直角三角形，E=如 做Y DE=AAE,AE=BD,：.DE=ABD,.ADBD=I2CD(2)解：AD-B D=pD，理由：如图2,在4?上 截 取/=屹 连 接 国：AC=BC,ZACB=90,：NBAC=/ABC=45,V ZADB=9Q,：.ZCBD=90-NBAD-NABC=90-NBA”45=45-/BAD、Y 4C AE=/B A C-/BAD=45-/BAD、/.Z CBD=Z CAE,：BD=AE、BC=AC,:.CBDQ4CAE(SAS,：.CD=CE,4BCD=4ACE,：N ACS/BCE=/ACB=9G

26、,:NBCM/BCE=9G,即 NO宏=90,DE=VCD2+CE2=V2CD2=V2,:DE=AD-AE=AD-BD,：.AD-B g 近pD.15.(1)证明：N/IC8=90,：CDF+ADC=9Q0,/.N C A g Z CDF-,作FHLBC交8 c的延长线于H,则 四 边 形 在 为 矩 形，:.C 4 E F、在和断 中，Z C A D=Z H D F,Z A C D=Z D H F=9 0 .A D=D F:.X A C g/D H F(加S)：.DH=AC,:A X C B、：.DH=CB,：.DH-CDCB-C D,货 HG=BD,:.BD=EF、(2)BDEF,理由如下：作FGLBC交8 c的延长线于G,：Z CAD Z GDF,N 4?P=NM=90,:./XACCSADGF,A=2,即=247,GF=2CD、A C G F A D；BC=2AC,CE=2CD,:.BC=DG、GF=CE,BD=CG,GF/GE.GF=CE,NG=90,四边形用冶为矩开？，:CG=EF、：.BD=EF.图2图1