2017年高考数学函数真题汇编.pdf

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1、2017年高考数学 不等式真题汇编1.(201 7 北京)已知函数/(x)=3 (；)*,则/(x)(A)(A)是奇函数，且在R上是增函数(B)是偶函数，且在R上是增函数(C)是奇函数，且在R上是减函数(D)是偶函数，且在R上是减函数2.(201 7北京)已知函数/(x)=/c o s尤一x(I)求曲线y =/(x)在点(0J(0)处的切线方程；7 T(I I)求函数/(X)在 区 间 上 的 最 大 值 和 最 小 值.解：(I )/(x)=e c o s x-x/.fx)=e*(c o s x-s i n x)-l.曲线 y =/(x)在点(0,7(0)处的切线斜率为k=e(c o s 0

2、-s i n 0)-l =0切点为(0,1)，曲线y =f(x)在点(0,/(0)处的切线方程为y =1(I I)/z(x)=A(c o s x-s i n x)-l,令g(x)=/(x),贝i J g (x)=e X(c o s x-s i n x-s i n x-c o s x)=-2e s i n xT T当x e 0号 ,可得g x)=-2e s i n x 40,T T即有g(x)在 0,-上单调递减，可得g(x)g(0)=0,所以/(x)在 0,上单调递减，所以函数/(x)在区间 0,1 上的最大值为/(0)=e c o s 0-0=1 ；最小值为/(-)=3 c o s-=-2

3、2 2 23.(201 7全国卷I )函数/(x)在(Y O,+8)单调递减，且为奇函数.若/(1)=一1,则满足-1 /。-2)0,则由/(尤)=0 的x =I n a当 x c (-o o,-I n d)时，fx)0所以/(x)在(-8,-I n a)单调递减，在(-I n a,+o。)单调递增。(2)(i)若(),由(1)知，当 =-I n a 时，/(%)取得最小值，最小值为/(-I n 6?)=1 一 -+l n 6 ra当。=1 时、由于/(-l n a)=O,故/(x)只有一个零点；当a e(l,+8)时，由于 1 J _+ina 0,即/(l n a)0,故/(x)没有零点；a

4、当aw(O,l)时，l +lna 0,即/(-l n a)2/+2 0,故/(x)在(-00,-In。)有一个零点。设 正 整 数 满 足%ln(3 l),a则/()-*(a*+Q 2)()e。-()2期-n()03由于ln(1)-ln tz,因此/(元)在(-Ina,+o。)有一个零点a综上，。的取值范围为(0,1)sin2x-6.(2017全国卷I)函数 l co陵的部分图像大致为(C)7.(2017 全国卷 I)已知函数/(%)=10+111(2-),则(C)A./(x)在(0,2)单调递增 B./(x)在(0,2)单调递减C.y=/(x)的图像关于直线户1对称 D.y=/(x)的图像关

5、于点(1,0)对称8.(2017全国卷I)已 知 函 数/=ex(e”-(1)讨论/(幻 的单调性；(2)若/(x)2 0,求。的取值范围.解：(1)函数/(x)的定义域为(-oo,+oo)，r(x)=2e2，-a e -/=(2e+a)(，-a)若a=0,则/O)=e 2*,在(7,+8)单调递增若 0,则 由/(幻=0得x =l n 当 x (-o on。)时，/(x)0；故f(x)在(T O,I n a)单调递减，在(I n a,+o o)单调递增若 a 0,则由 f(x)=0 得 x =l n(-)当x(-o o,l n(-!)时，fx)0；故 小)在s/ng)单调递减，在(皿 勺 收

6、)单 调 递 增(2)若a=0,则/(x)=e 2*,所以/(x)NO若a 0,则 由(1)得，当x =l n a时，/(幻 取得最小值，最小值为_/(l n a)=一1I n a,从而当且仅当一I n a 2 0,即a W l时，f(x)0若”0,则由 得，当x =l n(殳 时，/(x)取得最小值，最小值为/(l n(-|)=2|-l n(-9,从而当且仅当/2 l n(g)N O,即 a N 2e“H寸，/(x)04 23综上，a的取值范围是9.(201 7全国卷I I)若尤=2是 函 数/(外=(/+以 一1)。1、的极值点，则/(x)的极小值为(C )A.-1 B.-2e3 C.5/

7、|).110.(2017 全国卷II)已知函数X)=G;2-以 一x ln x,且 x)2O。(1)求Q的值；(2)证明：/(x)存在唯一的极大值点与,且 2 /(/)2 2.解：(1)/(X)的定义域为(0,+8)设 gO)=o r-a-ln x,则/(x)=xg(x),f(%)20 等价于 g(x)20因为g(l)=0,g(%)N0,故g”)=0,而g(x)=Q ,g(l)=q-l,得。=1x若。=1,则 g(X)=l-LX当()尤1时，gr(x)1时，g(x)0,g(x)单调递增所以x=l是 联龙)的极小值点，故gO)Ng(l)=0,综上，a=(2)由(1)知/,(X)=Y x-iln

8、x，r(x)=2x-2 Inx设 7/(%)=2 x-2-ln x,则/f(x)=2 x当x (0,；)时，hr(x)0.所以(X)在(0,4)单调递减，在(工,+8)单调递增.2 2,1 1 1又(2)O,(5)O,(I)=O,所以/幻 在(O)有唯一零点小,在 不+为 有唯一零点1,且当 xe(0,/)时，A(x)0；当 XG(x(),l)时,h(x)0.因为广(x)=h(x),所以x=%是/(%)的唯一极大值点.由 f(%)=0 得 In%=2(%-1)，故/(%0)=%(1 一%)由 (0,1)得/(/)八/)=I .所以氏2 /(/)0时，f(x)ax+l,求。的取值范围.解：(1)

9、/(X)=(1 2%1),令 八 x)=0得=_ 一 仓%=_ 1 +夜当 X e (-co,1 V 2)时，/(X)0；当(1 +0,+8)时，/，(%)0.所以/(X)在(-8,-1 +后,+8)单调递减，在(一 1 一 0,-1 +0)单调递增.(2)f(x)=(1 +x)(l -x)ex,当 a A l 时,设函数力(x)=(1 x)e hr(x)=-xex 0(%0),因此力(x)在 0,+8)单调递减，而此0)=1,故此x)Wl,所以/(%)=(x+l)/z(x)x+l a r+l当0。0(x 0),所以 g(x)在 0,+oo)单调递增，而 g(0)=0,故e N x+1当0c

10、x e 1 时，f(x)(l-x)(l +x)2,(l-x)(l +x)2-ax-1 =x(-a-x-x2),J s-4 a-1 c=-.-,则/(0,1),(1-%)(1 +入 0)-%)一 1 =(),故/(须)0 ()+1J 5 _1当Q K0时，取 毛=-,则/G (0,1),/(工 0)(1 -工 0)(1+工 0)2 =1 2 畛+1综上，a 的取值范围是 1,+8).1 3.(2 0 1 7全国卷H I)已知函数/(x)=x2 2 x+a(e i+e-M)有唯一零点，则。=(C)x+l,x0,I1 4.(2 0 1 7全国卷III)设函数/(x)=1 的的取值范围2 1 x 0

11、2口 ,、是(-,+0 0)1 5.(2 0 1 7全国卷H I)函数y=l +x+y 的部分图像大致为(D)1 6.(2 0 1 7 全国卷 H I)已知函数/(x)=x2 2 x+a(，T+e 7 )有唯一零点，则 a=(C)1 1 1A.-B.C.-D.12 3 21 7.(2 0 1 7 全国卷III)已知函数/(x)=l nx+av2+(勿 +1)乂(1)讨 论 的 单 调 性；3(2)当a 0,故/(%)在(0,+8)单调递增若。0；当x(1-,+oo)时，f(x)02a 2a故/(九)在(0,-)单调递增，在(-,+8)单调递减。2a 2a(2)由(1)知，当。0时，/(幻 在

12、8 =-取得最大值，最大值为2a-)=l n(-)-1-2a 2a 4a3 1 1 3 1 1所以/(x)4-2 等价于 l n()-1 -2,即 l n()+1 0;当 X(l,+8),g (x)v。所以g(九)在(0,1)单调递增，在(1,4 0。)单调递减。故当x=l 时，g(x)取得最大值，最大值为g(l)=0,所以当1 0时，g(x)01 1 3从而当。0 时，l n()+1 0。所以机(x)在 R 上单调递增.所以 当 x0 时，m(x)0；当 xvO 时，mx)0,当 v 0 时，(x)vO,(x)单调递减，当x 0 时，”(%)O,/z(x)单调递增，所 以 当x=0 时，力(

13、x)取到极小值，极小值是(0)=-2 a-1；(2)当 a 0 时，(x)=2(F -Jn)(x-sin x)由/?(尤)=0 得 玉=1。，%2=0当 O v av l 时，InavO,当 xw(-oo,ln)时，*Jn a 0,(力单调递增；当xw(lna,0)时,ex-n a 0,/r(x)0,”(x)0,单调递增.所 以 当 x=ln a 时 (x)取得极大值.极大值为(Ina)=-In2 a-2 1 n+s i n(l n)+cos(l na)+2 ,当x=0时人取到极小值，极 小 值 是 力(0)=-2。-1；当a=l时，l na=0,所 以 当X(-oo,”)时，/?z(x)0

14、,函数(X)在(-0 0,+C O)上单调递增，无极值；当1 时，l n a 0,所以当 X(Y O,0)时，ex-n a 0,单调递增；当x(0,l n)时，e -J1 1。0,/(x)0,(x)0,力(工)单调递增.所以当工=0时刈力取到极大值，极 大 值 是 力(0)=-2-1；当 x=l na 时/?(x)取得极小值，极小值是 h(na)=-a a-2na+s i n(i n a)+cos (i n )+2综上所述：当a 40时，力(力在(-oo,0)上单调递减,在(0,m)上单调递增,函数(x)有极小值,极小值是%(0)=-2-1；当O v a v l时，函数/X)在(-8,In a

15、)和(0n)和(0,+8)上单调递增，在(i n,0)上单调递减，函数/z(x)有极大值，也有极小值，极大值是(皿)=一1 1 1 2 a-2 1 na+s i n(l na)+cos(l na)+2 极小值是(。)=-2 -1；当a=l时，函数/z(x)在(T,+8)上单调递增，无极值；当a 1时，函数/(x)在(-oo,0)和(In a,+8)上单调递增，在(0no)上单调递减，函数(x)有极大值，也有极小值，极大值是力(。)=-2。-1；极小值是(l n)=-a l n2 a_2 1 n+s i n(l na)+cos(l na)+2.2 3.(2 0 1 7山 东)已 知f(x)是定义

16、在R上的偶函数,且/(九+4)=/(%-2).若当工 3,0 时，/(x)=6 贝i j/(91 9)=62 4.(2 0 1 7山东)已知函数/(x)=一尺，(1)当。=2时;求 曲 线y=/(x)在点(3,/(3)处的切线方程；(2)设函数g(x)=/(%)+(%-a)cos x-s i nx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解：(1)由 题 意/(幻=/一o x,所以 当=2时，3)=0 J (X)=%2-2X所 以(3)=3因此，曲线y=/(x)在点(3,7(3)处的切线方程是y=3(x-3),即3 xy-9=0(2)因为 g(x)=/(x)+(%-a)cos x

17、-s i n x,所以 gx)=/r(x)+cos%一 (-a)s i n x-cos x=x(x-a)-(x-a)s i n x=(x-a)(x-s i nx)令(x)=%-s i n%,则 ()=1 cos xZ 0 ,所以/z(x)在 R 上单调递增因为力(0)=0,所以当x 0时,h(x)0 ；当x()时，h(x)0(i)当a 0时，g(x)=(x-a)(x-sinx),当x w(y,。)时.r-a 0,g(x)单调递增;当xw(40)时.x-u 0.gf(x)0 ,gf(x)0,g(x)单调递增.所以 当x 时4(x)取到极大值，根火值是g(o)=-1 a-sin。，当X =。时g(

18、x)取到秘卜假,极小值是g(0)=-a.(2)当a=0时，g(x)二%人一疝1幻当x e(v.+8)时,g(x)垂调递增；所 以g(x)在(,+8)上埴调递增，g(x)无极大值也无极小值(3)当。0时./(x)=(x-a)(x-s in x)当XW(Y,0)时.x-a0.g(x)单调递增；当xw(0,。)时，x-a0,gr(x)0.g(x)0,g(x)单调递增。所以 当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)”；当x n 0时g(x)取到极小值，极小隹 是g(G=-sina.综上所述：当a0时,函数仪X)在(f 0)和(4+8)上单调递增，在(0,。)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值

19、,极大值是g(0)=-a.极小值是 g(a)i sin a.625.(20 17天 津)已知函数/(外=4 7(A)-,216(C)-27 3,2x*2 *-x+3,x 1.X若关于X的不等式f(x)2|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是(A)一 丝 当16 16(D)-26咨1626.(20 17天津)设awZ,已知定义在R上的函数/(x)=2x4+3/一 3/-6x+a在区间(1,2)内有一个零点Xo，g(x)为/(X)的导函数.(I)求g(x)的单调区间;(H)设机 口,%)(%,2 ,函数(x)=g(x)(加 一/)一/。)，求证：h(m)h(x0)0,故当x e l,x0)时，H；

20、(x)Hx(x0)=-f(x0)=0,可得”i(M 0,即/z(M0.令函数 2(X)=g(Xo)(X-Xo)-/(X)，则 2(X)=g(X o)g(X)由(I)知，g(x)在1,2上单调递增，故当x e l,Xo)时，2(x)0，”2(幻 单调递增；当xe(x0,2时，2(x)，”2*)单调递减.因此，当x e U,/)(玉),2时，”2(X)”2(/)=0，可得”2(相)0,即%(毛)0.所以，/?(/M)/?(X0)0.(川)对于任意的正整数 p,q,且K 口,工 0)(/，刀,q令 m =2 ,函数(x)=g 0)(/一 玉)一 /(/).q由(II)知，当机w l,Xo)时，入(X

21、)在区间(加,玉)内有零点;当?(/,2 时，(x)在区间(,加)内有零点.所以(无)在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为司，则力(改)=8(%)(-/)-/(4 =0.qq由(I)知 g(x)在 1,2 上单调递增，故0 8(1)8(内)0,故/(x)在 1,2 上单调递增,所以/(x)在区间 1,2 上除与外没有其他的零点，而故/(K)w O.q q又因为p,q,a均为整数，所以|2/+3-322-64 3+4 4 4|是正整数,从而 12P*+3pq-3p2q2-6pq+aq4|1.所以|3 一%|2 J.所以，只要取A =g(2),就 有|-与 出 工.q g q q Aq|x|+2

22、,xl,x27.(20 17 天津)已知函数/(x)=1.2xR上恒成立，则。的取值范围是(A)(A)2,2 (B)2 3,2(C)-2,27 3(D)-27 3,2 28.(20 17 天津)设R ,|区 1 .已知函数/(x)=V-6*2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x)(I )求 f(x)的单调区间;(II)已知函数 =8。)和 y =e*的 图 象在公共点(/，打)处有相同的切线，(i )求证：/(x)在 x=x1处的导数等于0；(H)若关于x 的不等式g(x)4 e 在 区 间 注-1,%+1 上恒成立，求人的取值范围.(I )解：由/(x)=x3-6 x2-3a(a-4

23、)x+b可得 f(x)=3x2-i 2 x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a)令/(x)=0，解得x=a，或 x=4 a，由得a0,可得又因为/(%)=1,/,(xo)=O,故/为/(x)的极大值点，由(I)知x()=a.另一方面，由于|“区1,故a +l 4 a,由(I )知/(x)在(a 1,a)内单调递增，在(a,a +l)内单调递减，故当 X o=a 时，f(x)/(a)=1 在 a-1,a+1 上恒成立，从而g(x)4 ev在 x0-,x0+1 上恒成立.由/3)=3-6a 2-3a(a -4)a +A=l,得6=2。3-6/+1,a ,令 心)=2/-6J?+1,xe -l

24、,l ,所以(x)=6x?-12x,令f(x)=O,解得x=2(舍 去)，或 x=0.因为/(-1)=一 7,1)=-3,0)=1,因此 f(x)的值域为所以，匕的取值范围是 一7,1.29.(20 17 江苏)已知函 数/(幻=_?一 2%+炉一-!-,其中e 是自然数对数的底数，e91若-1)+f(2a2)0 7?)有极值，且导函数尸(1)的极值点是/(x)的零点。(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求 b 关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：/3。；(3)若/。)，/(幻这两个函数的所有极值之和不小于-；7，求。的取值范围。2解：(1)由 f(x)=%3+ax+bx

25、+1,得 3%2 4-2 tz x-b 3(x +)+b 2当x =时，尸(x)有极小值人-导 因为(%)的极值点是/(X)的零点，所以/(一旦)=三+三 一 兹+1 =0,又。(),故/,=江+3 2 7 9 3 9 a因为/(x)有极值，故/(幻=0 有实根，从 而/?一?=，-(2 7-。3)4 0,即3 9a当a =3时，/(X)O(XN 1),故/(x)在R上是增函数，/(x)没有极值;当a3,尸(x)=0有两个相异的实根I；-3b-a+y/a2-3b3列表如下:X(-00,X j)X(X p X2)X2(*2，+)/(X)+0-0+/(X)/极大值极小值/故/(x)的极值点是内，x

26、2,从而a 30,2 a因 此 =丝 十二，定义域为(3,+8)9 a /八%b 2adei 3(2)由(1)知，.=-=尸yja 9 asja、几，、2/3 .I，/、2 3 2/2 7设 g(f)=-,则 g =-2 =-2 9 t 9 t2 9t2当l e(半,+8)时，g(f)0,从而g(f)在(乎,+o o)上单调递增因为a 3,所以a636，故g(a 6)g(3 6)=G ,即yja因此 3 a(3)由(1)知，/(x)的极值点是X 1,x2,且%+%2 =-2 q,x；+x；=仙 3 9从而/(2)+f(x2)=X：+Q冗;+1 +考+bx2+1=(3 x；+b)+(3 x 1

27、+3CLXO+b)+(x；+x；)+b(x1+9)+24/-6 ab 4ab。八-1-2=()2 7 9记 了(%),。(%)所有极值之和为 力 ，2 i o i Q因为/(无)的极值为b =a2 H ,所以方 3)=C T 4 ,33 9a 9 a因为“=_j2 a_j3 o,于是h(a)在(3,+o o)上单调递减7因为/?(6)=-5，于是力()2/2(6),故。6因此。的取值范围为(3,6 3 2.(2 01 7 江苏)若函数/(x)=/+依+。在区间 01 上的最大值是也 最小值是团,则 M 次(B)A.与 有关，且与有关B.与。有关，但与匕无关C.与。无关，且与无关D.与。无关，但

28、与有关3 3.(2 01 7 江 苏)函 数 y =/(x)的导函数y =/(x)的图像如图所示，则函数y =/(x)的图像可 能 是(D)O ,X43 4.(2 01 7 江 苏)已 知 awR,函数/(x)=|x +。|+。在区间 1,4 上的最大值是5,则 a的取9值范围是.(-00,-23 5.(2 01 7 江苏)已知函数/(x)=(X J 2 x 1 )0-*(x 2 g)(I )求/(x)的导函数；(I I)求/(x)在区间 g,+8)上的取值范围.解：(I )因为(x J 2 x -1)=1 ,e 2x-所以-七T T因为m由 八 航空 啕M=。，解得z或旧X2g l)1吟25号,5小）(-0+0-/（X）1 -1-e 220/1 二-e 221 -1 1 _1又/（X）=5（,2 x _ _ 1）2 e_ N0,所以/（x）在区间写,+00）上的取值范围是 0,e 2