2018年高考真题——数学(江苏卷)(上海卷)合订本.pdf
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1、绝密启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页,均为非选择题(第1题 第20题,共20题)。本卷满分为160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一片交回。2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。4.作答试题,必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效。5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗。参
2、考公式:锥体的体积V=S h,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高.3一、填空题:本大题共14小题,每小题5 分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.已知集合人=0,1,2,8,B=-1,1,6,8.那么A AB=.【答案】1,8【解析】分析:根据交集定义人3=仅,6.4且*6 8 求结果.详解:由题设和交集的定义可知:A A B =1,8.点睛:本题考查交集及其运算,考查基础知识,难度较小.2.若复数z满足i z=1 +2 i,其中i是虚数单位,则z的实部为.【答案】2【解析】分析:先根据复数的除法运算进行化简,再根据复数实部概念求结果.I 1详解:因为i-z =l+2i,则2=-
3、=2-b贝!lz的实部为2.点睛:本题重点考查复数相关基本概念,如复数2+切伯力6刈的实部为2、虚部为b、模 为 再 神、对应点为(a,b)、共锦复数为a-bi.3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为8999011(第3题)【答案】90【解析】分析:先由茎叶图得数据,再根据平均数公式求平均数.详 解:由茎叶图可知,5 位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,故平均数为89+89+90+91+91.-R-=90.点睛:XpX”,的平均数为+X2+:十 /n4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为.I-1;/-;I
4、I:S-1 ;While/6;:1+2 Sl2S;End While;:Print S;闲 画 一【答案】8【解析】分析:先判断1 6,所以结束循环,输出S=8.点睛:本题考查伪代码,考查考生的读图能力,难度较小.5.函数f(x)=JlogzXT的定义域为.【答案】2,+o o)【解析】分析:根据偶次根式下被开方数非负列不等式,解对数不等式得函数定义域.详解:要使函数f(x)有意义,则l o g z X T N O,解得X2 2,即函数f(x)的定义域为 2,+8).点睛:求给定函数的定义域往往需转化为解不等式(组)的问题.6 .某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则
5、恰好选中2名女生的概率为3【答案】一10【解析】分析:先确定总基本事件数,再从中确定满足条件的基本事件数,最用根据占典概型概率公式求概率.详解:从5名学生中抽取2名学生,共 有10种方法,其中恰好选中2名女生的方法有3种,因此所求概率为之10点睛:古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法(理科):适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7.已知函数丫=$皿2*+0)(-5
6、 中 0 0)的性质:(l)y111ax=A+B,y1 111n=_ A +B;2 兀 T t 7 t 7 C(2)最小正周期T =;(3)由 x +c p =-+k?c(k W Z)求对称轴;(4)由-+2k?c(o x +(p -+2k z(k W Z)求增区间;c o 2 2 2九3兀由5+2k?c o d x +(p 0,b 0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为二,则其a2 b2 2离心率的值是.【答 案】2【解 析】分析:先确定双曲线的焦点到渐近线的距离,再根据条件求离心率.详 解:因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y=:X,即bx a y=。的 距 离 为 箕 j=工=b
7、,所以 后 m,Lu 2 2.2 2 3 2 1 2 1-b=y e ,因此a=c b=c-4c=4c,a=C,e=2.点睛:双曲线的焦点到渐近线的距离为,焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为aIc o s 一,0 x 0,f/-)=0,因此2(,八(1)2+1=0 9=3.从而函数而在-1,0 上单调递增,在 0,1上单调递减,所以f(x)max=f(0),f(x)mi n=f(-l),f(x)max+f(x)mi l l=f(0)+f(-l)=1-4=-3.点睛:对于函数零点个数问题,可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称
8、性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.1 2 .在平面直角坐标系xO y中,A为直线l:y=2让 在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线/交于另一点。.若A b-c b =o,则点A的横坐标为.【答案】3【解析】分析:先根据条件确定圆方程,再利用方程组解出交点坐标,最后根据平面向量的数量积求结果.a +5详解:设A(a,2 a)(a 0),则由圆心C为A B中点得C(丁,a),易得。C:(x-5)(x-a)+y(y-2 a)=0,与y=2 x联立解一-a +5得点 D 的横坐标XD=1,所以D(l,2).所以A B =(5-a-2 a),C D=
9、(1 2-a),j-*Z Q a +5 7 _ a由 A B -C D =0得(5-a)(l )+(-2 a)(2-a)=0,a -2 a-3=0,a =3或a =b因为a 0,所以a =3.点睛:以向量为载体求相关变量的取值或范围,是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算,将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.1 3.在 A B C 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,/A B C =1 2 0。,/A B C 的平分线交A C 于 点。,且B D =1,则4a +c 的最小值为.【答案】9【解析】分析:先根据三
10、角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解:由题意可知,SA A B C=SA A B D+SA B C D,由角平分线性质和三角形面积公式得-a c si n l 2 0 =-a x 1 x si n 60 +-c *1 x si n 60,化简得a c =a +c,-+-=1,因此2 2 2 a c1 1 c 4a 5 4a4a +c =(4a +c)(-+-)=5+-+5+2-9,a c a c a c当且仅当c =2 a =3时取等号,则4a +c 的最小值为9.点睛:在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正(即条件要求中字母为正数)、“
11、定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.1 4.已知集合人=x|x=2 n T,n N*,B=x|x=2n,n e N*)-将A UB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 aj.记S”为数列 a j 的 前 项 和,则使得S。1 2 a“+1 成立的的最小值为.【答案】2 7【解析】分析:先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围,再列不等式求满足条件的项数的最小值.详解:设%=2k,则=(2 x 1-1)+(2 x 2-1)+-+(2 -2k-1-l)+2+22+2k_ 2 1(1+2 x 2 1-1)2(14)卜
12、2+2-22-1-2由 S n 12%+1 得22k-+2k +1-2 12(2%l),(2k r l)2-20(2k-1)-14 0,2k-1 25,k 6所以只需研究2 5%16.由m 2+2*1-2 12(2m +l),m2-24m +50 0,m 22,n =m +5 27得满足条件的n 最小值为27.点睛:本题采用分组转化法求和,将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和分组转化法求和的常见类型主要有分段型(如 =髭),符 号 型(如=(T)%2),周 期 型(如%=.二、解答题:本大题共6 小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1
13、5.在平行六面体ABCD-AFCDi中,AA=AB,ABi(第15题)求 证:(1)AB II 平面ABC;(2)平面ABBjA J平面ABC.【答案】答案见解析【解析】分析:(1)先根据平行六面体得线线平行,再根据线面平行判定定理得结论;(2)先根据条件得菱 形 再 根 据 菱 形 对 角 线 相 互 垂 直,以及已知垂直条件,利用线面垂直判定定理得线面垂直,最后根据面面垂直判定定理得结论.详解:证明:(1)在平行六面体中,AB/AiB.因为A8 c 平面4 8 C,4 B iU 平面面8 C,所以A8平面ABC.(2)在平行六面体ABCD-ABCQi中,四边形ABBNi为平行四边形.又因为
14、A4尸A 3,所以四边形A 3 S 4 为菱形,因此A8|_L4反又因为Abi,刀C,B C B C,所以又因为 A 18nBe=&4 8 u 平面 ABC,BCu 平面 ABC,所以平面4 5 c因为ABi u平面ABBA,所以平面A88i4_L平面AiBC.点睛:本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致儿何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误,如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形,且对应边互相平行,侧面都是平行四边形”,再如菱形对角线互相垂直的条件,这些条件在解题中都是已知条件,缺少对这些条件的应用可导致无法证明.16.已知a,。为锐角,tana=-cos(a+P)=-(1)求c
15、os2a的值;(2)求tan(a-0)的值.o7 答案 J(1)cos2a=2cosaT=-25(2)tan(a-p)=tan2a-(a+P)=tan2a-tan(a+p)1 +tan2atan(a+p)211【解析】分析:先根据同角三角函数关系得cos?。,再根据二倍角余弦公式得结果;(2)先根据二倍角正切公式得tan2a,再利用两角差的正切公式得结果.4 since _ _ 4详解:解:(1)因为tana=-,tana=-,所以sina=-cosa.3 cosa 39因为sin2(x+cos%=1,所以cosa=,252 7因此,cos2a=2cos-a-1=-.25(2)因为a,。为锐角
16、,所以a+pc(O,兀).又因为cos(a+P)=-g,所以sin(a+0)=Jl.cos.a+0)=因此tan(a+p)=24 2tana 24因为 tana=-,所以 tan2a=-=-;3 1 -tan a 7因此,tan(a-P)=tan2a-(a+P)=tan2a-tan(a+p)1 +tan2atan(a+p)211点睛:应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幕与降幕 等.(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待
17、的目标,其手法通常有:“常值代换,、“逆用变用公式,、“通分约分,、“分解与组合,、,配方与平方,等.1 7.某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆。的一段圆弧M P N (P 为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆。的半径为40 米,点 P到 的 距 离 为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大 棚 I 内的地块形状为矩形A 8 C Q,大棚H 内的地块形状为A C D P,要求A3 均在线段MN上,C.D 均在圆弧上.设OC与MN所成的角为仇(1)用9 分别表示矩形A B C D 和 A C D P 的面积,并确定si n。的取值范围;(2)若大棚I 内种植甲种蔬菜,大棚H 内
18、种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当。为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【答案】(1)矩形A B C。的面积为8 0 0 (4si n 0 c o s6+c o s。)平方米,C C P 的面积为1 6 0 0 (c o sd-si n 6 c o s。),si n 的取值范围是 1,1).4【解析】分析:(1)先根据条件求矩形长与宽,三角形的底与高,再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果,最后根据实际意义确定si n。的取值范围;(2)根据条件列函数关系式,利用导数求极值点,再根据单调性确定函数最值取法.解:(1)连结P。并 延 长 交 于”,则所以
19、0 4=1 0.过。作 OE J_ 8 c 于 E,则 OE MM 所以 N CO E=0,故 OE=40cos,EC=40sin。,则矩形 A8C)的面积为 2x40cos6(40sin+l0)=800(4sin0=-(0,-).4 6当-)时,才能作出满足条件的矩形48C,2所以sinJ的取值范围是d,1).4答:矩形A8c。的面积为800(4sin0cos0+cos0)平方米,C。尸的面积为1600(cos。sinJcos。),sin。的取值范围是L 1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3,设甲的单位面积的年产值为4七乙的单位面积的年产值为弘(Q 0),则年总产值为
20、 4攵 x800(4sin+cos9)+3依 1600(cos9-sin)二 8000攵(sin0cos0+cos0),-).2设/(夕)=sinMcos夕+cos仇 夕%,-),2则 f(。)=cos20-sir?。-sin0=-(2sin29+sin0-1)=-(2sin6-l)(sin0+1)-.冗令 f(0)=0,得 Q当 叱(出,-)时,f(e)0,所以/(J)为增函数:6冗 冗当 柒(-,-)时,f(0)b 0).又点(祗-)在椭圆C上,a2 b2 2,3 1(4-=1 ,2 _ A所 以 卜4b2 ,解得(a2-b2=3,2因此,椭圆C的方程为土+y 2=l.4因为圆。的直径为F
21、 F 2,所以其方程为x 2 +y 2 =3-(2)设直线/与圆 O相切于P(Xo,y o)(Xo O,y o O),贝 收+y 02 =3,所以直线/的方程为y=A x-x J+y o,B P y=-X+-.y。y0 y0由X2,了+y=】,殉 3y =-x +,Yo Yo消去y,得 必2 +y o x2-2 4XQX+3 6 -4y02=0.(*)因为直线/与椭圆C有且只有一个公共点,所以 A =(-2 4闻)2 -4(4X02+y02)(3 6 -4y02)=48 y02(x02-2)=0.因为巴,丫0 0,所以必=扬y 0=1.因此,点P的坐标为(也,1).因为三角形0 4 8的面积为
22、 妙,所以1ABO P=4I从而AB=3.7 2 7 7设人的必建“。,2 4Ko士 眄Q5由(*)得 X =-2(4x02+y02)所以 A B?=X -x/+(y j -y2)2Xo 48 y o 2-2)=(1+)-2-2 2 y0(4x o2+yo2)因为 x 0 +y0 =3 由 N 2 3 2 4 2所以 A B =-=即 2 X(/-45嫣 +1 00=0,(x 0-+l)2 49解得x o?:/;:2哈 去),则y()2 =;,因此P的坐标为综上,直线/的方程为 丫 =-而x +3梃.点睛:直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法:一是设出点的坐标,运用“设而不求 思想求解
23、;二是设出直线方程,与椭圆方程联立,利用韦达定理求出交点坐标,适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.1 9.记 f(x),g(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在洵C R,满足K%)=g(x()且,(3=g (x j,则称为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x 与g(x)=x 2 +2 X-2 不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax 2-l 与g(x)=l n x 存 在“S点”,求实数”的值;(3)己知函数f(x)=-x?+a,g(x)=对任意a 0,判断是否存在b 0,使函数f(x)与g(x)i t 区间(0,+8)内x存 在“S 点”,并说明
24、理由.【答案】(1)证明见解析。的值为士2(3)对任意a 0,存在方 0,使函数/(x)与 g (x)在 区 间(0,+o o)内存在“S点”.【解析】分析:(1)根据题中“S 点”的定义列两个方程,根据方程组无解证得结论;(2)同(1)根据“S 点”的定义列两个方程,解方程组可得。的值:(3)通过构造函数以及结合“S点”的定义列两个方程,再判断方程组是否有解即可证得结论.详解:解:(I)函数f (x)-x,g(x)-X2+2X-2,则/(x)=1,g(x)=2 x+2.由/(x)=g(x)且/(x)=g(x),得|x =x +2 x-2,此方程组无解,(1 =2x +2因此,/(x)与 g
25、(x)不存在“S”点.(2)函数f(x)=a x?-1,g(x)=l n x,则 f(x)=2a x,g(x)=-X设沏为/(X)与 g(X)的“S”点,由/(即)与 g(X o)且/(即)与 g(刈),得1 1 =2得1 叽=一,即-L 则 1 2.2 x o =e -j22(e )e1当2=叫,=-瑞足方 程 组(*),即为f(x)与 g(x)的“S”点.2 X。一 e因此,4 的值为上2(3)对任意a 0,设h(x)=x,.3x?.ax+a,因为h(0)=a 0,h=1 3 a+a=2 O.e(l-xo)bex函数f(x)=-x2+a,g(x)=,Xn lbex(x-1)则 f(x)=-
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