2021全国甲卷高考数学（理）真题评析.pdf

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1、2021高考数学（理）真题本资料分试卷使用地区、试卷总评、考点分布细目表、试题深度解读四个模块,其中试题深度解读模块又分为【命题意图】答案：解：点评：【知识链接】等栏目，其中解：中尽可能提供多种解法供参考.本资料部分内容来源于网络一、试卷使用地区2021年全国甲卷即原来的全国I I I卷，使用地区为四川、云南、贵州、广西、西藏二、试卷总评2021年高考数学全国甲卷理科命题，坚持思想性与科学性的高度统一,发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点，命制具有教育意义的试题，以增强考生社会责任感，引导考生形成正确的人生观、价值观、世界观.如第8题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之 三角高程测量法为背景设计，要求

2、考生能正确应用线线关系、线面关系、点面关系等几何知识构建计算模型，情境真实,突出理论联系实际.深化新时代教育评价改革总体方案提出，构建引导考生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式,增强试题开放性,减少死记硬背 和“机械刷题”现 象.2021年高考数学全国甲卷理科命题积极贯彻 总体方案要求，加大开放题的创新力度,利用开放题考查考生数学学科核心素养和关键能力,发挥数学科的选拔功能.如 第1 8题给出部分已知条件,要求考生根据试题要求构建一个命题,充分考查考生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中,重视培养数学核心素养,克服“机械刷题”现象.该套试题突出数学本

3、质，重视理性思维,坚持素养导向、能力为重的命题原则；倡导理论联系实际、学以致用，关注我国社会主义建设和科学技术发展的重要成果,通过设计真实问题情境，体现数学的应用价值.如第2题以我国在脱贫攻坚工作取得全面胜利和农村振兴为背景,通过图表给出某地农户家庭收入情况的抽样调查结果，以此设计问题,考查考生分析问题和数据处理的能力.身心健康是素质教育的核心内容,在高考评价体系的核心价值指标体系中，包含有健康情感的指标,要求考生具有健康意识,注重增强体质，健全人格,锻炼意志.本套试卷对此也有所体现,如第4题以社会普遍关注的青少年视力问题为背景,重点考查考生的数学理解能力和运算求解能力.总之,2021年高考数

4、学全国甲卷理科很好地落实了立德树人、服务选才、引导教学的高考核心功能，同时突出数学学科特色,试题有坡度,发挥了高考数学科的选拔功能,对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.三、考点分布细目表题号命题点模 块（题目数）1集合的交集集 合（共 1题）2频率分布直方图概率与统计（共 3 题）3复数的概念与运算复 数（共 1题）4指数与对数的应用函 数（共 3 题）5双曲线的几何性质解析几何（共 3 题）6三视图立体几何（共 3 题）7等比数列、充分条件与必要条件1.数 列（共 2 题）2.常用逻辑用语（共 1 题）8解三角形的应用三角函数与解三角形（共 3 题）9三角变换三角函数与解三角形（共

5、3 题）10古典概型概率与统计（共 3 题）11球与几何体的切接立体几何（共 3 题）12函数的性质函 数（共 3 题）13导数的几何意义导 数（共 2 题）14平面向量的数量积及坐标运算平面向量（共 1题）15椭圆解析几何（共 3 题）16三角函数的图象与性质三角函数与解三角形（共 3 题）17独立性检验概率与统计（共 3 题）18等差数列数 列（共 2 题）19线线垂直的证明及二面角的计算立体几何（共 3 题）20抛物线及直线与圆的位置关系解析几何（共 3 题）21导数的应用1.函 数（共 3 题）2.导 数（共 2 题）22极坐标与参数方程选修4-423绝对值函数的图象及恒成立问题选项4

6、-5四、试题深度解读1.设集合M =x 0 x 4,N =,则 r|N=()1 ,-x3A.xOx B.x.3 JC.|x|4 x 5 D,x 0 x 5【命题意图】本题考查集合的交集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.答案：B解：因为“=幻0%4 ,=幻；4 4 5 ,所 以 门 =卜 6%50%,故D正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为3x0.02+4x0.04+5 x 0.10+6x0.14+7 x0.20+8x0.20+9x0.10+10 x0.10+11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68(万元)，超过6.5万元,故C错误.综上,

7、给出结论中不正确的是C.故选C.点评：统计图表是高考考查的热点，但考查方式不限于课本涉及的统计分布直方图及茎叶图，生产与生活中常用的折线图、柱形图、扇形图、雷达图在高考中多次考查.【知识链接】1.解决频率分布直方图问题时要抓住3个要点(1)直方图中各小长方形的面积之和为1.频率 频率(2)直方图中纵轴表示翁,故每组样本的频率为组距乂蒜,即矩形的面积.(3)直方图中每组样本的频数为频率X总体数.2.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法(1)众数为频率分布直方图中最高矩形底边中点横坐标；(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标；(3)平均数等于每个小矩形面

8、积与小矩形底边中点横坐标之积的和.3.已知(1 一zz=3+2z，则 z=(),3 .,3.3.3.A.-1-1 B.-1H l C.-F i D.-12 2 2 2答案：B解：,rix j .2 bi r 3+2(34-2z)i-2+3i 3.,解法一：因为(1一。二一2,所以z=-=-=-=-1+/.故选B.-2i-2i-i 2 2Ar jX J r4 /i .2 c.二 匕 、j 3 +2 z 3 厂 +2，一 3 z +2 3 .i.n解法一：因为(1 2)=2 z，所以 z =-=-=-=1 H i.故达 B.7-2i-2i-2 2解法 三：因 为(1 炉=一 2 1,设 2 =%+

9、耳(羽”马，由(l 7 y z =3 +2，可 得 2 y-2 x i =3 +2 i,所以3 32 y =3,-2 x =2,即 x =l,y =5,所以 z =+,故选 B.点评：复数是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前3 题的位置上,考查热点一是复数的概念与复数的几何意义，如复数的模、共辗复数、纯虚数、复数的几何意义等，二是复数的加减乘除运算.【知识链接】解复数运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i 的看作一类同类项,不含i 的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母

10、的共枕复数，解题中要注意把i 的事写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a+6 i(a,bG R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a+6 i(a G R)的形式，再结合复数的几何意义解答.4.青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据上和小数记录表的数据，的满足L =5 +l g V .已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为()(狗 1.2 5 9)A.1.5 B.1.2 C

11、.0.8 D.0.6【命题意图】本题考查对数式与指数式的互化，考查数学运算的核心素养.难度：容易.答案：C_L 1 1解：由 L =5 +l g V,当乙=4.9 时，l g V =-O.l,则 V =1(TJ=1 O 1 0故选C.点评：本题以社会普遍关注的青少年视力问题为背景,重点考查考生的数学理解能力和近似求解能力.身心健康是素质教育的核心内容,在高考评价体系的核心价值指标体系中,包含有健康情感的指标,要求考生具有健康意识,注重增强体质，健全人格,锻炼意志.【知识链接】若。0 且a w l,N 0,则/=N olog“N =45.已知G，鸟是双曲线C 的两个焦点，。为 C 上一点，且/耳

12、尸片=6 0,|尸 国=3|叫|,则。的离心率为（）A.旦 B.叵 C.V 7 D.V 1 32 2【命题意图】本题考查双曲线的定义及几何性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：容易答案：A解:因 为|尸制=3|尸周，由双曲线的定义可得|尸耳|一归闾=2|?思|=2 a,所以|闾=,|尸耳|=3 a；因为“P居=6 0。,由余弦定理可得4 c2=9 a 2+a 2 2 x 3 a 4 c o s 6 0。，整理可得4 c2=7。2,所以e 2=4=N,即e=E .故选A.a2 4 2点评：双曲线是高考必考问题,一般作为客观题考查,若单独考查双曲线的定义与几何性质，一般为基础题，若与其他知

13、识交汇考查，可能会出现难度较大的客观题.【知识链接】1 .在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合I 阳 一 所|=2 a,运用平方的方法，建立与I 阳 I 4I的联系.x2 y2 .双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线F-=l（a 0,於0）中，离心率e 与双曲线的渐a b近线的斜率A=4 茜足关系式e =l +A2.a6.在一个正方体中，过顶点/的三条棱的中点分别为 KG.该正方体截去三棱锥4-EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）【命题意图】本题考查三视图的识别，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：容易答案：D解：由题意及

14、正视图可得几何体的直观图，如图所示,所以其侧视图为，故选D.点评：有关三视图的试题,往年大多与几何体的体积、表面积交汇考查,今年考查三视图的识别,不需要计算,难度也有所降低,属于送分题.【知识链接】三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向,注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图,还原、推测直观图的可能形式,然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项逐项代入,再看看给出的部分三视图是否符合.(3)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱

15、、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理,结合空间想象将三视图还原为实物图.7.等比数列 4 的 公 比 为 前 项 和 为 S“，设甲：q0,乙：是递增数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【命题意图】本题考查数列的单调性及充分条件与必要条件，考查逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易答案：B解：解法一：S,是递增数列o 0 o 6 0 且q 0,所以q 0是 5,是递增数列必要不充分条件,故选B.解法二：令 氏=-1,则4 0,但 S“不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.若 7 0成立,

16、所以甲是乙的必要条件.故选B.点评：要否定一个结论，有时可通过构造反例来完成.【知识链接】1.充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据K g,进行判断,适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根 据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性,进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.2 .从集合的角度理解充分条件与必要条件若P以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即4=x|p(x),8=x|g(x),则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若 4U 6,则。是 q 的充分条件；

17、(2)若 氏 则 p是 q 的必要条件；若 4=6,则 0是 g 的充要条件；(4)若A 中B,则。是 g的充分不必要条件；(5)若虺6,则 p是(?的必要不充分条件；(6)若 4 06 且就用则是g 的既不充分也不必要条件.8.2 0 2 0 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,及，三点，且A,B,C 在同一水平面上的投影A I ,。满足N A，C S=45,/4 B C =60 .由，点测得6 点的仰角为15。，骸 与 C C 的差为 10 0；由8 点测得

18、力点的仰角为45,则A,C 两点到水平面ABC的高度差44 一。约为(7 3 1.7 32)A.346B.37 3C.446D.47 3【命题意图】本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查数学建模及直观想象的核心素养.难度：中等偏易答案：B解：过 C 作 C”_ L 3B ,过 8作 _ L A 4,故 A 4-C C =A 4-(33-3)=A 4 33+10 0 =AD+10 0,由题，易 知 为 等 腰 直 角 三 角 形，所 以4)=03.所以A 4 C C =O B+10 0 =A 3+10 0.因为N B C H =15,所以C =C 8 =-,在中，由正弦定理得：t a n 1

19、5 0A B CB 1 0 0 1 0 0 工s i n 4 5 -s i n 7 5 -t a n 1 5 c o s 1 5 -s i n 1 5 0/7 _ J 7s i n 1 5 =s i n(4 5 -3 0 )=s i n 4 5 0 c o s 3 0 0 -c o s 4 5 s i n 3 0 =J ,所以 48，=-=0 0(6 +1)，2 7 3,所 以 一 =4 3 +1 0 0=3 7 3.故选 B.V 6-V 2【分析】本题以测量珠穆朗玛峰高程的方法之-三角高程测量法为背景设计,要求考生能正确应用线线关系、线面关系、点面关系等几何知识构建计算模型，情境真实,突出理

20、论联系实际,求解的关键是将己知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理或余弦定理求解.【知识链接】求距离、高度问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用，就选择更便于计算的定理.9.若 a e 0,c o s a,t a n2a=-:-，则 t a n a =()2-s i n aAA.-岳-R石 石 n V 1 5D.C.-u.-1 5 5 3 3【命题意图】本题同角三角函数基本关系式及二倍角公式的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中点

21、偏易答案：A“c q c cos a c s i n 2 2 s i n c o s c o s a解：由 t a n 2 a =-可得 t a n 2a=-=-=-,2-s i n c o s 2 a l-2 s i n-a 2 -s i n(c%)八 2 s i n a 1 ,n,.1 ,a s 0,.-.c o s a O,/.-；=-，解得s i n a =一，I 2 J l-2 s i n-a 2 s i n a 4c o s a =V l-s i n2 a=业5,r.t a n a=泊。=.故选 A.4 c o s a 1 5点评：三角函数与解三角形是高考中的重点，若解答题中没有解

22、三角形，则客观题中一般有3道三角函数与解三角形试题,这3道题分别考查三角变换、三角函数的图象与性质及解三角形.【知识链接】1 .利 用s i n2 7+c o s2)=-2尤2 +2,所以/C卜/仁+2卜(|+2)=/1|+11-/(|+卜/图=-/|+2卜-七+2卜/(务(故选”解 法 二：由/(X+1)是 奇 函 数，所 以/(-x+l)=-/(x+l),用X+1代 换 上 式 中 的X可得 r)=-/(x +2),由/(x+2)是偶函数，所以X+2)=/(T+2),所以一*+2)=-/(一无)，所以/(x +2)=/(x),/(x+4)=/(x+2)(x),所以/(0)+/(3)=/(2

23、)/(1)=3 a =6,a =2 ,/(-x+l)=-/(x+l)中令 x =0 得/=a+b =0,所以 b=2,所以 x e l,2 时，小=2炉+2,所以/图=小+4卜醺 T图故选D.点评：函数的奇偶性是高考考查的热点，若单独考查,一般为基础题,若与函数的单调性、周期性交汇考查,常作为客观题的压轴题.【知识链接】函数对称性与函数周期性的关系 若 函 数/（X）的图象既关于直线X=a对称，又关于直线X 对称（4H。），则/（X）是周期函数，且2伍一 a）是它的一个周期.若 函 数/（x）的 图 象 既 关 于 点 0）对称，又关于点（伍0）对 称（a。力），则/（x）是周期函数，且2（6

24、 a）是它的一个周期.若 函 数“X）的图象既关于直线x =a对称，又关于点他,0）对 称（a w h）,则/（x）是周期函数，且4 0-a）是它的一个周期.1 3.曲线y =在点（-L-3）处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _.x+2【命题意图】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养.难度：容易答案：5 x-y +2 =0解：因为y2%一1 曲“M 2（x+2）-（2 x-l）T，所以y =7 点 x+2 （x+2）=5,故切线方程为y +3 =5（x +l）,即5 x-y +2 =0.点评：用导数的几何意义研究曲线的切线，是高考的一个热点，内容主要涉及求曲线切线的斜率与

25、方程、曲线切线的条数、公切线问题，由切线满足条件求参数或参数范围等,高考中既有基础客观题,也有压轴客观题,时而也会以解答题形式考查.【知识链接】导数的几何意义是研究曲线的切线的基石，函数y=f（x）在点同处的导数的几何意义,就是曲线y=f（x）在点尸（施,（施）处的切线的斜率.也就是说，曲 线y=f（x）在点尸（照,（加）处的切线的斜率是/（%）.求以曲线上的点（用,汽施）为切点的切线方程的求解步骤：求出函数/Xx）的 导 数f（x）；求切 线 的 斜 率（加；写出切线方程y F（x ）=/（加（x 灰），并化简.求曲线过某点的切线，一般是设（yQ=f（照），出切点（照,外）,解方程组彳匕二方

26、,/、得切点（照,%）,进而确定切线方程.一/X o）,小一典1 4.已知向量q =（3,1）,B =（1,0）,C=Q+&B.若 _ _ ,则4=.【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算，考查数学抽象与数学运算的核心素养.难度：容易解：解 法 一：:5 =(3/)石=(1,O),;.1=M +防=(3+&,1),.alc,.-.a-c=3(3+Z:)+lxl=0,解得,10k=-.3解 法 二：因为 2=(3,1)3=(1,0),所 以/=32+2=0,.7 3 x 1 +1x0=3,因为 口，所以_ 2 _ 八 10.a A-c,：.a-c=a+k a-h-10+3A:=0 解得

27、=一 点评：平面向量是高考数学必考知识点，一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的数量积，可以是容易题，也可以是中等难度题，中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.【知识链接】平面向量数量积求解问题的策略a b求两向量的夹角：cos o=7 a*耍注意 0,7 1 两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a L b a b=0 a-b=a-b.求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：,&=|a2或|=后 二；ab=yj2a b+b;若 a=(%y),则=yjx+y.2 21 5.已知片，入为椭圆C-.言+?=1的两个焦点,？0为C上关于坐标原点对称的两点，

28、且|尸。|=|耳 闾，则四边形P F Q F)的面积为_ _ _ _ _ _ _ _.【命题意图】本题考查椭圆的定义及几何性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.答案：8解：因为P,Q为。上关于坐标原点对称的两点，片，工也关于原点对称，所以四边形P6Q玛为平行四边形,又I PQI=I F、F?I,所以四边形 P F Q F 2为矩形，设I P6|=加,|P F21=，则 m +n=S,m2+n2=48,所以64=(加+)2 =/+2根+2=48+2相，痴=8,即四边形P片Q&面积等于8.点评：注意与椭圆焦点弦长或焦半径有关的计算问题及与焦点有关的距离问题，常利用椭圆的定义求解.

29、本题通过椭圆定义整体代入,直接求mn,避开了复杂的运算.【知识链接】椭圆中几个常用的结论：(1)焦点三角形：椭圆上的点尸(刘，与两焦点构成的阳K叫做焦点三角 形.r.=1/1,2-2=1/|,4FP A殳 2=o,两片的面积为S,则在椭圆勺+=1(苫。0)中：a b当时，即点尸的位置为短轴端点时，最大;S=Z/t a i r y=/为I,当I y(J =力时，即点P的位置为短轴端点时,S取最大值,最大值为be.2炉焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦 长小户一.r2声(3)/1 4为椭圆-7+而=1 E 8 0)的弦，力(汨，切)，B(x%，弦中点M(xo,，则a

30、 b弦长/=3+七I X L X 2 1=q 1 +/|M%I；直线A B的斜率kv=-4 .1 6.己知函数/(x)=2 c o s(S +0)的部分图像如图所示，则满足条件0的最小正整数X为【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：中等偏难解:解法一:由图可知一7 =，即T =一2 =万，所 以0=2；由五点法可得2 x 2 +0 =工，即4 1 2 3 4 3 28=-Y；所以/（x）=2 c o s（2xq）因为./（一=2 c o s 野=1,./（争=2 c o s仔）=0；所 以 由/(幻/1）=2fM-f0可得/(x)l或/(x)0；因为

31、=1,又/(2)=2 c o s|4 弓 ，符合题意,可得x的最小正整数为2.解法二：根据图象估值,或者干脆拿出三角板测量一下,由图象估计y轴左侧第1个零点到原点距离是y轴7 7-4 兀 (71右侧第1个零点到原点距离的一半,所以y轴左侧第1个零点为-,171,/(-)=/-6 3 1 3713=0,y轴右TT侧第一个对称轴为x=,/1 2,显 然 1 不符合条件.结合估值可知2在 y轴右侧第1 个零点与第2个零点之间,符合条件.点评：解法二是非常规解法，但在求解与某些给出图象的问题时比较实用，法无定法,得分是硬道理！【知识链接】根 据 尸 4 si n(o x+0),x C R 的图象求解析

32、式的步骤：(1)首先确定振幅和周期,从而得到4与。.(I )/为离开平衡位置的最大距离，即最大值与最小值的差的一半.(I I)3由周期得到：函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值,且相邻的两条对称轴之间的距离为函数的半个周期；函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；一条对称轴与其相邻的一个对称中心间的距离为函数的 个周期(借助图象很好理解记忆).(2)求。的值时最好选用最值点求.,.n ,JI峰点：cox+k 0.0 5 0 0.0 1 00.0 0 1k3.84 16.6 3 51 0.82 8【命题意图】本题考查频率的计算与独立性检验，考查数据分析与

33、数学建模的核心素养.难度：容易解：(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为变=75%,2 0 0乙机床生产的产品中的一级品的频率为上1 2：0=6 0%.2 0 0 二 400(150 x8。-120 x5。)、口巾金，2 7 0 x 1 3 0 x 2 0 0 x 2 0 0 3 9故能有9 9%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.点评：作为解答题,本题实在太容易了，只相当于课本基础题的难度,且这种题型平时训练较多,该题就是送分题.【知识链接】独立性检验的一般步骤(1)假设两个分类变量x与y没有关系；(2)计算出K：的观测值,其中K2 一 n(ad-bcf(a +%)(c+d)(

34、a +c)(b+d)(3)把 Y的值与临界值比较，作出合理的判断.注意：在列联表中注意事件的对应及相关值的确定,不可混淆.1 8.己知数列 q 的各项均为正数,记S”为 4的前项和,从下面中选取两个作为条件,证明另外一个成立.数列 凡 是等差数列：数列、属 是等差数列；%=3。一注：若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.【命题意图】本题考查等差数列的证明及与的关系,考查逻辑推理与数学抽象的核心素养.难度：中等解：选作条件证明：设=an+b(a 0),则+人了，当 =1 时,6 =S =(a +b)；当时，=Sn-S;,_ =(a+b)2-a +=a(2an-a+2b)；因为 a,也是等

35、差数列，所以(a +h)2=a(2 a a +力)，解得b =0；所以a“=/(2 -1),所以g=3 q.选作条件证明：因 为%=3 q,a,是等差数列，所以公差d =%=2%,所以 S =na+1)d=n2a,即=yan,因为6 7-阀=向(+1)-向,所以 后 是等差数列选作条件证明：设 yS =an+b(a 0),则 Sn=(a +b，当 =1 时，%=S =(a+/?)-；当 之 2 时，a“=5-5 _|=(an+b)2-(a n-a +b)-a(2ana+2b)；因 为%=3 q,所以(3 4 +2 3=3(。+。)2,解得。=0或 匕=一 号；当匕=0时，4 =/,4 =/(2

36、 1),当22时，a”=2/满足等差数列的定义,此时 a,为等差数列;4 /4 I c i当6 =一?-时，=an+b=a屋一个a,yJS 二 一耳 E E所成的二面角的正弦值最小？【命题意图】本题考查线面位置关系的证明、二面角的计算，考查直观想象及逻辑推理的核心素养.难度：中等.解：解法一：取 法 中 点G,连接E G,则E G A 4,4，B 1,G,E共面,且 B F L A,B i，所以 B F L E G,连接A,E,B C，由四边形B C B为正方形,可得B F 1 B.G,因为8GnEG=G，所以B F _ L平面4 4 G E,因为。Eu平面A B C E,所以B F L D

37、E.因为三棱柱4 8。一4 4&是直三棱柱,所以8 4 _ 1底面4 8。，所以8 4 1A B因为4片/4 3,8尸_ L 4与，所以3A5,(2)由(1)知8 4,B C,8与两两垂直.以5为坐标原点,分别以8 4,8 C,8区所在直线为x,、z轴建立空间直角坐标系,如图.所以8(0,0,0),A(2,0,0),E(l,1,0),尸(0,2,1).由题设。(a,0,2)(0 a 2).设平面OFE的法向量为前=(x,y,z),因 为 乔=(一1,1,1),诙=(1-a,l,2),in-E F=0_ 一 ，即m D E=0所以一1+y+z=0(l-a)x+y-2z=0令z=2 a,则加=(3

38、+a,2-a)因为平面BCC4的法向量为丽=(2,0,0),设平面B C C Q i与平面D E F的二面角的平面角为仇m-BA 6 3则|cos6|=-,=-同.陷 2 x j2/_ 2 a +14 4 2/2a+141 27当a=二时，2a2 -2 a+4取最小值为一,2 2此时g o n .解法二：因为三棱柱A B C-A Q是直三棱柱,所以BB|J.底面A B C,所以3线_ L AB因为 ABJ/AB,8尸 _ L A 4，所 以 班 J.AB,因为三棱柱ABC 4A G是直三棱柱，所以84 _L底面ABC,所以84因为 B E J L A用，所以 BE J.A B,又 B B】c

39、B F =B，所以 A B_ L平面 B C CB.所以B A,BC,5男两两垂直.直三棱柱A B C -A|8|G中因为三棱柱A B C-A C,是直三棱柱,所以8耳J L底面ABC,所以BB,L A B因为8/，4旦，所 以 即 _1 4 8,又 B B、c B F =B,所以 A3 _ L 平面 B C CtBt.所以B A,B C,3月两两垂直.以8为坐标原点,分别以8A B C,BB 所在直线为x，V，z轴建立空间直角坐标系,如图.所以 B（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0），4（0,0,2），A（2,0,2）,（0,2,2）,E（l,l,0）,F（0,2,l）.由题设

40、。（a,0,2）（0 a J(y；T)2+4 y；咒+i，所以直线4 A?与圆加相切.点评：解析几何解答题是高考数学必考题，该题一般分2问，第1问通常为求曲线的方程,难度较小，第2问通常为直线与圆锥曲线的位置关系,一般运算量比较大,相当一部分同学会因为运算能力不过关而失分.【知识链接 过不同两点4(/,),6(,必)的直线方程为(一占)(必一凹)=(3/_弘)(占_ 将)，无论八1?斜率是否存在,上式都成立、xa2 1.已知。0且函数/(x)=L(x 0).a(1)当。=2时，求/(x)的单调区间;(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求a取值范围.【命题意图】本题考查用导数研

41、究函数的单调性及函数图象交点个数问题.难度：难.d 2x-2x-x2-2ln2 x-2x(2-xln2)解：(1)当a =2时，x)=9，/(x)=-7-=-=-S2(2*)42 2 2令/(%)=0得彳=,当0 x 0,当x 六 时，/(x)0)若0 a l,则g(x)l,则时gx)0,g(x)是增函数,因为g(x)在(0,常;)及(高 ,+8)上的值域均为所以只需 1 T n 二 e,即lna 0 1),则=J_ _!=-_e a e ae所以7?(a)在(l,e)上是增函数，在(e,M)上是减函数，且(e)=0,所以a的取值范围是(l,e)U(e,+s).3 一 r/x a A i In

42、x Ina解法一 ：f (xj 7 =1 u a x x In a=Q In x-=-ax x a设函数g(x)二 见2,则 g(x)=1.令g(x)=0,得=e,在(0,e)内g(x)0,g(x)单调递增;在(e,+oo)上gx)0,g(x)单调递减；g(x)3=g(e)=J又g(l)=0,当x趋近于+8时，g(x)趋近于0,所以曲线y=与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(力与直线丁 =竟有两个交点的充分必要条件是0等；,这即是0g(a)0,二是解法二中忽略在(e,+8)上g(x)0,得出四/2 cos 61.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0)

43、,为。上的动点，点。满足AP=41A M,写出尸的轨迹G的参数方程，并判断C与G是否有公共点.【命题意图】本题考查直角坐标方程与参数方程、极坐标方程的互化，圆的几何性质，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.解：(1)由曲线C的极坐标方程0=20COS。可得=2&ose,将=2 8 5。,丁 =25布。代入可得2 +,2=2贬X,即(X-五1+y2=2,即曲线C的直角坐标方程为1+2=2;(2)设尸设“(血 +应cos。,及sin。)AP=s/2AM，.(x 1,y)=g (及 +0 cos 8 1,后 sin 夕)=(2+2 cos 0-0,2 sin 6),x 1 =2+2 c

44、os 0 V2 x=3-yfz+2 cos 0则 ，即 ,y=2sin。y=2sin。故夕的轨迹G的参数方程为卜一 +2 c s (e为参数)y=2sin 0曲线C的圆心为(J5,0),半径为0 ,曲线G的圆心为(3-夜,0),半径为2,则圆心距为3-2夜,.3 2、历 2-、历，两圆内含,故曲线c 与 G 没有公共点点评：本题是一道基础题,与前两年第22题相比较,今年的试题较为平和,学生更容易得分.【知识链接】1 .圆的参数方程X=7 C 0 S 0(1)圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为 0(。为参数)；y=r s i n 0 x a+i i c o s 0(2)圆心为C(a,b),半径

45、为r的圆的参数方程为 一.八(占为参数).|,y=o+r s i n 2.极坐标与直角坐标的互化(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与x 轴正向重合；取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x =夕：0 5。及丁=2 5 由。直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如c o s。，p s i n ,p2的形式,进行整体代换.2 3.已知函数/(x)=|x _ 2|,g(x)=|2x +3|_|2x _“.(1)画出y =/(x)和 y =g(x)的图像；(2)若/(x +a)2g(x),求

46、 a的取值范围.【命题意图】本题考查绝对值函数图象的画法及不等式恒成立问题,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.f2-x,x 2解：(1)可得/(x)=X 2=2yg(x)=|2x+3|-|2x-l|=“3-4,x 23 14 x+2,-W x -2(2)f(x+a)=x+a-2,如图,在同一个坐标系里画出/(x),g(x)图像，y =f(x+a)是 尸/(x)平移了同 个单位得到，则要使f(x+a)g(x)，需将y =/(x)向左平移，即a 0,当 y =/(x+a)过 时，|；+a -2|=4,解得=芳或则数形结合可得需至少将y =/(X)向左平移？个单位，a 2(舍 去)，y点评：求解本题的关键是正确作出/(x),g(x)的图象，作含有绝对值的函数的图象，一般把函数转化为分段函数作图，第2问不少学生想不到利用图象求解,陷入复杂的分类计算之中，导致失分,故提醒考生求解数学问题不要“得意忘形”.【知识链接】作y=1mxa|-引型函数图象的步骤.(1)令每个绝对值符号里的一次式为0,求出相应的根.(2)把这些根由小到大排序,它们把实数轴分成若干个小区间.(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号分别作出每个个区间上的图象,即得所给函数的图象