电磁场理论基础第2章.ppt

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1、第二章 电磁场基本方程 第二章 电磁场基本方程 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律2.3 麦克斯韦方程组2.4 电磁场的边界条件2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量2.6 唯一性定理 第二章 电磁场基本方程 2.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量 2.1.1 库仑定律和电场强度 图 2-1 两点电荷间的作用力 第二章 电磁场基本方程 式 中,K 是 比 例 常 数,r 是 两 点 电 荷 间 的 距 离,是 从q1指 向q2的 单位矢量。若q1和q2同号,该力是斥力,异号时为吸力。比 例 常 数K 的 数 值 与 力,电 荷 及 距 离 所 用 的 单

2、位 有 关。本 书全 部 采 用1960 年 国 际 计 量 大 会 通 过 的 国 际 单 位 制(SI 制),基 本 单位 是 米(m),千 克(kg),秒(s)和 安 培(A)。电 磁 学 中 其 他 单 位 都可 由 之 导 出,今 已 列 在 附 录C 中,以 供 查 用。在SI 制 中,库 仑 定 律表达为 第二章 电磁场基本方程 式 中,q1和q2的 单 位 是 库 仑(C),r 的 单 位 是 米(m),0是 真 空 的 介电常数:设某点试验电荷q所受到的电场作用力为F,则该点的电场强度为 由库仑定律知,在离点电荷q距离为r 处的电场强度为(2-4)第二章 电磁场基本方程 2.

3、1.2 高斯定理,电通量密度 除 电 场 强 度E 外,描 述 电 场 的 另 一 个 基 本 量 是 电 通 量 密 度D,又称为电位移矢量。在简单媒质中,电通量密度由下式定义:是 媒 质 的 介 电 常 数,在 真 空 中=0。这 样,对 真 空 中 的 点 电 荷q,由式(2-4)知,第二章 电磁场基本方程 电通量为 此 通 量 仅 取 决 于 点 电 荷 量q,而 与 所 取 球 面 的 半 径 无 关。根 据 立 体角 概 念 不 难 证 明,当 所 取 封 闭 面 非 球 面 时,穿 过 它 的 电 通 量 将 与穿 过 一 个 球 面 的 相 同,仍 为q。如 果 在 封 闭 面

4、 内 的 电 荷 不 止 一 个,则 利 用 叠 加 原 理 知,穿 出 封 闭 面 的 电 通 量 总 和 等 于 此 面 所 包 围 的总电量 这 就 是 高 斯 定 理 的 积 分 形 式(1839 年 由 德 国 K.F.Gauss 导 出),即 穿 过 任 一 封 闭 面 的 电 通 量,等 于 此 面 所 包 围 的 自 由 电 荷 总 电 量。对于简单的电荷分布,可方便地利用此关系来求出D。第二章 电磁场基本方程 若封闭面所包围的体积内的电荷是以体密度v分布的,则所包围的总电量为 上式对不同的V 都应成立,因此两边被积函数必定相等,于是有 第二章 电磁场基本方程 2.1.3 比奥

5、-萨伐定律,磁通量密度 图 2-2 两个载流回路间的作用力 第二章 电磁场基本方程 式 中,r 是 电 流 元Idl 至Idl 的 距 离,是 由dl 指 向dl 的 单 位 矢 量,0是真空的磁导率:第二章 电磁场基本方程 矢 量 B 可 看 作 是 电 流 回 路 l 作 用 于 单 位 电 流 元(Idl=1 Am)的 磁场 力,它 是 表 征 电 流 回 路l 在 其 周 围 建 立 的 磁 场 特 性 的 一 个 物 理量,称为磁通量密度或磁感应强度。它的单位是 毕 奥-萨 伐(J.B.Biot-F.Savart,法)定 律,于1820年 独 立 地 基 于磁针实验提出。磁通量密度为

6、B 的磁场对电流元Idl 的作用力为 第二章 电磁场基本方程 或 用 运 动 速 度 为v 的 电 荷Q 表 示,Idl=JAdl=vAdlv=Qv,其 中A 为 细导线截面积,得 对于点电荷q,上式变成 通 常 将 上 式 作 为B 的 定 义 公 式。点 电 荷q在 静 电 场 中 所 受 的 电 场力 为qE,因 此,当 点 电 荷q以 速 度v 在 静 止 电 荷 和 电 流 附 近 时,它所受的总力为 第二章 电磁场基本方程 例 2.1 参 看 图2-3,长2l 的 直 导 线 上 流 过 电 流I。求 真 空 中P 点的磁通量密度。图 2-3 载流直导线 第二章 电磁场基本方程 解

7、 采用柱坐标,电流Idz 到P 点的距离矢量是对无限长直导线,l,有 第二章 电磁场基本方程 2.1.4 安培环路定律,磁场强度 对于无限长的载流直导线,若以 为半径绕其一周积分B,可得 在简单媒质中,H 由下式定义:第二章 电磁场基本方程 H 称为磁场强度,是媒质的磁导率。在真空中=0,于是有 这 一 关 系 式 最 先 由 安 培 基 于 实 验 在1823年 提 出,故 称 之 为 安 培 环路 定 律。它 表 明,磁 场 强 度H 沿 闭 合 路 径 的 线 积 分 等 于 该 路 径 所包 围 的 电 流I。这 里 的I 应 理 解 为 传 导 电 流 的 代 数 和。利 用 此 定

8、 律可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。因为S面是任意取的,所以必有 第二章 电磁场基本方程 2.1.5 两个补充的基本方程 在物理学中我们已知,在静电场中E 沿任何闭合路径的线积分恒为零:利用斯托克斯定理可将左端化为E 的面积分,从而得 这 是 静 电 场 的 另 一 基 本 方 程,说 明 静 电 场 是 无 旋 场 即 保 守 场。静电 场 的 保 守 性 质 符 合 能 量 守 恒 定 律。这 样,它 和 重 力 场 性 质 相 似。物 体 在 重 力 场 中 有 一 定 的 位 能,同 样 地,电 荷 在 静 电 场 中 也 具 有一定的电位能。从而可引入电位函数:第二章 电磁场

9、基本方程 静 电 场 既 然 是 无 旋 场,则 必 然 是 有 散 场,它 的 通 量 源 就 是 电荷。电 力 线 起 止 于 正 负 电 荷。静 磁 场 的 特 性 则 正 好 相 反。因 为在 自 然 界 中 并 不 存 在 任 何 单 独 的 磁 荷,磁 力 线 总 是 闭 合 的。这样,闭 合 的 磁 力 线 穿 进 封 闭 面 多 少 条,也 必 然 要 穿 出 同 样 多 的 条数,结果使穿过封闭面的磁通量恒等于零,即 将左端化为B 的体积分知 第二章 电磁场基本方程 2.2 法拉第电磁感应定律和全电流定律 2.2.1 法拉第电磁感应定律 静 态 的 电 场 和 磁 场 的 场

10、 源 分 别 是 静 止 的 电 荷 和 等 速 运 动 的 电 荷(恒 定 电 流)。它 们 是 相 互 独 立 的,二 者 的 基 本 方 程 之 间 并 无 联 系。但 是 随 时 间 变 化 的 电 场 和 磁 场 是 相 互 关 联 的。这 首 先 由 英 国 科 学 家法 拉 第 在 实 验 中 观 察 到。他 发 现,导 线 回 路 所 交 链 的 磁 通 量 随 时 间改 变 时,回 路 中 将 感 应 一 电 动 势,而 且 感 应 电 动 势 正 比 于 磁 通 的 时间 变 化 率。楞 次(H.E.Lenz,俄)定 律 指 出 了 感 应 电 动 势 的 极 性,即它 在

11、 回 路 中 引 起 的 感 应 电 流 的 方 向 是 使 它 所 产 生 的 磁 场 阻 碍 磁 通 的变 化。这 两 个 结 果 的 结 合 就 是 法 拉 第 电 磁 感 应 定 律,其 数 学 表 达 式为 第二章 电磁场基本方程 式(2-26)可写成(2-26)右 边 第 一 项 是 磁 场 随 时 间 变 化 在 回 路 中“感 生”的 电 动 势;第 二项 是 导 体 回 路 以 速 度v 对 磁 场 作 相 对 运 动 所 引 起 的“动 生”电 动势.第二章 电磁场基本方程 应 用 斯 托 克 斯 定 理,上 式 左 端 的 线 积 分 可 化 为 面 积 分。同时,如 果

12、 回 路 是 静 止 的,则 穿 过 回 路 的 磁 通 量 的 改 变 只 有 由 于B随时间变化所引起的项。因而得 因为S是任意的,从而有 这 是 法 拉 第 电 磁 感 应 定 律 的 微 分 形 式。其 意 义 是,随 时 间 变 化 的磁 场 将 激 发 电 场。这 导 致 极 重 要 的 应 用。我 们 称 该 电 场 为 感 应 电场,以 区 别 于 由 电 荷 产 生 的 库 仑 电 场。库 仑 电 场 是 无 旋 场 即 保 守场;而感应电场是旋涡场。其旋涡源就是磁通的变化。第二章 电磁场基本方程 2.2.2 位移电流和全电流定律 微分形式基本方程如下:第二章 电磁场基本方程

13、 在 任 何 时 刻 电 荷 守 恒 定 律 都 应 成 立。法 拉 第 已 在1843年 用实验证实了这一定律。其数学表达式就是电流连续性方程:J 是 电 流 密 度 即 电 流 的 体 密 度,它 的 方 向 就 是 它 所 在 点 上 正 电 荷流 动 的 方 向,其 大 小 就 是 在 垂 直 于 该 方 向 的 单 位 面 积 上,每 单位 时 间 内 通 过 的 电 荷 量,单 位 为A/m2。因 此,若 体 积 中 各 处 都有 电 荷 流 动,则 通 过 某 封 闭 面S的 总 电 流 为。它 是 每 单 位 时 间 流 出S面 的 电 荷 量,应 等 于S面 内 每 单 位

14、时 间所减少的电荷量-dQ/dt。(2-30)第二章 电磁场基本方程 把式(2-30)两端用体积分表示,对静止体积V 有 上式对任意选择的V 都成立,故有 这是微分形式的电流连续性方程。第二章 电磁场基本方程 的 量 纲 是(库 仑/米2)/秒=安/米2,即 具 有 电 流 密 度 的 量纲,故 称 之 为 位 移 电 流 密 度(displacement current density)Jd,即 第二章 电磁场基本方程 对左端应用斯托克斯定理,便得到其积分形式:它说明:磁场强度沿任意闭合路径的线积分等于该路径所包曲面上的全电流。第二章 电磁场基本方程 2.2.3 全电流连续性原理 对任意封闭

15、面S有 即 第二章 电磁场基本方程 穿 过 任 一 封 闭 面 的 各 类 电 流 之 和 恒 为 零。这 就 是 全 电 流 连 续性 原 理。将 它 应 用 于 只 有 传 导 电 流 的 回 路 中,得 知 节 点 处 传 导 电流 的 代 数 和 为 零(流 出 的 电 流 取 正 号,流 入 取 负 号)。这 就 是 基 尔霍夫(G.R.Kirchhoff,德)电流定律:I=0。第二章 电磁场基本方程 例 2.2 设 平 板 电 容 器 两 端 加 有 时 变 电 压U,试 推 导 通 过 电 容器的电流I 与U 的关系。图 2-4 平板电容器 第二章 电磁场基本方程 解 设平板尺寸

16、远大于其间距,则板间电场可视为均匀,即E=U/d,从而得 式中C=A/d 为平板电容器的电容。第二章 电磁场基本方程 2.3 麦克斯韦方程组 2.3.1 麦克斯韦方程组的微分形式与积分形式 图 2-5 麦克斯韦 第二章 电磁场基本方程 表2-1 麦克斯韦方程组及电流连续性方程 第二章 电磁场基本方程 这四个方程的物理意义可简述如下:;(a)时变磁场将激发电场;(b)电流和时变电场都会激发磁场;(c)穿 过 任 一 封 闭 面 的 电 通 量 等 于 此 面 所 包 围 的 自 由 电 荷 电 量;(d)穿过任一封闭面的磁通量恒等于零。第二章 电磁场基本方程 麦 氏 方 程 组 中 的 四 个

17、方 程 并 不 都 是 独 立 的。表2-1 中 两 个 散度 方 程(c),(d)可 由 两 个 旋 度 方 程(a),(b)导 出。例 如,对 式(b)取散度,得 将连续性方程(e)代入上式,有 则 第二章 电磁场基本方程 2.3.2 本构关系和波动方程 对于简单媒质,本构关系是(接表 2-1 的序号)对 于 真 空(或 空 气),=0,=0,=0。=0 的 媒 质 称 为 理 想 介 质,=的 导 体 称 为 理 想 导 体,介 于 二 者 之 间 的 媒 质 统 称 为 导 电 媒质。第二章 电磁场基本方程 若 媒 质 参 数 与 位 置 无 关,称 为 均 匀(homogeneous

18、)媒质;若媒质参数与场强大小无关,称为线性(linear)媒质;若 媒 质 参 数 与 场 强 方 向 无 关,称 为 各 向 同 性(isotropic)媒质;若 媒 质 参 数 与 场 强 频 率 无 关,称 为 非 色 散 媒 质;反 之 称 为 色散(dispersive)媒质。第二章 电磁场基本方程 利用式(f),(g),(h)关系后,表2-1 中的式(a)(d)化为 第二章 电磁场基本方程 即 第二章 电磁场基本方程 为研究简单媒质中的有源区域时,J0,v0,由类似的推导得 该 二 式 称 为E 和H 的 非 齐 次 矢 量 波 动 方 程。其 中 场 强 与 场 源 的 关系 相

19、 当 复 杂,因 此 通 常 都 不 直 接 求 解 这 两 个 方 程,而 是 引 入 下 述位函数间接地求解E 和H。第二章 电磁场基本方程 2.3.3 电磁场的位函数 由 表2-1 中 的 麦 氏 方 程 组 式(d)知,B=0。由 于(A)=0,因而可引入下述矢量位函数A(简称矢位或磁矢位):即 而由表2-1 中的麦氏方程组式(a)知,第二章 电磁场基本方程 由于=0,因而可引入标量位函数(简称标位或电标位)如下:这里 前加负号是为了使 时化为静电场的E=-。因 A=(A)-2A,上式可改写为(2-47)第二章 电磁场基本方程 为使方程(2-47)具有最简单的形式,我们令 此式称为洛仑

20、兹规范(Lorentz gauge)。第二章 电磁场基本方程 第二章 电磁场基本方程 例2.3 试 用 麦 克 斯 韦 方 程 组 导 出 图2-6 所 示 的RLC 串 联 电 路 的电压方程(电路全长远小于波长)。图 2-6 RLC 串联电路 第二章 电磁场基本方程 解 沿 导 线 回 路l 作 电 场E 的 闭 合 路 径 积 分,根 据 表2-1 中的麦氏方程式(a)有 上 式 左 端 就 是 沿 回 路 的 电 压 降,而 是 回 路 所 包 围 的 磁 通。将 回路电压分段表示,得 设电阻段导体长为l1,截面积为A,电导率为,其中电场为J/,故 第二章 电磁场基本方程 电感L 定义

21、为m/I,m是通过电感线圈的全磁通,得 通过电容C 的电流已由例2.2得出:设外加电场为Ee,则有 第二章 电磁场基本方程 因为回路中的杂散磁通可略,d/dt0,从而得 这 就 是 大 家 所 熟 知 的 基 尔 霍 夫 电 压 定 律。对 于 场 源 随 时 间 作 简谐变化的情形,设角频率为,上式可化为 第二章 电磁场基本方程 例 2.4 证明导电媒质内部v=0。;解 利用电流连续性方程(2-31),并考虑到J=E,有 在简单媒质中,E=v/,故上式化为 其解为 第二章 电磁场基本方程 可 见,v随 时 间 按 指 数 减 小。衰 减 至v0的1/e 即36.8%的 时 间(称 为 驰 豫

22、 时 间)为=/(s)。对 于 铜,=5.8107S/m,=0,得=1.510-19s。因 此,导 体 内 的 电 荷 极 快 地 衰 减,使 得 其 中 的v可看作零。第二章 电磁场基本方程 2.4 电磁场的边界条件 2.4.1 一般情况 图 2-7 电磁场边界条件 第二章 电磁场基本方程 得到E 和H 的切向分量边界条件为 对此回路应用表2-1 中的麦氏旋度方程式(a),(b),可得 第二章 电磁场基本方程 计 算 穿 出 小 体 积 元Sh表 面 的D,B 通 量 时,考 虑 到S很 小,其 上D,B 可 视 为 常 数,而h为 高 阶 微 量,因 此 穿 出 侧 壁 的 通 量可忽略,

23、从而得 式 中s是 分 界 面 上 自 由 电 荷 的 面 密 度(C/m2)。对 于 理 想 导 体,其 内 部 不 存 在 电 场(否 则 它 将 产 生 无 限 大 的 电 流 密 度J=E),其电荷只存在于理想导体表面,从而形成面电荷s。于是有 第二章 电磁场基本方程 表2-2 电磁场的边界条件 第二章 电磁场基本方程 上 述 边 界 条 件 的 含 义 可 归 纳 如 下:任 何 分 界 面 上E 的 切 向分 量 是 连 续 的;在 分 界 面 上 若 存 在 面 电 流(仅 在 理 想 导 体 表 面上 存 在),H 的 切 向 分 量 不 连 续,其 差 等 于 面 电 流 密

24、 度;否 则,H的 切 向 分 量 是 连 续 的;在 分 界 面 上 有 面 电 荷(在 理 想 导 体 表 面上)时,D 的 法 向 分 量 不 连 续,其 差 等 于 面 电 荷 密 度;否 则,D 的法向分量是连续的;任何分界面上B 的法向分量是连续的。第二章 电磁场基本方程 表2-3 两种理想介质间的边界条件 2.4.2 两种特殊情况 理想介质是指，即无欧姆损耗的简单媒质。在两种理想介质的分界面上不存在面电流和自由电荷，即Js=0,。第二章 电磁场基本方程 表2-4 理想介质和理想导体间的边界条件 第二章 电磁场基本方程 图 2-8 理想导体表面的电磁场 第二章 电磁场基本方程 例2

25、.5 同轴线横截面如图2-9（a）所示。设通过直流I,内外导体上电流大小西等，方向相反。求各区中的H 和H,并验证各分界处的边界条件。图 2-9(a)同轴线;(b)平板电容器 第二章 电磁场基本方程 解 在 直 流 情 形 下 内 外 导 体 中 电 流 密 度 是 均 匀 的,分 别 为。由于H 只有H分量，由附录A 中的式（A-31）知，第二章 电磁场基本方程（2）（3）第二章 电磁场基本方程 以 上 H 结 果 证 明 表2-1 中 的 麦 氏 方 程 组 式(b)处 处 成 立。下面再验证边界条件:（4）第二章 电磁场基本方程 例 2.6 设 平 板 电 容 器 二 极 板 间 的 电

26、 场 强 度 为3 V/m,板 间 媒 质是云母,r=7.4,求二导体极板上的面电荷密度。解 参 看 图2-9(b),把 极 板 看 作 理 想 导 体,在A,B 板 表 面 分别有 第二章 电磁场基本方程 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量2.5.1 坡印廷定理的推导和意义 第二章 电磁场基本方程 将上式两端对封闭面S 所包围的体积V 进行积分,并利用散度定理后得 第二章 电磁场基本方程 式中右端各项被积函数的含义是:电场能量密度,单位:(F/m)(V2/m2)=J/m3;磁场能量密度,单位:(H/m)(A2/m2)=J/m3;p=EJ=E2传 导 电 流 引 起 的 热 损 耗 功 率 密 度

27、,单 位:(S/m)(V2/m2)=W/m3。第二章 电磁场基本方程 2.5.2 坡印廷矢量 代 表 单 位 时 间 内 流 出 封 闭 面S 的 能 量,即 流出S面的功率。因此,代 表 流 出S面 的 功 率 流 密 度,单 位 是W/m2,其 方 向 就 是 功 率 流 的方 向,它 与 矢 量E 和H 相 垂 直,三 者 成 右 手 螺 旋 关 系,如 图2-10 所示。S称为坡印廷矢量。第二章 电磁场基本方程 图 2-10 坡印廷矢量 第二章 电磁场基本方程 图2-11 同轴线的功率传输 第二章 电磁场基本方程 例 2.7 一 段 长 直 导 线l,半 径 为a,电 导 率 为。设

28、沿 线 通 过 直流I,试求其表面处的坡印廷矢量,并证明坡印廷定理。图 2-12 直流导线段 第二章 电磁场基本方程 解 故表面处坡印廷矢量为 它的方向垂直于导体表面,指向导体里面。为证明坡印廷定理,需将S 沿圆柱表面积分:第二章 电磁场基本方程 导体内的热损耗功率为 电路理论中的焦耳定理.其微分形式为 此式代表场点处各单位体积的热损耗功率。第二章 电磁场基本方程 2.6 唯 一 性 定 理 设 两 组 解E1,H1和E2,H2都 是 体 积V 中 满 足 麦 氏 方 程 和 边界 条 件 的 解。设 媒 质 是 线 性 的,则 麦 氏 方 程 也 是 线 性 的,因 而 差场E=E1-E2,H=H1-H2必 定 也 是 麦 氏 方 程 的 解。对 这 组 差 场 应用坡印廷定理,有 第二章 电磁场基本方程 因S面上E 或H 的切向分量已给定,这就是说 故必有 因而面积分等于零,则