非标准分析经典数学的一种延伸.ppt
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1、 非标准分析 经典数学的一种延伸逻辑学 12硕 吕相洋第二次数学危机 在17世纪晚期,形成了无穷小演算微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者,他们的功绩主要在于:创立了朴素的微分法和积分法;有明确的计算步骤;微分法和积分法互为逆运算由于运算的完整性和应用的广泛性,微积分成为当时解决问题的重要工具。18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的,强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是:没有清楚的无穷小概念,从而导数、微分、积分等概念不清楚;无穷大概念不清楚;发散级数求和的任意性等等;符号的不严格使用;不考虑连续性就进行微分,不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。在微积分
2、大范围应用的同时,关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竟是不是零?无穷小及其分析是否合理?由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,造成了第二次数学危机。消失的量的灵魂 直到19世纪20年代,一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义;阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和;柯西在1821年的代数分析教程中从定义变量出发,认识到函数不一定要有解析表达式;他抓住极限的概念,指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量,无穷小量是以零为极限的变量;并且定义了导数和积分;狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上,威尔斯特拉斯消除了其中不
3、确切的地方,给出现在通用的极限的定义,连续的定义,并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。19世纪70年代初,威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论,而且在实数理论的基础上,建立起极限论的基本定理,从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。在严格化后的微积分理论中,无穷小不再是一个固定的量,而是以零为极限的变量。但古典极限理论的较为繁复,而在工程师、物理学家、化学家的语言中使用“瞬时”、“微元”这样的不够精确的概念并没有影响的结果的正确性。实无穷的复活逻辑学家的意外发现(一阶逻辑广义完全性定理)(一阶逻辑广义完全性定理)如果形式语言L的一个语句集是一致的,那么这个语句集有一个模型
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