高等数学反常积分同济.ppt

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1、二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分(广义积分)反常积分 第五五章 一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例.曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、定义、定义1：以上每个极限都存在，则其对应的积分收敛，否则发散。以上每个极限都存在，则其对应的积分收敛，否则发散。机动 目录 上页 下页 返回 结束 引入记号2.广义的 Newton Leibniz 公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束

2、 例例1.计算反常积分解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考:分析分析:原积分发散!注意注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“奇偶函数积分”的性质,否则会出现错误.例例2.证明第一类 p 积分证证:当 p=1 时有 当 p 1 时有 当 p 1 时收敛;p1 时发散.因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为当 p1 时,反常积分发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.计算反常积分解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业：作业：P260 1(2),(3),(4),(5),(6)二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线所围成的与 x 轴,y

3、轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、定义、定义2：无界点称为瑕点以上每个极限都存在，则其对应的积分收敛，否则发散。以上每个极限都存在，则其对应的积分收敛，否则发散。机动 目录 上页 下页 返回 结束 a 点为瑕点b 点为瑕点a,b点为瑕点c 点为瑕点 若瑕点 若 b 为瑕点,若 a 为瑕点,若 a,b 都为瑕点,不可抵消！不可抵消！机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.广义的 Newton Leibniz 公式:若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明:例如,间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,下述解法是否正确:,积分收敛

4、例例4.计算反常积分解解:显然瑕点为 a,所以原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.讨论反常积分的收敛性.解解:所以反常积分发散.例例6.证明反常积分证证:当 q=1 时,当 q 1 时收敛;q1 时发散.当 q1 时所以当 q 1 时,该广义积分收敛,其值为当 q 1 时,该广义积分发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 1.反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2.两个重要的反常积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(1)有时通过换元,反常积分和常义积分可以互相转化.例如,(2)当一题同时含两类反常积分时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 应划分积分区间,分别讨论每一区间上的反常积分.第五节 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:P260 题2求其最大值.作业：作业：P260 1(2),(3),(4),(5),(6)(9)(10)2（选作），3（选作）补充题补充题 1.试证,并求其值.解解:令机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.解解：求的无穷间断点,故 I 为反常积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束