高中数学课件精选-双曲线的标准方程.ppt

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1、8.3 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程（1）那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢迹是怎样的曲线呢？问问 题：题：与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆与两定点的距离的和为常数的点的轨迹是椭圆 如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点两边上各选择一点，分别固定在点，分别固定在点F1、F2 上，上，|FF2|=2a(a 0).记记|MF1|-|MF2|=2a双曲线的定义双曲线的定义:平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常的距离的差的绝对值等于常

2、数数(小于小于|F1 F2|)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线.这两个定点叫这两个定点叫做做双曲线的焦点双曲线的焦点，两焦点的距离叫做，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。双曲线的焦距。xyO说说 明：明：双曲线定义用代数式表示为：双曲线定义用代数式表示为：M点的轨迹是焦点点的轨迹是焦点F2 所对应的一支；所对应的一支；M点的轨迹是以点的轨迹是以F1、F2 为端点的两条射线；为端点的两条射线；M点的轨迹不存在点的轨迹不存在.M点的轨迹是焦点点的轨迹是焦点F1 所对应的一支；所对应的一支；（1）（2）（3）（4）如图建立直角坐标系如图建立直角坐标系xOy,使使x轴经过点轴经过点F1,F2,且点

3、且点O与线段与线段F1,F2的中点重合的中点重合.设设M(x,y)是双曲线上任意一点，是双曲线上任意一点，双曲线的标准方程双曲线的标准方程:由双曲线定义知由双曲线定义知由定义知由定义知|F1 F2|=2c,F1(-c,0),F2(c,0),又设点又设点M与与F1,F2的距离的差的距离的差的绝对值等于常数的绝对值等于常数2a._双曲线的标准方程双曲线的标准方程说明说明:1.焦点在焦点在x轴轴;2.焦点焦点F1(-c,0),F2(c,0);3.c2=a2+b2.4.焦点在焦点在y 轴上的双曲线标准方程是轴上的双曲线标准方程是:例例1.已知双曲线两个焦点的坐标为已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,

4、0),F2(5,0),双曲双曲线上一点线上一点P到到F1,F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6,求双曲线求双曲线的标准方程的标准方程.解解:因为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在x轴上轴上,所以所求的双曲线标准方程为所以所求的双曲线标准方程为说明：说明：本题利用待定系数法求解。本题利用待定系数法求解。直接利用双曲线的直接利用双曲线的定义找出定义找出a,b,c三者关系。三者关系。所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为例例 已知双曲线的焦点在已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点轴上，并且双曲线上两点1,2的的坐标分别为，求双曲线的标准方程坐标分别为，求双曲线的标准方程解解:因

5、为双曲线的焦点在因为双曲线的焦点在y 轴上轴上,将将1,2代入方程得代入方程得所以所求双曲线标准方程为所以所求双曲线标准方程为说明：说明：本题利用待定系数法求解。本题利用待定系数法求解。所以设它的标准方程为所以设它的标准方程为例例3 一炮弹在某处爆炸，在一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在处听到爆炸声的时间比在B处晚处晚 2s.（1）爆炸点应在什么样的曲线上？）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知）已知A、B两地相距两地相距800 m，并且此时声速为，并且此时声速为340 m/s，求曲线的方程求曲线的方程.解：解：（1）由）由A、B两处听到爆炸声的时间差为两处听到爆炸声的时间差为2 s

6、，可知，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为两处与爆炸点的距离的差为2v（v为声速），为声速），.（2）建系如图，设爆炸点）建系如图，设爆炸点 P(x，y)，则，则|PA|-|PB|=3402=680故所求双曲线方程为：故所求双曲线方程为：因此爆炸点因此爆炸点应位于以应位于以 A、B为焦点的双曲线上。为焦点的双曲线上。因为爆炸点离因为爆炸点离A处比离处比离B处更远，所以爆炸点应在靠处更远，所以爆炸点应在靠近近B处的一支上。处的一支上。想一想：想一想：如果如果A、B两处同时听到爆炸声，那么爆炸两处同时听到爆炸声，那么爆炸点应在什么样的曲线上？点应在什么样的曲线上？答：答：爆炸点应在线段爆炸点应在线

7、段AB的中垂线上。的中垂线上。例例3 说明说明,利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间利用两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程可以确定爆炸点所在的双曲线的方程,但不能确定爆炸点的准但不能确定爆炸点的准确位置确位置.如果再增设一个观测点如果再增设一个观测点 C,利用利用 B、C(或或 A、C)两处测得两处测得的爆炸声的时间差的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程可以求出另一个双曲线的方程,.P 解这两个方程解这两个方程组成的方程组组成的方程组,就能确定爆炸点的准确位置就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重这是双曲线的一个重要应用要应用.双曲线定义双曲线定义图图 形形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标 关系关系小小 结结课堂练习：课堂练习：解：解：另解：另解：解：解：变式：变式：证明：证明：解：解：解：解：解：解：解解2：则则解得解得说明：求双曲线方程时，若没有指明焦点位置，说明：求双曲线方程时，若没有指明焦点位置，一般可设为：一般可设为：作业：作业：题单题单 双曲线标准方程双曲线标准方程 (1)