高阶偏导数、极值11题.ppt

《高阶偏导数、极值11题.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高阶偏导数、极值11题.ppt（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第七讲第七讲 高阶偏导数、极值高阶偏导数、极值1高阶偏导数的计算高阶偏导数的计算例例1(练习九练习九/一一(2)设设求求 解解例例2 设设 ,求求 解解求求 例例3(练习九练习九/二二)设设且且 ,解解例例4 设设 由由 确定确定,求求 解解将方程两边对将方程两边对 x 求导求导(z 是是 x,y 的函数的函数)有有两边再对两边再对 x 求导得求导得将将 代入解得代入解得 例例5 证明证明:当当 时时,方程方程 可化为可化为 ,其中其中 u 具有连续的二阶偏导数具有连续的二阶偏导数 解解把把,看作中看作中间变间变量量代入原方程得代入原方程得:例例6在函数在函数 u=f(x,y)中中,若令若令

2、,试证试证:解解把把 x,y 看作中看作中间变间变量量例例7 设设 ,求求 解解当当 时时,试证试证:对任意的常数对任意的常数 c,f(x,y)=c 为一为一例例8在函数在函数 z=f(x,y)具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,且且直线的充要条件是直线的充要条件是解解“”设设 f(x,y)=c 为一直线为一直线,则有则有“”只需证明由只需证明由 f(x,y)=c 确定的函数确定的函数 y=y(x)有有将将 f(x,y)=c 两边对两边对 x 求导有求导有 y=y(x)是线性函数是线性函数 f(x,y)=c 为一直线为一直线 2极值极值、最值、最值1、局部极值、局部极值 例例9(练习九练习九

3、/六六)设设 有一有一 驻点为驻点为 M0=(1,1),(1)求常数求常数 a 的值的值(2)研究函数在该点处是否取得极值研究函数在该点处是否取得极值？解解(1)(2)此时此时 驻点驻点 M0 不是极值点不是极值点2、条件极值、条件极值 最值最值 函数函数 在该点沿在该点沿 例例10 在椭球面在椭球面 上求一点上求一点,使使 方向的方向导数最大方向的方向导数最大解解设所求点为设所求点为 M=(x,y,z)构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数 解得可能的最值点为解得可能的最值点为:比较比较 知知为所求的点为所求的点例例11(练习九练习九/十三十三)在曲面在曲面 ,上作一个切平面上作一个切平面,使它与三个坐标面所围成的使它与三个坐标面所围成的四面体体积最大四面体体积最大,求切平面方程求切平面方程解解 任取任取 M=(x,y,z),法向法向:切平面切平面:即即截距截距:构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数:代入代入 是唯一可能的最值点是唯一可能的最值点,由于问题由于问题 本身最大值存在本身最大值存在,所以在所以在 P 点处体积点处体积 V 最大最大切平面方程切平面方程: