高等数学微积分第三章一元函数导数与微分.ppt

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1、 第二章第二章 一元函数导数与微分一元函数导数与微分 2.1 2.1 导数的概念导数的概念 2.2 2.2 导数的计算导数的计算 2.3 2.3 高阶导数高阶导数 2.4 2.4 几种类型函数的求导方法几种类型函数的求导方法 2.5 2.5 函数的微分与线性逼近函数的微分与线性逼近 2.1 导 数 的 概 念一一.导数的定义导数的定义问题的提出问题的提出1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线

2、位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置1.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置的极限位置的极限位置 ,2.瞬时速度瞬时速度定义定义 1导数的几何意义导数的几何意义切线方程为切线方程为:法线方程为法线方程为:定义定义 2

3、（单侧导数，左右导数）单侧导数，左右导数）右右右右左左左左定理定理 1（双侧导数与（双侧导数与单侧导数的关系）单侧导数的关系）定理定理 2（可导与连续的关系）（可导与连续的关系）证证证毕证毕例如：例如：右可导右可导左可导左可导定理定理 定义定义 3注意注意:二二.函数不可导的情况函数不可导的情况(定理定理 )例例:011/1/定义定义 1注意注意:定义定义 2例例1解解例例2解解三三.简简 单单 函函 数数 的的 导导 数数例例1 12.2 导 数 的 计 算定理定理 1（四则运算法则）（四则运算法则）注意注意:证证(2)(2)证毕证毕例例1 1同理可得同理可得同理可得同理可得定理定理 2（反

4、函数求导法则）（反函数求导法则）即即 反函数的导数等于直接函数导数的反函数的导数等于直接函数导数的倒数倒数.证证证毕证毕例例2 2解解同理可得同理可得定理定理 3（复合函数求导法则）（复合函数求导法则）即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)运用复合函数求导数法则的关键是正确地分析运用复合函数求导数法则的关键是正确地分析函数的复合关系函数的复合关系.证证证毕证毕推广推广例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解同理可得同理可得注意注意:初等函数的初等函数的导数仍为初导

5、数仍为初等函数等函数.例例6 6解解2.3 高 阶 导 数一一.高阶导数的概念高阶导数的概念定义定义记作记作二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.从高阶导数的定义可以知道，从高阶导数的定义可以知道，二.高阶导数的计算例例1 1解解例例2 2解解注意注意:例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解例例6 6解解例例7 7解解例例8 8解解例例9 9证证证毕证毕 三.高阶导数的运算法则问题问题莱布尼兹公式莱布尼兹公式（证明略）（证明略）例例1010解解例例1111解解2.4 几种类型函数的求导方法问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何

6、求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.一一.隐函数的求导法隐函数的求导法定义定义:例例1 1解解解得解得例例2 2解解例例3 3解解 二.对数求导法观察函数观察函数方法方法:先取对数先取对数,然后再求导然后再求导-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:问题问题:如何求上述函数的导数如何求上述函数的导数?解解 先取对数，先取对数，例例4 4例例5 5解解 两边先取对数，两边先取对数，例例6 6解解两边取对数，两边取对数，三.参数方程所表示函数的求导法由复合函数与反函数的求导法则，有由复合函数与反函数的求导法则，有例例7 7解

7、解 所求切线方程为所求切线方程为例例8 8解解四.相关变化率相关变化率问题相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?求法：求法：例例9 9解解仰角增加率仰角增加率）例例1010解解水面上升之速率水面上升之速率2.5 函数的微分与线性逼近实例实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.一一.微微 分分 的的 概概 念念定义定义定理定理（可微与可导的关系）（可微与可导的关系）证证证毕证毕结论结论:微分的几何意义T）(如图如图)以直代曲的思想是微积分的核心思想以直代曲的思想是微积分的核心思想微分三角形微分三角形二.微分的计算求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则3.复合函数的微分复合函数的微分结论结论：一阶微分形式的不变性例例1 1解解1解解2例例2 2解解例例3 3解解三三.函数的一阶线性逼近函数的一阶线性逼近常用近似公式常用近似公式例例4 4解解