高等数学第一章复习.ppt

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1、典型例题典型例题典型例题典型例题主要内容主要内容主要内容主要内容高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题22/3232（一）函数的定义（一）函数的定义（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念（三）连续的概念（三）连续的概念高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题33/3232函函 数数的定义的定义反函数反函数隐函数隐函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函

2、数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性双双曲函数与曲函数与反双曲函数反双曲函数高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题44/32321 1 1 1、函数的定义、函数的定义、函数的定义、函数的定义函数的分类函数的分类定义定义非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)超越函数超越函数无理函数无理函数整函数整函数(多项式函数多项式函数)分函数分函数(分式函数分式函数)函数函数初等函数初等函数代数函数代数函数有理函数有理函数高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一

3、一一一一一习题习题习题习题习题习题55/3232 单值性与多值性单值性与多值性:2 2 2 2、函数的性质、函数的性质、函数的性质、函数的性质高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题66/3232 函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数yxo高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题77/3232 函数的单调性函数的单调性:设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间区间I D，如果对于区间如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有：(1),则称函数则称函数 在区间

4、在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2),则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。)()()()(2121xfxfxfxf)(xf)(xf2x1x21xx 高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题88/3232函数的有界性函数的有界性:高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题99/3232 设函数设函数 f(x)的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对

5、于任一 ,有有 .且且 f(x+l)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x)的的周期周期.（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.函数的周期性函数的周期性:oyxDlx )(Dx 高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题1010/32323 3 3 3、反函数、反函数、反函数、反函数4 4 4 4、隐函数、隐函数、隐函数、隐函数高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题1111/32325 5 5 5、反函数与直接函数之间的关

6、系、反函数与直接函数之间的关系、反函数与直接函数之间的关系、反函数与直接函数之间的关系高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题1212/32326 6 6 6、基本初等函数、基本初等函数、基本初等函数、基本初等函数幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对数函数三角函数三角函数反三角函数反三角函数高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题1313/32327 7 7 7、复合函数、复合函数、复合函数、复合函数8 8 8 8、初等函数、初等函数、初等函数、初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的由常

7、数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数,称为称为初初等函数等函数.高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题1414/32329 9 9 9、双曲函数与反双曲函数、双曲函数与反双曲函数、双曲函数与反双曲函数、双曲函数与反双曲函数双曲函数常用公式双曲函数常用公式:高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题1515/3232左右极限左右极限两个重要两个重要极限极限求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在

8、的极限存在的充要条件充要条件判定极限判定极限存在的准则存在的准则无穷小的比较无穷小的比较极限的性质极限的性质数列极限数列极限函函 数数 极极 限限等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质唯一性唯一性无穷小无穷小两者的两者的关系关系无穷大无穷大高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题1616/32321 1 1 1、极限的定义、极限的定义、极限的定义、极限的定义高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题1717/3232高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题1818/3

9、232左极限左极限右极限右极限高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题1919/3232无穷小无穷小:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.绝对值无限增大的变量称为无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.无穷大无穷大:在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为恒不为零的无穷小的倒数为无穷大零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系2 2 2 2、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大、无穷小与无穷大高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题

10、习题2020/3232定理定理1 1 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理定理2 2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论1 1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论推论2 2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题2121/3232定理定

11、理推论推论1推论推论23 3 3 3、极限的性质、极限的性质、极限的性质、极限的性质高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题2222/32324 4 4 4、求极限的常用方法、求极限的常用方法、求极限的常用方法、求极限的常用方法a.a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高

12、等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题2323/32325 5 5 5、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则、判定极限存在的准则(夹逼准则夹逼准则夹逼准则夹逼准则)高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题2424/3232(1)(1)(2)(2)6 6 6 6、两个重要极限、两个重要极限、两个重要极限、两个重要极限高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题2525/3232定义定义定义定义:7 7 7 7、无穷小的比较、无穷小的比较、无穷小的比较、无穷小的比较高等数学高等数学高等数学

13、高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题2626/3232定理定理定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)8 8 8 8、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质、等价无穷小的性质9 9 9 9、极限的唯一性、极限的唯一性、极限的唯一性、极限的唯一性高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题2727/3232左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点定义连连连连 续续续续 定定定定 义义义

14、义连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振振荡荡间间断断点点 无无穷穷间间断断点点 跳跳跃跃间间断断点点 可可去去间间断断点点第一类第一类 第二类第二类高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题2828/32321 1 1 1、连续的定义、连续的定义、连续的定义、连续的定义高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题2929/3232定理定理定理定理3 3 3 3、连续的充要条件、连续的充要条件、连续的充要条件、连续的充要条件2 2 2 2、单侧连续

15、、单侧连续、单侧连续、单侧连续高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题3030/32324 4 4 4、间断点的定义、间断点的定义、间断点的定义、间断点的定义高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题3131/3232(1)(1)跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点跳跃间断点(2)(2)可去间断点可去间断点可去间断点可去间断点5 5 5 5、间断点的分类、间断点的分类、间断点的分类、间断点的分类高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题3232/3232跳跃间断点跳跃间断点

16、与与可去间断点可去间断点统称为统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点:可去型可去型可去型可去型第第第第一一一一类类类类间间间间断断断断点点点点跳跃型跳跃型跳跃型跳跃型0yx0yx高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题3333/32320yx无穷型无穷型无穷型无穷型振荡型振荡型振荡型振荡型第第第第二二二二类类类类间间间间断断断断点点点点0yx第二类间断点第二类间断点第二类间断点第二类间断点高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题3434/32326 6 6 6、闭区间的连续性、闭区间的连续性、闭区间的连续

17、性、闭区间的连续性7 7 7 7、连续性的运算性质、连续性的运算性质、连续性的运算性质、连续性的运算性质定理定理定理定理高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题3535/3232定理定理1 1 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理定理2 28 8 8 8、初等函数的连续性、初等函数的连续性、初等函数的连续性、初等函数的连续性定理定理3 3高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题3636/3232定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在

18、定义域内是连续的.定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.9 9 9 9、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质、闭区间上连续函数的性质定定理理1(1(最最大大值值和和最最小小值值定定理理)在在闭闭区区间间上上连连续续的的函函数数一一定有最大值和最小值定有最大值和最小值.高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题3737/3232定定定定理理理理2 2 2 2(有有有有界界界界性性性性定定定定理理理理)在在

19、在在闭闭闭闭区区区区间间间间上上上上连连连连续续续续的的的的函函函函数数数数一一一一定定定定在该区间上有界在该区间上有界在该区间上有界在该区间上有界.高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题3838/3232推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值MM与最小值与最小值mm之间的任何值之间的任何值.高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题3939/3232例例1 1解解高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题4040/323

20、2例例2 2解解利用函数表示法的无关特性利用函数表示法的无关特性代入原方程得代入原方程得代入上式得代入上式得高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题4141/3232解联立方程组解联立方程组解联立方程组解联立方程组高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题4242/3232例例例例3 3 3 3解解解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x),则则高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题4343/3232例例例例4 4 4 4解解解解 解法讨论解法讨论

21、解法讨论解法讨论高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题4444/3232高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题4545/3232例例例例5 5 5 5解解解解高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题4646/3232例例例例6 6 6 6解解解解高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题4747/3232高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题4848/3232例例例例7 7

22、 7 7证明证明证明证明讨论讨论讨论讨论:高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题4949/3232由零点定理知由零点定理知由零点定理知由零点定理知,综上综上综上综上,高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题5050/3232测测测测 验验验验 题题题题高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题5151/3232高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题5252/32326 6、与、与2)(xxf=等价的函数是等价的函数是（

23、）(A)(A)x；(B)(B)2)(x；(C)(C)33)(x；(D)(D)x .高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题5353/3232二、求下列函数的定义域：二、求下列函数的定义域：1010、=xxx0lim（）(A)(A)1 1；(B)(B)-1-1；(C)(C)0 0；(D)(D)不存在不存在.高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题5454/3232高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题5555/32325 5、当、当0 x时，时，nnxxx2cos.4cos2coslim ；6 6、121sinlim22-+xxxx .六、六、设有函数设有函数 -=1,1)1(1,sin)(xxaxaxxf试确定试确定 a 的的值使值使)(xf在在1=x连续连续 .高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题5656/3232高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题5757/3232测验题答案测验题答案测验题答案测验题答案高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学一一一一一一习题习题习题习题习题习题5858/3232