人教A版数学选修2-3]1.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理.ppt

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1、第第1章计数原理章计数原理分分类类加法加法计计数原理与分步乘法数原理与分步乘法计计数原理（二）数原理（二）第第1章计数原理章计数原理1、分类加法计数原理、分类加法计数原理：完成一件事，有：完成一件事，有n类办法，在类办法，在第第1类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第在第2类办法中有类办法中有m2种不同的方法种不同的方法在第在第n类办法中类办法中有有m mn n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事共有那么完成这件事共有 种不同的方种不同的方法法.2 2、分步乘法计数原理、分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n个步个步骤，做第骤，做第1 1步有步有m

2、 m1 1种不同的方法种不同的方法,做第做第2 2步有步有m m2 2种不同的种不同的方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n种不同的方法种不同的方法.那么完成这件事那么完成这件事共有共有 种不同的方法种不同的方法.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点：共同点：不同点：不同点：分类加法计数原理与分类有关，分类加法计数原理与分类有关，分步乘法计数原理与分步有关。分步乘法计数原理与分步有关。回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题第第1章计数原理章计数原理 加法原理加法原理 乘法原理乘法原理联系联系区别一区

3、别一完成一件事情共有完成一件事情共有n类类办法，关键词是办法，关键词是“分类分类”完成一件事情完成一件事情,共分共分n个个步骤，关键词是步骤，关键词是“分步分步”区别二区别二每类办法中的任何一种每类办法中的任何一种方法都能方法都能独立完成独立完成这件事情。这件事情。每一步得到的只是中间结果，每一步得到的只是中间结果，任何一步都任何一步都不能能独立完成不能能独立完成这件事情这件事情，缺少任何一步也，缺少任何一步也不能完成这件事情，只有每不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这个步骤完成了，才能完成这件事情。件事情。分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于分类计数原理和分步计数原理，回答

4、的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题。完成一件事情的不同方法的种数的问题。区别三区别三各类办法是互斥的、各类办法是互斥的、独立的独立的各步之间是相关联的各步之间是相关联的分类加法计数与分步乘法计数原理的区别和联系：分类加法计数与分步乘法计数原理的区别和联系：即：即：类类独立，步步关联类类独立，步步关联第第1章计数原理章计数原理例例1.(1)1.(1)五名学生报名参加四项体育比赛，每五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？人限报一项，报名方法的种数为多少？(2)(2)五名学生争夺四项体育比赛的冠军，获得冠五名学生争夺四项体育比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？

5、军的可能性有多少种？解：（解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有个学生都有4种报名方法，种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为这一事件故报名方法种数为44444=种种.（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种种故有故有n=5=种种.第第1章计数原理章计数原理例例2.给程序模块命名，需要用给程序模块命名，需要用3个字符，其中首个字个字符，其

6、中首个字符要求用字母符要求用字母AG或或UZ，后两个要求用数字，后两个要求用数字19，问最多可以给多少个程序命名？，问最多可以给多少个程序命名？分析：分析：要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，要给一个程序模块命名，可以分三个步骤：第一步，选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。选首字符；第二步，先中间字符；第三步，选末位字符。解：解：首字符共有首字符共有7+613种不同的选法，种不同的选法，答：答：最多可以给最多可以给10531053个程序命名。个程序命名。中间字符和末位字符各有中间字符和末位字符各有9种不同的选法种不同的选法根据分步计数原理，最多可以有根据分步计数原理，最

7、多可以有13991053种不同的选法种不同的选法第第1章计数原理章计数原理 例例3.核糖核酸（核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个甚至数分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用分别用A，C，G，U表示，在一个表示，在一个RNA分子中，各分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其

8、他位置上的碱基无关。假设一类上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设一类RNA分子由分子由100个碱基组成，那么能有多少种不同的个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA分子？分子？UUUAAACCCGGG第第1章计数原理章计数原理例例3.核糖核酸（核糖核酸（RNA）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个）分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用为碱基的化学成分所占据，总共有个不同的碱基，分别用A，C，G，U表

9、表示，在一个示，在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类RNA分子由分子由100个碱基组个碱基组成，那么能有多少种不同的成，那么能有多少种不同的RNA分子？分子？UUUAAACCCGGG分析分析:用用100个位置表示由个位置表示由100个碱基组成的长链，每个位置都可以从个碱基组成的长链，每个位置都可以从A、C、G、U中任选一个来占据。中任选一个来占据。第1位第2位第3位第100位4种4种4种4种解：解：100个碱基组成的长链共有个碱

10、基组成的长链共有100个位置，在每个位置中，从个位置，在每个位置中，从A、C、G、U中任选一个来填入，每个位置有中任选一个来填入，每个位置有4种填充方法。根据分步计数原理，共有种填充方法。根据分步计数原理，共有种不同的种不同的RNA分子分子.第第1章计数原理章计数原理例例4.电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有用了每一位只有0或或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计两种数字的计数法，即二进制，为了使计算机能够

11、识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由个二进制位构成，问量单位，每个字节由个二进制位构成，问（1）一个字节（）一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？位）最多可以表示多少个不同的字符？（2）计算机汉字国标码（）计算机汉字国标码（GB码）包含了码）包含了6763个汉字，一个汉个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表

12、示？少个字节表示？第1位第2位第3位第8位2种2种2种2种如如00000000，10000000，11111111.第第1章计数原理章计数原理开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A例例5.计算机编程人员在编计算机编程人员在编写好程序以后要对程序进写好程序以后要对程序进行测试。程序员需要知道行测试。程序员需要知道到底有多少条执行路（即到底有多少条执行路（即程序从开始到结束的线），程序从开始到结束的线），以便知道需要提供多少个以便知道需要提供多少个测试数据。一般的，一个测试数据。一般的，一个程序模块又许多子模块组程序

13、模块又许多子模块组成，它的一个具有许多执成，它的一个具有许多执行路径的程序模块。问：行路径的程序模块。问：这个程序模块有多少条执这个程序模块有多少条执行路径？另外为了减少测行路径？另外为了减少测试时间，程序员需要设法试时间，程序员需要设法减少测试次数，你能帮助减少测试次数，你能帮助程序员设计一个测试方式，程序员设计一个测试方式，以减少测试次数吗？以减少测试次数吗？第第1章计数原理章计数原理开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A分析：分析：整个模块的任整个模块的任意一条路径都分两步意一条路径都分两步完成完成：第：第

14、1步是从开步是从开始执行到始执行到A点；第点；第2步步是从是从A点执行到结束。点执行到结束。而第步可由子模块而第步可由子模块1或子模块或子模块2或子模块或子模块3来完成；第二步可由来完成；第二步可由子模块子模块4或子模块或子模块5来来完成。因此，分析一完成。因此，分析一条指令在整个模块的条指令在整个模块的执行路径需要用到两执行路径需要用到两个计数原理。个计数原理。第第1章计数原理章计数原理开始子模块118条执行路径子模块328条执行路径子模块245条执行路径子模块543条执行路径子模块438条执行路径结束A再测试各个模块之间的信再测试各个模块之间的信息交流是否正常，需要测息交流是否正常，需要测

15、试的次数为：试的次数为：3*2=6。如果每个子模块都正常工如果每个子模块都正常工作，并且各个子模块之间作，并且各个子模块之间的信息交流也正常，那么的信息交流也正常，那么整个程序模块就正常。整个程序模块就正常。这样，测试整个这样，测试整个模块的次数就变为模块的次数就变为 172+6=178（次）（次）2）在实际测试中，程序）在实际测试中，程序员总是把每一个子模块看员总是把每一个子模块看成一个黑箱，即通过只考成一个黑箱，即通过只考察是否执行了正确的子模察是否执行了正确的子模块的方式来测试整个模块。块的方式来测试整个模块。这样，他可以先分别单独这样，他可以先分别单独测试测试5个模块，以考察每个模块，

16、以考察每个子模块的工作是否正常。个子模块的工作是否正常。总共需要的测试次数为：总共需要的测试次数为：18+45+28+38+43=172。第第1章计数原理章计数原理例例6.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌长，汽车牌照号码需要扩容。交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母照组成办法，每一个汽车牌照都必须有个不重复的英文字母和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，和个不重复的阿拉伯数字，并且个字母必须合成一组出现，个数字也必须

17、合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽个数字也必须合成一组出现，那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照车上牌照?解解:分成两类分成两类,第一类字母在左第一类字母在左,有有m1=26 2524 109 8=11 232 000 种种,第二类字母在右第二类字母在右,有有m2=26 2524 109 8=11 232 000 种种,所以共有所以共有 N=22 464 000 种。种。第第1章计数原理章计数原理课堂练习课堂练习1、乘积、乘积 展开后共有几项？展开后共有几项？2、某商场有、某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多门进入

18、商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？少种不同的进出商场的方式？解解:分三步完成分三步完成,第一步第一步,m1=3 种种,第二步第二步,m2=3 种种,第三步第三步,m3=5 种种,所以根据乘法原理所以根据乘法原理,得到不同项共有得到不同项共有 N=3 3 5=45 种。种。第第1章计数原理章计数原理 3.如图如图,该该电路电路,从从A到到B共有多少条共有多少条不同的线路不同的线路可通电？可通电？AB课堂练习课堂练习第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理

19、第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理第第1章计数原理章计数原理所以所以,根据分类原理根据分类原理,从从A到到B共有共有 N=3+1+4=8 条不同的线路可通电。条不同的线路可通电。在解题有时既要分类又要分步。在解题有时既要分类又要分步。解解:从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分三类的通电线路可分三类,第一类第一类

20、,m1=3 条条第二类第二类,m2=1 条条第三类第三类,m3=22=4,条条第第1章计数原理章计数原理 加法原理加法原理和和乘法原理乘法原理的共同点是什么？不同点的共同点是什么？不同点什么？什么？加法原理乘法原理相同点它们都是研究完成一件事情它们都是研究完成一件事情,共有多少种共有多少种不同的方法不同的方法不不 同同 点点方式的不同方式的不同分类完成分类完成分类完成分类完成任何一类办法中的任何一类办法中的任何一个方法都能任何一个方法都能完成这件事完成这件事分步完成分步完成分步完成分步完成这些方法需要分步这些方法需要分步,各个步骤顺次相依各个步骤顺次相依,且每一步都完成了且每一步都完成了,才能完成这件事情才能完成这件事情第第1章计数原理章计数原理何时用加法原理、乘法原理呢?加法原理 完成一件事情有n类方法,若每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成.乘法原理 完成一件事情有n个步骤,若每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分,并且必须且只需完成互相独立的这n步后,才能完成这件事.分类要做到“不重不漏”分步要做到“步骤完整”