信号与系统离散时间系统与z变换分析法.ppt

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1、1信号与系统(Signal&system)教师：徐昌彪2004-12-26电路基础教学部25.9 离散时间系统的Z变换分析法5.9.1 零输入响应5.9.2 零状态响应5.9.3 全响应电路基础教学部2004年12月26日7时51分zi35.9.1 零输入响应(1)n阶系统n ai yi=0(k+i)=0对上式作Z变换，整理后得Yzi(z)=ni=0i 1ai yzi(k)z i kk=0n ai z ii=0对Yzi(z)作Z反变换，可得yzi(k)电路基础教学部2004年12月26日7时51分2z 2 7 z 3z zYzi(z)=2 =y45.9.1 零输入响应(2)例：求离散时间系统的

2、零输入响应 yzi(k)y(k+2)5 y(k+1)+6 y(k)=0已知yzi(0)=2，zi(1)=3解：作Z变换z 2 Yzi(z)yzi(0)yzi(1)z 1 5zYzi(z)yzi(0)+6Yzi(z)=0代入已知条件，有z 5z+6 z 2 z 3因此yzi(k)=3 2k 3kk 0电路基础教学部2004年12月26日7时51分55.9.2 零状态响应(1)yzs(k)=x(k)*h(k)Yzs(z)=X(z)H(z)n阶系统n m ai y(k+i)=b j x(k+j)i=0 j=0H(z)=mj=0ni=0b j z jai z iYzs(z)=mj=0ni=0b j z

3、 jai z i X(z)=H(z)X(z)电路基础教学部2004年12月26日7时51分 21 k+1k65.9.2 零状态响应(2)例：求离散时间系统的单位函数响应 h(k)和零状态响应 yzs(k)y(k+2)5 y(k+1)+6 y(k)=x(k+2)3 x(k)已知 x(k)=U(k)解：H(z)=z 2 3z 2 5z+6Yzs(z)=X(z)H(z)=z z 2 3z 1 z 5z+6作Z反变换得h(k)=(k)+(2 3k 2k 1)U(k 1)yzs(k)=(1 2 +3 )U(k)2电路基础教学部2004年12月26日7时51分i75.9.3 全响应(1)n阶系统n m a

4、i y(k+i)=b j x(k+j)，作Z变换i=0 j=0Y(z)=m b j z jj=0n ai zi=0 X(z)+ni=0i 1 m j 1ai y(k)z i k b j x(k)z j kk=0 j=0 k=0n ai z ii=0Y(z)=Yzs(z)+Yzi(z)y(k)=yzs(k)+yzi(k)电路基础教学部2004年12月26日7时51分=85.9.3 全响应(2)系统函数H(z)=bm z m +bm 1 z m 1 +L+b1 z+b0an z n +an 1 z n 1 +L+a1 z+a0零状态响应零输入响应Yzs =X(z)H(z)Yzi(z)=ni=0i

5、1ai yzi(k)z i kk=0n ai z ii=0ni=0i 1 m j 1ai y(k)z i k b j x(k)z j kk=0 j=0 k=0n ai z ii=0电路基础教学部2004年12月26日7时51分y y（95.9.3 全响应(3)例:对如下离散时间系统y(k+2)0.7 y(k+1)+0.1 y(k)=7 x(k+2)2 x(k+1)已知 x(k)=U(k)，(0)=9，(1)=13.9。（1）求全响应（2）求零输入响应，零状态响应，并由此求全响应解：1）求全响应将差分方程两端作ZTz 2 Y(z)y(0)y(1)z 1 0.7 zY(z)y(0)+0.1Y(z)

6、=7 z 2 X(z)x(0)x(1)z 1 2z X(z)x(0)代入已知，整理后得电路基础教学部2004年12月26日7时51分Y(z)=2105.9.3 全响应(4)9z 3+4.27 z 2 8.27 z(z 0.7 z+0.1)(z 1)作Z反变换得y(k)=12.5+7 0.5k 10.5 0.2kk 0（2）求零输入响应响应，零状态响应，全响应将差分方程两端作ZTz 2 Y(z)y(0)y(1)z 1 0.7 zY(z)y(0)+0.1Y(z)=7 z 2 X(z)x(0)x(1)z 1 2z X(z)x(0)代入已知，整理后得电路基础教学部2004年12月26日7时51分Yzi

7、(z)=27 z 2 2z zYzs(z)=2 115.9.3 全响应(5)2z 2+8.27 zz 0.7 z+0.1z 0.7 z+0.1 z 1作Z反变换得yzi(k)=12 0.5k 10 0.2kyzs(k)=(12.5 5 0.5k 0.5 0.2k)U(k)y(k)=yzi(k)+yzs(k)=12.5+7 0.5k 10.5 0.2k电路基础教学部k 0k 02004年12月26日7时51分125.10 离散系统函数，系统稳定性判别5.10.1 离散系统函数5.10.2 系统稳定性判别电路基础教学部2004年12月26日7时51分k2z(z+3)k 3135.10.1 离散系统

8、函数(1)系统函数与单位函数响应是Z变换对h(k)H(z)x(k)=(k)yzs(k)=h(k)X(z)=1 Yzs(z)=X(z)H(z)=H(z)h(k)H(z)例：h(k)=2 U(k)H(z)=?zz 2H(z)=2h(k)=?2 (3)U(k 3)电路基础教学部2004年12月26日7时51分=145.10.1 离散系统函数(2)系统函数与差分方程an y(k+n)+an 1 y(k+n 1)+L+a1 y(k+1)+a0 y(k)=bm x(k+m)+bm 1 x(k+m 1)+L+b1 x(k+1)+b0 x(k)在零状态下对上式两边作Z变换后，得H(z)=Yzs(z)bm z

9、m +bm 1 z m 1+L+b1 z+b0X(z)an z n +an 1 z n 1+L+a1 z+a0电路基础教学部2004年12月26日7时51分2z+1 2z+1解：H(z)=2 =+155.10.1 离散系统函数(3)例：求系统 y(k+2)+3 y(k+1)+2 y(k)=2 x(k+1)+x(k)的单位冲激响应h(k)。z +3z+2 (z+1)(z+2)=1 3z+1 z+2得 h(k)=(1)k 1+3 (2)k 1 U(k 1)电路基础教学部2004年12月26日7时51分3 2=2165.10.1 离散系统函数(4)例:试列写出描述离散时间系统的差分方程已知 h(k)

10、=2(k)+(3k 2k)U(k 1)解：H(z)=2+z 3 z 22z 2 9z+12z 5z+6因此y(k+2)5 y(k+1)+6 y(k)=2 x(k+2)9 x(k+1)+12 x(k)电路基础教学部2004年12月26日7时51分0tt0t175.10.1 离散系统函数(5)H(z)的极点分布与h(k)的响应模式j系统不稳定0系统临界稳定不稳定(单极点重极点)系统不稳定0t 00tt系统稳定00t00tt系统不稳定系统不稳定零点对响应模式无影响，只影响响应的幅度与相位电路基础教学部2004年12月26日7时51分185.10.2 系统稳定性判别(1)稳定系统的含义对于有界的激励产

11、生有界的响应的系统称为稳定系统。系统稳定性稳定系统：H(z)的极点全部位于z平面单位圆内。不稳定系统：H(z)的极点至少有一个位于z平面单位圆外，或在单位圆上有重极点。临界稳定系统：H(z)的极点位单位圆上，且为单极点。系统稳定的充要条件H(z)的极点全部位于z平面单位圆内电路基础教学部2004年12月26日7时51分D195.10.2 系统稳定性判别(2)稳定系统性判别 H(z)=裘利判别法N(z)D(z)若系统的特征方程为：(z)=an z n +an 1 z n 1+L+a1 z+a0=0则特征方程的根全部位于z平面单位圆内的充要条件是D(1)0(-1)nD(-1)0裘利表（裘利阵列）中

12、奇数行的第一个元素大于最后一个元素的绝对值。对于二阶系统，系统稳定的充要条件：a2|a0|、D(1)0、D(-1)0电路基础教学部2004年12月26日7时51分205.10.2 系统稳定性判别(3)裘利表（裘利阵列）D(z)=an z n +an 1 z n 1+L+a1 z+a0=0第1行 an第2行 a0第3行 bn 1第4行 b0第5行 cn 2第6行 c0M直到2n-3行an 1 L a2a1 L an 2bn 2 L b1b1 L bn 2cn 3 L c0c1 L cn 2M Ma1an 1b0bn 1a0anbn1=bn 2=Mcn 2=cn 3=ana0ana0bn1b0bn

13、1b0a0ana1an1b0bn1b1bn 2M电路基础教学部2004年12月26日7时51分s+1|z|1z=s 1s=z 1215.10.2 系统稳定性判别(4)双线性变换判别法D(z)=an z n +an 1 z n 1+L+a1 z+a0 =0令 z=，则|z|1 Re(s)0s 1D(z)=0从而 反之亦然，即D(z)|s+1=0Re(s)0D(s)=0Re(s)0D(s)|z+1=0|z|a0|=2D(1)=6 0D(1)=10 0系统稳定(3)D(z)=2z 2+2z 1=0D(1)=1 0(1)n D(1)=(1)n(2+2 3+4 4+1)0系统不稳定第1行第2行第3行第4

14、行21362405342243504 12 263第5行 27 30 615第6行15 6 30 27M电路基础教学部MM2004年12月26日7时51分245.10.2 系统稳定性判别(7)例：离散系统的特征方程如下D(z)=z 2+z+(2 K 1)=0试确定为使系统稳定的常数K的取值范围。解：为使系统稳定，必须a2=1|a0|=|2 K 1|D(1)=1+1+2 K 1 0D(1)=1 1+2 K 1 0即 0 K 0.5K 0.5因此 0.5 K 04 4 K 02 K 1 0因此 0.5 K 1电路基础教学部2004年12月26日7时51分jkTjkT265.11 离散系统的频率响应

15、特性(1)定义H(z)z=e jT =H(e jT)=|H(e jT)|e j()为离散系统的频率特性|H(e jT)|为幅频特性()为相频特性(z)x(k)=eyzs(k)=x(k)*h(k)=n=H(z)在单位圆上收敛yzs(k)=e jkT H(e jT)=|H(e jT)|e jkT+()x(n)h(k n)=|H(e jT)|e jkT+()由此表明：当一个无时限复指数信号 e作用于线性系统时，其零状态响应仍为同频率的指数信号，其幅度扩大为原来的|H(e jT)|倍，相位增加了 ()。电路基础教学部2004年12月26日7时51分k275.11 离散系统的频率响应特性(2)H(e j

16、T)=|H(e jT)|e j()x(k)=ejkT(z)yzs(k)=e jkT H(e jT)=|H(e jT)|e j kT+()x(k)=Ayzs(k)=AH(1)x(k)=A cos(0 kT+)yzs(k)=A|H(e jT)|cos0 kT+()x(k)=A sin(0 kT+)yzs(k)=A|H(e j0T)|sin0 kT+(0)条件1：H(z)在单位圆上收敛x(k)=ayzs(k)=H(a)a k条件2：a在H(z)的收敛域内电路基础教学部2004年12月26日7时51分e jT 1解：H(e jT)=jT =285.11 离散系统的频率响应特性(3)H(e jT)基本特

17、性因 e jT 是 的周期函数，故 H(e jT)也是 的周期函数|H(e jT)|()为 的周期函数，且为偶函数为 的周期函数，且为奇函数例：一阶系统 H(z)=zz a10 a1 1e a1 (1 a1 cos T)+ja1 sin T=|H(e jT)|e j()电路基础教学部2004年12月26日7时51分22a1 sin TveNe a1 MjT Nv v22295.11 离散系统的频率响应特性(4)|H(ejT)|=1(1 a1 cosT)+(a1 sinT)11 a1|H(e jT)|()=arctg1 a1 cos T另外，频率特性可用几何作图法得到11+a102T对上例jTH(e jT)=jT =v|H(e )|=M()=单位圆Im(z)N M 0 a1Re(z)arctg arctga11 a1a1 01 a1()2T电路基础教学部2004年12月26日7时51分305.11 离散系统的频率响应特性(5)小结(1)位于z=0处的零点或极点不会影响幅频特性，只会影响相频特性；(2)若有极点靠近单位圆，则当变化经过此极点附近时，幅频特性出现峰值；若有零点靠近单位圆，则当变化经过此零点时附近时，幅频特性出现谷值。电路基础教学部2004年12月26日7时51分