简单超静定梁.ppt

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1、.超静定梁的解法 解超静定梁的基本思路与解拉压超静定问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁。基本静定系6-4 6-4 简单超静定梁简单超静定梁基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c,d)时该系统即为原超静定梁的相当系统。若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录)所得的补充方程为从而解得“多余”未知力所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为该超静定梁的剪力图和弯矩图

2、亦可利用相当系统求得，如图所示。思考思考 1.该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？2.该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？例题例题1 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。解解:1.该系统共有三个未知力(图b)FN,FB,FC，但平面平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。2.取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的“多余”未知力为FN。位移(变形)相容条件(参见图b)为wA=DlDA。3.物理关系(参见图c,d)为需要注意，因DlDA亦即图b

3、中的 是向下的，故上式中wAF为负的。4.于是根据位移(变形)相容条件得补充方程：由此求得 例题例题2 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA,FB,FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5106 Nm2。解解:1.两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支座的数目。此梁为一次超静定梁。2.为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左,右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端还分别作用有等值反向的“多余”未知力矩 弯矩MB，图b中的

4、“多余”未知力矩为一对正弯矩。位移相容条件(参见图b)为3.利用教材中的附录可得物理关系为 应该注意，在列出转角 的算式时每一项的正负号都必须按同一规定(例如顺时针为正，逆时针为负)确定。4.将物理关系代入位移相容条件补充方程，从而解得 这里的负号表示实际的中间支座处梁截面上的弯矩与图b中所设相反，即为负弯矩。5.利用图b可得约束力：(c)(d)然后绘出剪力图和弯矩图如图c,d。(二)梁的上,下表面温度差异的影响 图a所示两端固定的梁AB在温度为 t0 时安装就位，其后，由于梁的顶面温度升高至 t1，底面温度升高至 t2，且 t2t1，从而产生约束力如图中所示。由于未知的约束力有6个，而独立的

5、平衡方程只有3个，故为三次超静定问题。l(a)现将右边的固定端B处的3个约束作为“多余”约束，则解除“多余”约束后的基本静定系为左端固定的悬臂梁。它在上,下表面有温差的情况下，右端产生转角qBt和挠度wBt(见图c)以及轴向位移Bt。l(a)(b)(c)如果忽略“多余”未知力FBx对挠度和转角的影响，则由上,下表面温差和“多余”未知力共同引起的位移符合下列相容条件时，图b所示的悬臂梁就是原超静定梁的相当系统：l式中一些符号的意义见图c,d,e。(c)(d)(e)现在先来求qBt和wBt与梁的上,下表面温差(t2-t1)之间的物理关系。从上面所示的图a中取出的微段dx,当其下表面和上表面的温度由t0分别升高至t2和t1时，右侧截面相对于左侧截面的转角dq 由图b可知为 上式中的负号用以表示图a所示坐标系中该转角 dq 为负。将此式积分，并利用边界条件得根据上式可知，该悬臂梁因温度影响而弯曲的挠曲线微分方程为从而有至于温差引起轴向位移Bt则为 位移相容条件表达式中由“多余”未知力引起的位移所对应的物理关系显然为位移相容条件已得出的物理关系 将以上所有物理关系代入三个位移相容条件的表达式即可解得l