圆内接四边形的性质与判定定理课件人教A.ppt

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1、返回返回返回返回 读教材读教材填要点填要点 1圆内接四边形的性质定理圆内接四边形的性质定理定理定理1：圆内接四边形的对角：圆内接四边形的对角 定理定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的：圆内接四边形的外角等于它的内角的 互补互补对角对角返回返回 2圆内接四边形的判定定理圆内接四边形的判定定理 (1)定理：如果一个四边形的对角定理：如果一个四边形的对角 ，那么这个四边，那么这个四边形的四个顶点共圆形的四个顶点共圆 (2)符号语言表述：在四边形符号语言表述：在四边形ABCD中，如果中，如果BD 或或AC180，那么四边形，那么四边形ABCD内接于圆内接于圆 3判定定理的推论判定定理的推论 如果四

2、边形的一个外角等于它的内角的如果四边形的一个外角等于它的内角的 ，那么这，那么这个四边形的四个顶点共圆个四边形的四个顶点共圆互补互补对角对角180返回返回 小问题小问题大思维大思维 1所有的三角形都有外接圆吗？所有的四边形是否都所有的三角形都有外接圆吗？所有的四边形是否都有外接圆？有外接圆？提示：提示：所有的三角形都有外接圆，但四边形并不一定所有的三角形都有外接圆，但四边形并不一定有外接圆有外接圆 2如果一个平行四边形有外接圆，它是矩形吗？如果一个平行四边形有外接圆，它是矩形吗？提示：提示：因为平行四边形的对角相等，圆内接四边形的因为平行四边形的对角相等，圆内接四边形的对角和为对角和为180，

3、所以该平行四边形一定是矩形，所以该平行四边形一定是矩形返回返回 研一题研一题 例例1如图，在如图，在ABC中，中，ADBD，DFAB交交AC于点于点F，AEEC，EGAC交交AB于点于点G.求证：求证：(1)D、E、F、G四点共圆；四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆四点共圆 分析：分析：本题考查四点共圆的判定定理及性质定理的本题考查四点共圆的判定定理及性质定理的应用解决问题应用解决问题(1)可利用可利用“如果四个点到一定点的距离如果四个点到一定点的距离相等，那么这四个点共圆相等，那么这四个点共圆”，解决问题，解决问题(2)可利用判定定可利用判定定理的推论证明理的推论证明返回返回 证明：证明

4、：(1)连接连接GF，由，由DFAB，EGAC，知知GDFGEF90，GF的中点到的中点到D、E、F、G四点距离相四点距离相等，等，D、E、F、G四点共圆四点共圆 (2)连接连接DE.由由ADDB，AEEC，知，知DEBC，ADEB.又由又由(1)中中D、E、F、G四点共圆，四点共圆，ADEGFE，GFEB，G、B、C、F四点共圆四点共圆返回返回 悟一法悟一法 判定四点共圆的方法常有：判定四点共圆的方法常有：(1)如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆共圆 (2)如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四

5、边形的四个顶点共圆形的四个顶点共圆 (3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆么这个四边形的四个顶点共圆 (4)如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆返回返回 通一类通一类 1在在ABC中，中，ABAC，延长，延长CA到到P，延长，延长AB到到Q，使，使APBQ，连接，连接PQ.求证：求证：ABC的外心的外心O与与A、P、Q四点共圆四点共圆证明：证明：如图，连接如图，连接OA、OC

6、、OP、OQ.在在OCP和和OAQ中，中，OCOA.由已知由已知CAAB，APBQ.CPAQ.又又O是是ABC的外心，的外心，返回返回OCPOAC.由于等腰三角形的外心在顶角平分线上，由于等腰三角形的外心在顶角平分线上，OACOAQ，从而，从而OCPOAQ.OCPOAQ.CPOAQO.O、A、P、Q四点共圆四点共圆.返回返回 研一题研一题 例例2如图，两圆如图，两圆 O1，O2相交于相交于A，B.O1的弦的弦BC交交 O2于于E点，点，O2的弦的弦BD交交 O1于于F点点返回返回 证明：证明：(1)若若DBACBA，则，则DFCE.(2)若若DFCE，则，则DBACBA.分析：分析：本题考查圆

7、内接四边形的判定及性质解决本本题考查圆内接四边形的判定及性质解决本题需要借助三角形全等证明角相等或边长相等题需要借助三角形全等证明角相等或边长相等返回返回返回返回 悟一法悟一法 (1)圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或圆内接四边形性质定理为几何论证中角的相等或互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供互补提供了一个理论依据，因而也为论证角边关系提供了一种新的途径了一种新的途径 (2)在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意在解有关圆内接四边形的几何问题时，既要注意性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意性质定理的运用，也要注意判定定理的运用，又要注意两者的综合运用两者的

8、综合运用(3)构造全等或相似三角形，以达到证构造全等或相似三角形，以达到证明线段相等、角相等或线段成比例等目的明线段相等、角相等或线段成比例等目的返回返回 通一类通一类 2两圆相交于两圆相交于A、B，过，过A作两直线作两直线分别交两圆于分别交两圆于C、D和和E、F.若若EABDAB，求证：求证：CDEF.证明：证明：如图，连接如图，连接EC、BE、BD、BC、BF.因为四边形因为四边形ABEC为圆内接四边形，为圆内接四边形，所以所以2CEB.返回返回又因为又因为1ECB，且，且12，所以所以CEBECB.所以所以BCBE.在在CBD与与EBF中，中，BCDBEF，DF，BCBE，所以所以CBD

9、EBF.所以所以CDEF.返回返回 研一题研一题 例例3如图所示，如图所示，AB、CD都是圆的都是圆的弦，且弦，且ABCD，F为圆上一点，延长为圆上一点，延长FD、AB交于点交于点E.求证：求证：AEACAFDE.分析：分析：本题考查圆内接四边形的判定及性质以及相似三角本题考查圆内接四边形的判定及性质以及相似三角形等问题解答本题可连接形等问题解答本题可连接BD，通过证明，通过证明EBDEFA来解决来解决返回返回返回返回 悟一法悟一法 证明比例线段或比例式通常利用三角形相似来解决，证明比例线段或比例式通常利用三角形相似来解决，而证明三角形相似，常利用圆内接四边形的性质寻找角而证明三角形相似，常利

10、用圆内接四边形的性质寻找角之间的关系之间的关系返回返回 通一类通一类 3试证明：在圆内接四边形试证明：在圆内接四边形ABCD中，中，ACBDADBCABCD.返回返回返回返回 圆内接四边形的判定及性质是高考重点考查的对圆内接四边形的判定及性质是高考重点考查的对象之一，象之一，2011年全国新课标卷将圆内接四边形的判定年全国新课标卷将圆内接四边形的判定与三角形的相似及一元二次方程的根与系数的关系相与三角形的相似及一元二次方程的根与系数的关系相结合综合考查，是高考模拟命题的一个新考向结合综合考查，是高考模拟命题的一个新考向返回返回考题印证考题印证 (2011全国课标卷全国课标卷)如图，如图，D，E分别分别为为ABC的边的边AB，AC上的点，且不与上的点，且不与ABC的顶点重合已知的顶点重合已知AE的长为的长为m，AC的长为的长为n，AD，AB的长是关于的长是关于x的方程的方程x214xmn0的两的两个根个根 (1)证明：证明：C，B，D，E四点共圆；四点共圆；(2)若若A90，且，且m4，n6，求，求C，B，D，E所在所在圆的半径圆的半径 命题立意命题立意本题主要考查圆内接四边形的判定、一元本题主要考查圆内接四边形的判定、一元二次方程根与系数的关系以及逻辑推理和运算能力二次方程根与系数的关系以及逻辑推理和运算能力返回返回返回返回返回返回点击下图进入点击下图进入“创新演练创新演练”