学案2一元二次不等式.ppt

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1、学案学案2 一元二次不等式一元二次不等式返回目录返回目录 1.形如形如 或或 的不等式（其中的不等式（其中a0）,叫作一元二次不等式叫作一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个的值叫这个 .一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个一元二次不等式的所有解组成的集合，叫作这个 .一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集 ax2+bx+c0(0)ax2+bx+c0(0)一元二次不等式的解一元二次不等式的解 返回目录返回目录 2.一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，如下表一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，如下表:二次函数二次函数二次函数二

2、次函数 的情况的情况的情况的情况一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次方程一元二次不等式解集一元二次不等式解集一元二次不等式解集一元二次不等式解集y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)=b=b2 2-4ac4acaxax2 2+bx+c=0+bx+c=0(a0)(a0)axax2 2+bx+c0(a+bx+c0(a0)0)axax2 2+bx+c0(+bx+c0)a0)图图图图像像像像与与与与解解解解 0 0 0 0 x x1 1=x=x2 2=x=x0 0=0 0方程无解方程无解方程无解方程无解x|xx2x|x1xx2=x|xx0,xRR返回目录返回目录 解下列不等

3、式：解下列不等式：（1）-x2-2x-0;8x-116x2.（2）解关于）解关于x的不等式：的不等式：ax2-（a+1）x+10.考点一考点一考点一考点一 一元二次不等式解法一元二次不等式解法一元二次不等式解法一元二次不等式解法 返回目录返回目录(2)原不等式变为原不等式变为(ax-1)(x-1)0,当当a=0时时,不等式的解为不等式的解为x1,当当a0时，不等式变为时，不等式变为a(x-)(x-1)0,若若a0,则则(x-)(x-1)0,x 或或x1.若若a0,则则(x-)(x-1)0,当当a1时时,解为解为 x1;当当a=1时时,解集为解集为;当当0a1时时,解为解为1x .返回目录返回目

4、录 综上综上,当当a0时时,不等式的解集为不等式的解集为 x|x 或或x1;当当a=0时时,不等式的解集为不等式的解集为x|x1;当当0a1时时,不等式的解集为不等式的解集为 x|1x ;当当a=1时，不等式的解集为时，不等式的解集为;当当a1时，不等式的解集为时，不等式的解集为 x x1.解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论；首先根据二次项系数层次，一般按下面次序进行讨论；首先根据二次项系数的符号进行讨论；其次根据根是否存在，即的符号进行讨论；其次根据根是否存在，即的符号进的符号进行讨论；最后在根存在时，根据根的

5、大小进行讨论行讨论；最后在根存在时，根据根的大小进行讨论.返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练 1.解不等式解不等式:(-x2+)(x2-9)-3x.返回目录返回目录 2.已知不等式已知不等式 0(aR).(1)解这个关于解这个关于x的不等式；的不等式；(2)若若x=-a时不等式成立，求时不等式成立，求a的取值范围的取值范围.1.原不等式可化为原不等式可化为-x2+x2-3x,即即2x2-3x-70.解方程解方程2x2-3x-7=0,得得x=.所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 x x .返回目录返回目录 返回目录返回目录 2.(1)原不等式等价于（原不等式等价于（ax-1

6、）（）（x+1）0.当当a=0时，由时，由-（x+1）0,得得x-1;当当a0时，不等式化为时，不等式化为(x-)（x+1）0,解得解得x-1或或x ；当当a0时，不等式式化为时，不等式式化为(x-)（x+1）0;若若 -1,即即-1a0,则则 x-1;若若 =-1，即，即a=-1，则不等式解集为空集；，则不等式解集为空集；若若 -1,即即a-1,则则-1x .综上所述，综上所述，a-1时，解集为时，解集为 x|-1x ;a=-1时，原不等式无解；时，原不等式无解；-1a0时，解集为时，解集为 x x-1;a=0时时,解集为解集为x|x-1;a0时时,解集为解集为 xx-1或或x .(2)x=

7、-a时不等式成立时不等式成立,即即-a+10,a1,即即a的取值范围为的取值范围为a1.返回目录返回目录 返回目录返回目录 已知已知f（x）=x2-2ax+2，当，当x-1,+)时，时，f（x）a恒成立，求恒成立，求a的取值范围的取值范围.【分析】【分析】【分析】【分析】可以从函数的角度进行考虑，转化为函数可以从函数的角度进行考虑，转化为函数求最值问题，也可以从方程的角度考虑，可转化为对方求最值问题，也可以从方程的角度考虑，可转化为对方程根的讨论程根的讨论.考点二考点二考点二考点二 不等式恒成立问题不等式恒成立问题不等式恒成立问题不等式恒成立问题 【解析】解法一【解析】解法一【解析】解法一【解

8、析】解法一：f（x）=（x-a）2+2-a2，此二次函数图象的对称轴为此二次函数图象的对称轴为x=a.当当a(-,-1)时，结合图象知，时，结合图象知，f（x）在）在-1,+）上单调递增，）上单调递增，f（x）min=f(-1)=2a+3,要使要使f（x）a恒成立，只需恒成立，只需f（x）mina,即即2a+3a,解得解得a-3,又又a-1,-3a-1;返回目录返回目录 当当a-1,+)时，时，f（x）min=f(a)=2-a2,由由2-a2a,解得解得-2a1,又又a-1,-1a1.综上所述，所求综上所述，所求a的取值范围为的取值范围为-3a1.返回目录返回目录 解法二解法二解法二解法二：由

9、已知得：由已知得x2-2ax+2-a0在在-1,+)上恒成立，上恒成立，0 a-1 f(-1)0,解得解得-3a1.即即=4a2-4（2-a）0 或或返回目录返回目录 解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方解不等式恒成立问题，通常借助于函数思想或方程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别程思想转化为求函数的最值或利用函数的图象或判别式的方法求解式的方法求解.返回目录返回目录 对应演练对应演练对应演练对应演练 已知不等式（已知不等式（m2+4m-5）x2-4（m-1）x+30对一切对一切实数实数x恒成立，求实数恒成立，求实数m的取值范围的取值范围.若若m2+4m-5=0，则，则m=1或

10、或m=-5.显然显然m=1符合符合条件，此时原不等式为恒成立的不等式条件，此时原不等式为恒成立的不等式30.m=-5不符不符合条件合条件.若若m2+4m-50，则原命题等价于，则原命题等价于 m2+4m-50 16(m-1)2-12(m2+4m-5)0.解得解得1m19.综上，实数综上，实数m的取值范围是的取值范围是1,19）.返回目录返回目录 考点三考点三考点三考点三 分式不等式与高次不等式解法分式不等式与高次不等式解法分式不等式与高次不等式解法分式不等式与高次不等式解法 返回目录返回目录 解下列不等式解下列不等式:(1)2x3-x2-15x0;(2)(x+4)(x+5)2(2-x)30;(

11、3)【分析】【分析】【分析】【分析】将多项式分解，用将多项式分解，用“数轴标根数轴标根”法，要法，要特别注意对重根情况的处理特别注意对重根情况的处理.较复杂分式不等式较复杂分式不等式,应化应化成分式不等式的标准形式，即左边为分式，右边为成分式不等式的标准形式，即左边为分式，右边为0的的形式形式.再等价转化为整式不等式求解再等价转化为整式不等式求解.返回目录返回目录 【解析】【解析】【解析】【解析】（1)原不等式可化为原不等式可化为x(2x+5)(x-3)0.把方程把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根的三个根x1=0,x2=-，x3=3顺次标在数轴上，顺次标在数轴上，然后从右开始画曲线顺次

12、经过三个根，其解集如图所示的阴然后从右开始画曲线顺次经过三个根，其解集如图所示的阴影部分影部分.原不等式的解集为原不等式的解集为x|-x0或或x3.返回目录返回目录 (2)原不等式等价于原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)30 x+50 x-5 (x+4)(x-2)0 x-4或或x 2，其解集如图的，其解集如图的阴影部分阴影部分.原不等式的解集为原不等式的解集为x|x-5或或-5x-4或或x2.返回目录返回目录(3)解法一解法一解法一解法一：原不等式等价变形为：原不等式等价变形为即为即为 即为即为 即等价变形为即等价变形为 (2x-1)(x+1)(x+3)(x-1)0,x-3且且x1

13、.可得原不等式的解集为可得原不等式的解集为x|x1.如图所示阴影部分如图所示阴影部分.返回目录返回目录 解法二解法二解法二解法二：原不等式等价变形为：原不等式等价变形为 .2x2+x-10 x2+2x-30 2x2+2x-10 x2+2x-30.解不等式组解不等式组得得x-3或或x1.解不等式组解不等式组得得-1x .由由得得x1或或-1x .综上知原不等式的解集为综上知原不等式的解集为x|x-3或或-1x 或或x1或或又等价变形为又等价变形为返回目录返回目录 （1）分式不等式一般化为高次不等式求解：）分式不等式一般化为高次不等式求解：0 f(x)g(x)0;0 f(x)g(x)0,f(1)0

14、入手，建立入手，建立a，b之间的关系之间的关系.考点四考点四考点四考点四 三个二次之间的关系三个二次之间的关系三个二次之间的关系三个二次之间的关系 返回目录返回目录【解析】【解析】【解析】【解析】(1)f(0)0,f(1)0,c0,3a+2b+c0.由条件由条件a+b+c=0,消去消去b,得得ac0;由条件由条件a+b+c=0,消去消去c,得得a+b0,故故-2 -1.(2)二次函数二次函数f(x)=3ax2+2bx+c的顶点坐标为的顶点坐标为 在在-2 -1的两边乘以的两边乘以 ，得，得 0,f(1)0,而而f()=,方程方程f(x)=0在区间在区间(，)与与(,1)内分内分别有一实根别有一

15、实根.故方程故方程f(x)=0在（在（0，1）内有两个实数根）内有两个实数根.返回目录返回目录 (1)二次函数的图象与二次函数的图象与x轴的位置关系轴的位置关系,需要研究二需要研究二次方程的次方程的的值的值,分分0,=0,0的解的解 y=ax2+bx+c图象上图象上的点的点P(x,y)，其中，其中y0，即，即x轴上方的点；轴上方的点；ax2+bx+c0的解的解y=ax2+bx+c图象上的点图象上的点P(x,y)，其中，其中y0,即即x轴下轴下方的点方的点.返回目录返回目录 对应对应对应对应对应对应对应演练对应演练对应演练对应演练 已知二次函数已知二次函数f（x）的二次项系数为）的二次项系数为a

16、，且不等式，且不等式f(x)-2x的解集为（的解集为（1，3）.（1）若方程）若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求有两个相等的根，求f(x)的解析式；的解析式；（2）若）若f（x）的最大值为正数，求）的最大值为正数，求a的取值范围的取值范围.返回目录返回目录 返回目录返回目录(1)因为因为f（x）+2x0的解集为（的解集为（1，3），），所以所以f（x）+2x=a（x-1）（）（x-3），且），且a0.因而因而f（x）=a（x-1）（）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a.由方程由方程f（x）+6a=0，得，得ax2-（2+4a）x+9a=0.因为方程因为方程有两个相等的根，有

17、两个相等的根，所以所以=-(2+4a)2-4a9a=0，即即5a2-4a-1=0.解得解得a=1或或a=-.由于由于a0,舍去舍去a=1.将将a=-代入代入得得f（x）的解析式）的解析式f（x）=-x2-x-.返回目录返回目录 （2）由）由f（x）=ax2-2（1+2a）x+3a=a-及及a0,可得可得f（x）的最大值为）的最大值为 .0,a0,故当故当f（x）的最大值为正数时，实数）的最大值为正数时，实数a的取值范围的取值范围是（是（-,-2-）(-2+,0).由由解得解得a-2-或或-2+a0.返回目录返回目录 1.1.一元二次不等式的界定一元二次不等式的界定一元二次不等式的界定一元二次不

18、等式的界定.对于貌似一元二次不等式对于貌似一元二次不等式对于貌似一元二次不等式对于貌似一元二次不等式的形式要认真鉴别的形式要认真鉴别的形式要认真鉴别的形式要认真鉴别.如：如：如：如：解不等式（解不等式（解不等式（解不等式（x-ax-a）（）（）（）（ax-1ax-1）0,0,如果如果如果如果a=0a=0它实际上是它实际上是它实际上是它实际上是一个一元一次不等式；一个一元一次不等式；一个一元一次不等式；一个一元一次不等式；只有当只有当只有当只有当a0a0时它才是一个一元二次不等式时它才是一个一元二次不等式时它才是一个一元二次不等式时它才是一个一元二次不等式.2.2.当判别式当判别式当判别式当判别式 0 0时，时，时，时，axax2 2+bx+c+bx+c0(a0(a0)0)的解集为的解集为的解集为的解集为R R；axax2 2+bx+c+bx+c0(a0(a0)0)的解集为的解集为的解集为的解集为.两者不要混为一谈两者不要混为一谈两者不要混为一谈两者不要混为一谈.