高中数学总复习课件椭圆.ppt

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1、1(1)了 解 圆 锥 曲 线 的 实 际 背 景，了 解 圆锥 曲 线 在 刻 画 现 实 世 界 和 解 决 实 际 问 题 中的作用.(2)掌 握 椭 圆 的 定 义、几 何 图 形、标 准方 程 及 简 单 几 何 性 质（范 围、对 称 性、顶点、离心率）.2(3)了 解 双 曲 线 的 定 义、几 何 图 形 和 标 准方 程，知 道 它 们 的 简 单 几 何 性 质(范 围、对 称性、顶点、离心率、渐近线).(4)了 解 抛 物 线 的 定 义、几 何 图 形 和 标 准方 程，知 道 它 们 的 简 单 几 何 性 质(范 围、对 称性、顶点、准线、离心率).(5)理 解 直

2、 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系；了解圆锥曲线的简单应用.(6)理解数形结合的思想.3圆 锥 曲 线 是 高 中 数 学 主 干 知 识平 面解 析 几 何 的 又 一 核 心 内 容，考 查 题 型 广 泛，形 式 多 样，难 易 题 均 有 涉 及.小 题 主 要 以 椭圆、双 曲 线、抛 物 线 的 定 义，标 准 方 程 和 几何 性 质 为 主；大 题 主 要 考 查 直 线 与 椭 圆 的 位置 关 系，抛 物 线 的 几 何 性 质 及 焦 点 弦 问 题，内 容 涉 及 交 点 个 数 问 题，有 关 弦 的 中 点 问 题及弦长问题，相交围成三角形的面积问题等.4

3、在 解 题 过 程 中 计 算 占 了 很 大 的 比 重，对 运算 求 解 能 力 有 较 高 的 要 求，计 算 要 根 据 题 目 中曲 线 的 特 点 和 相 互 之 间 的 关 系 进 行，合 理 利 用曲 线 的 定 义 和 性 质 将 计 算 简 化，讲 求 运 算 的 合理 性，如“设 而 不 求”，“整 体 代 换”等.试 题淡 化 对 图 形 性 质 的 技 巧 处 理，关 注 解 题 方 向 的选 择 及 计 算 方 法 的 合 理 性，适 当 关 注 与 向 量，解 三 角 形，函 数 等 知 识 的 交 汇，关 注 对 数 形 结合，函 数 与 方 程，化 归 与 转

4、 化，特 殊 与 一 般 思想 的 考 查，关 注 对 整 体 处 理 问 题 的 策 略，以 及待定系数法，换元法等的考查.5预 计2011 年 高 考 在 本 章 的 小 题 考 查 重点 是 椭 圆，双 曲 线，抛 物 线 的 定 义，标 准方 程 和 几 何 性 质，特 别 是 椭 圆 的 离 心 率 问题，大 题 综 合 考 查 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，抛 物 线 的 几 何 性 质 及 焦 点 弦 问 题，以 及 与其他知识点的综合交汇.6781.已 知 两 定 点A（-1,0）,B（1,0），点M满足 则点M 的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.线段D.直线 因 为AB

5、=2，所 以 点M 在 线 段AB 上，故选C.易 错 点：平 面 上 到 两 个 定 点F1,F2的 距离 之 和 为 定 值，且 大 于 的 动 点 轨 迹 才 是椭圆.C92.已 知 椭 圆(ab0)的 焦 点 分别 为F1、F2，b=4，离 心 率 为.过F1的 直 线 交椭圆于A、B 两点，则ABF2的周长为（）A.10 B.12C.16 D.20 因 为b=4，又b2=a2-c2，得a=5,c=3，由 椭 圆 定 义 可 知 ABF2的 周 长 为4a=20，选D.D103.椭 圆x2+2y2=2 的 右 焦 点 到 直 线y=3x的 距离是（）A.B.C.1 D.将 椭 圆 方

6、程 化 为 所 以 其 右焦 点 坐 标 为（1,0），它 到 直 线y=x的 距 离为 选B.易 错 点：研 究 椭 圆 的 几 何 性 质，须 将椭圆方程化为标准方程.B1 14.已 知 椭 圆G 的 中 心 在 原 点，长 轴 在x轴上，离 心 率 为,且 椭 圆G 上 一 点 到G 的 两 个焦 点 之 和 为 12，则 椭 圆 G 的 方 程 为.e=，2a=12，a=6，b=3，则所求椭圆方程为125.椭 圆：的 两 个 焦 点F1,F2,点P 在椭圆上，如果线段PF1的中点恰在y 轴上，则=.由 已 知 椭 圆 方 程 得a=2，b=，c=3，F1（-3,0）,F2（3,0）.7

7、13因 为 焦 点F1和F2关 于y 轴 对 称，所 以,则P（3，），所 故填7.141.椭圆的定义及其标准方程(1)平 面 内 与 两 个 定 点F1,F2的 距 离之 和 等 于 常 数（大 于）的 点 的 轨 迹叫 做 椭 圆，这 两 个 定 点 叫 做 椭 圆 的 焦 点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.15(2)椭 圆 的 标 准 方 程 是(ab0)或(ab0).(3)椭 圆 的 标 准 方 程 中a,b,c 之 间 的 关 系 是a2=b2+c2.(4)形 如Ax2+By2=C 的 方 程，只 要A、B C 为 正 数，且AB 就 是 椭 圆 方 程，可 化 为 标准形式：、162

8、.椭圆的简单几何性质(1)椭 圆(ab0)上 的 点 中，横坐 标x的 取 值 范 围 是-a,a，纵 坐 标y 的 取 值 范围 是-b,b，=2c，若2a，则 点P 的 轨 迹 不 存 在，若=2a，则 点P 的轨迹是线段F1F2.17(2)椭 圆 的 对 称 轴 为x轴 和y 轴，椭 圆 的对称中心为原点，对称中心叫椭圆的中心.(3)椭 圆(ab0)的 四 个 顶 点是(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b)，它 们 是 椭 圆 与 其对称轴的交点.(4)离心率范围是(0，1).18重点突破：椭圆的定义及其标准方程 设 椭 圆 的 中 心 在 原 点，坐 标 轴 为 对 称轴，

9、一 个 焦 点 与 短 轴 两 端 点 的 连 线 互 相 垂 直，且 此 焦 点 与 长 轴 上 较 近 的 端 点 距 离 为2-2，求此椭圆的方程.设所求椭圆或(ab0)，根 据 题 意 列 出 关 于a,b,c 的 方 程 组，从而求出a,b,c 的值.19设所求椭圆或(ab0)，b=ca-c=2-2a2=b2+c2(舍去).则所求椭圆求 椭 圆 的 方 程，借 助 于 数 形 结 合，先 定 位 分 析 焦 点 所 在 的 位 置，再 用 待 定 系 数法，将已知条件代入求解.则，解得a=2 b=2c=2，或a=6-8b=4-6c=4-620已 知P 点 在 以 坐 标 轴 为 对

10、称轴 的 椭 圆 上，点P 到 两 焦 点 的 距 离 分 别 为5和3，过P 点 作 长 轴 的 垂 线 恰 好 过 椭 圆 的 一 个 焦点，求此椭圆方程.设所求椭圆或(ab0)，两个焦点分别为F1,F2.则由题意得：所以a=4.21在方程中令x=c，得在方程中令y=c，得依题意知=3，所以b=2.则 椭 圆 方 程 为 或.22重点突破：椭圆的几何性质已 知 P 点 为 椭 圆+y2=1 上 的 点，F1,F2是 椭 圆 的 两 个 焦 点，且 F1PF2=60,求F1PF2的面积.求 解 圆 锥 曲 线 上 的 点 与 其 焦 点 围成的三角形问题，常用正，余弦定理进行求解.23依题意

11、得，在F1PF2中，由余弦定理得解得则F1PF2的面积为24圆 锥 曲 线 定 义 与 三 角 形 的有 关 性 质 相 结 合 是 解 本 题 的 关 键，常用的解题技巧要熟记于心.25已 知P 为 椭 圆+y2=1 上 的 动点，F1,F2是 椭 圆 的 两 个 焦 点，且 F1PF2=,求当 取最大值时，点P 的位置.设则m+n=4，26在F1PF2中，由余弦定理得因为m+n=4,m0,n0，所以mn当且仅当m=n 时“=”取得，所以cos-.所 以 当 取 得 最 大 值 时，点P 在 短 轴 的 两 个顶点处.27重点突破：直线与椭圆的位置关系 已知直线l：y=x+m 与椭圆相交于P

12、,Q 两点.()求实数m 的取值范围.()是 否 存 在 实 数m，使 得 等 于 椭 圆的 短 轴 长；若 存 在 求 出m 的 值，若 不 存 在，请说明理由.28()联 立 直 线 与 椭 圆 的 方 程，由 0解得.()假设存在，由弦长公式可 解 得m 的 值，检 验m 是 否 满 足 0的条件.y=x+m整理得5x2+6mx+3m2-6=0.由已知得，=36m2-20(3m2-6)0，解得-m.()联立29()设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则由()x1+x2=x1x2=所以知30由得解得因 为0m2=5 所 以 存 在 实 数m=，使得PQ 等于椭圆的短轴长.直 线 方 程

13、与 椭 圆 方 程 联 立，消元 后 得 到 一 元 二 次 方 程，然 后 通 过 判 别 式来 判 断 直 线 与 椭 圆 相 交，相 切，相 离.第()题求出m 值要检验是否满足 0.31在 椭 圆x2+4y2=16 中，求 通 过点M(2,1)且 被 这 点 平 分 的 弦 所 在 的 直 线 的 方 程和弦长.当 直 线 斜 率 不 存 在 时，M 不 可 能 为弦 的 中 点，所 以 可 设 直 线 方 程 为y=k(x-2)+1，代入椭圆方程，整理得：(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0，显然1+4k20，=16(12k2+4k+3)0.32由于解

14、得k=-.故所求弦所在直线方程为x+2y-4=0.x+2y-4=0 x2+4y2=16 所以y1=0,y2=2.所以弦长由得y2-2y=0，33如图所示，已知A,B,C 是椭圆E：(ab0)上 的 三 点，其 中A点 的 坐 标 为（2，0），BC 过 椭 圆 的 中 心 O,且AC BC,()求点C 的坐标及椭圆E 的方程；()若椭圆E 上存在两点P,Q,使得PCQ的平分线总是垂直于x轴，试判断向量PQ 与AB 是否共线，并给出证明.34()利 用Rt AOC，可 求 出C点坐标.()判 断 向 量PQ 与AB 是 否 共 线，可 从PQ 与AB 的斜率入手.()因 为 且BC 经 过 原点

15、，所以又A(2，0)，ACB=90，所 以C(,)，且a=2 代入椭圆方程得：则椭圆E 的方程为解得b2=4.35()对 于 椭 圆 上 的 两 点P、Q，若 PCQ的平 分 线 总 垂 直 于x轴,则PC 与CQ 所 在 直 线 关 于直 线x=3 对 称，设 直 线PC 的 斜 率 为k，则 直 线CQ 的斜率为-k，所以直线PC 的方程为y-=k(x-),即y=k(x-)+.直线CQ 的方程为y=-k(x-)+.将代入 得：(1+3k2)x2+6 k(1-k)x+9k2-18k-3=0，36因 为C（,）在 椭 圆 上，所 以x=是方程的一个根.所以所以同理可得：所以37因 为C（,），

16、所 以B（-,-），又A（2，0），所以所以kAB=kPQ，所以向量PQ 与向量AB 共线.平 面 向 量 作 为 数 学 解 题 工 具，常 与平 面 解 析 几 何 综 合 考 查，在 向 量 与 解 析 几 何 的综 合 性 问 题 中，写 出 向 量 的 坐 标 是 关 键.过 在椭 圆 上 的 点 作 直 线 时，切 记 此 点 的 横 坐 标 是 直线与椭圆方程联立后一元二次方程的一个根.381.求 椭 圆 的 标 准 方 程 常 用 的 方 法 是 轨 迹方 程 法 和 待 定 系 数 法，(1)由 椭 圆 的 几 何 性 质直 接 求 出 参 数a,b；(2)先 设 出 椭 圆

17、 的 标 准 方程，根 据 已 知 条 件 列 出 方 程，用 待 定 系 数 法求出参数a,b.392.解 决 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 问 题 时 常 利用 数 形 结 合 法、设 而 不 求 法、弦 长 公 式 及 根 与系 数 的 关 系 去 解 决.设 直 线l 与 曲 线C 交 于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则3.椭 圆 上 一 点 与 两 焦 点 所 构 成 的 三 角 形 称为 焦 点 三 角 形，解 决 焦 点 三 角 形 的 相 关 问 题 常利用椭圆的定义和正弦、余弦定理求解.401.（2009 浙江卷）已知椭圆（ab0）的 左 焦 点 为F，右

18、 顶 点 为A，点B在 椭 圆 上，且 BF x轴，直 线 AB 交 y 轴 于 点 P.若 则椭圆的离心率是（）A.B.C.D.D41对 于 椭 圆，因 为 则OA=2OF，所以a=2c，所以e=，选D.对 于 对 解 析 几 何 中 与 平 面 向 量结 合 的 考 查，既 体 现 了 几 何 与 向 量 的 交汇，也体现了数形结合的巧妙应用.422.（2009 福 建 卷）已 知 直 线x-2y+2=0 经过 椭 圆C:（ab0）的 左 顶 点A 和 上顶 点D，椭 圆C 的 右 顶 点 为B，点S 是 椭 圆C 上位 于x 轴 上 方 的 动 点，直 线AS，BS 与 直 线l:x=分

19、别交于M,N 两点.（）求椭圆C 的方程；（）求线段MN 的长度的最小值；43（）当 线 段MN 的 长 度 最 小 时，在 椭 圆C上 是 否 存 在 这 样 的 点T，使 得 TSB 的 面 积 为？若 存 在，确 定 点T 的 个 数，若 不 存 在，说 明理由.44解 法1：()由 已 知 得,椭 圆C 的 左 顶点 为 A(-2，)，上 顶 点 为 D(0,1)，所 以a=2,b=1.故椭圆C 的方程为+y2=1.()直线AS 的斜率k显然存在，且k0，故可设直线AS 的方程为y=k(x+2)，从而M y=k(x+2)+y2=1由得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.4

20、5设S（x1,y1），则（-2）x1=得从而 即又B(2,0),故直线BS 的方程为y=-(x-2).y=-（x-2）x=由，得x=46所以N故又k0,所以当且仅当即k=时等号成立.所以k=时，线段MN 的长度取最小值.47()由()可知，当MN 取最小值时，k=.此时BS 的方程为x+y-2=0,S(),所以要 使 椭 圆C 上 存 在 点T,使 得 TSB 的 面 积等 于，只 须 点T 到 直 线BS 的 距 离 等 于，所以T 在平行于BS 且与BS 距离等于 的直线l 上.48设直线l:x+y+t=0,则由 解得t=-或t=-.x+y-=0,得5x2-12x+5=0.由 于=440,

21、故 直 线l 与 椭 圆C 有 两 个 不同的交点；当t=-32 时，由49 x+y-=0,得5x2-20 x+21=0.由 于=-200，故 直 线l 与 椭 圆C 没 有 交点.综 上 所 述，当 线 段MN 的 长 度 最 小 时，椭 圆 上 仅 存 在 两 个 不 同 的 点T，使 得 TSB 的面积等于.当t=-时，由50解法2：()同解法1.()设S(x0,y0)，则 所以故设则yM0,yN0.51则 所以故当且仅当yM=(-yN)=时，等号成立.即MN 的长度的最小值为.52()由()可 知，当 MN 取 最 小 值 时，N(),因为B(2,0),所以kBS=kBN=-1.此时B

22、S 的方程为x+y-2=0,S(),所以设与直线BS 平行的直线方程为x+y+t=0.x+y+t=0+y2=1由，得5x2+8tx+4t2-4=0.53当 直 线 与 椭 圆 C 有 唯 一 公 共 点 时，有=64t2-20（4t2-4）=0,解得t=.当 t=时，两 平 行 直 线 BS:x+y-2=0 与l1:x+y+=0 间的距离当t=-时，两 平 行 直 线BS:x+y-2=0 与l2:x+y-=0 间的距离 54因 为 S TSD=，且|BS|=，故TSB 在BS 边上的高因 为d2dd1，所 以 椭 圆C 上 存 在 两 个 不同的点T,使得TSB 的面积等于.即 线 段MN 的 长 度 最 小 时，椭 圆C 上 仅 存在两个不同的点T,使得TSB 的面积等于.55本 小 题 主 要 考 查 直 线，椭 圆，直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系 等 基 础 知 识，考 查 推 理 论 证 能 力，运 算 求 解 能 力，考 查数形结合思想，化归与转化思想.56