学案3 平面向量的数量积.ppt

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1、学案学案3 平面向量的数量积平面向量的数量积 平面向量的平面向量的数量积数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理解平面向量数量积的含义及其物理意义理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影了解平面向量的数量积与向量投影的关系的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式掌握数量积的坐标表达式,会进行会进行平面向量数量积的运算平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直会用数量积判断两个平面向量的垂直关系关系.这一部分是向量的核心内容，高考的一个命题点，这一部分是向量的核心内容，高考的一个命题点，填空题、选择题重在考查数量

2、积的概念、运算律、性填空题、选择题重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等，解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题重在与几何、三角、代数等结合的综合题.1.平面向量的数量积 已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b,则则 叫做叫做a与与b的数量积的数量积(或内积或内积),记作记作 .规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为 .两个非零向量两个非零向量a与与b垂直的充要条件是垂直的充要条件是 ,两个非零向量两个非零向量a与与b平行的充要条件是平行的充要条件是 .|a|b|cos ab=|a|b|

3、cos 0 ab=0 ab=|a|b|2.平面向量数量积的几何意义 数量积数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积.3.平面向量数量积的重要性质 (1)ea=ae=;(2)非零向量非零向量a,b,ab ;(3)当当a与与b同向时同向时,ab=;当当a与与b反向时反向时,ab=,aa=,|a|=;|b|cos|a|cos ab=0|a|b|-|a|b|a2(4)cos=;(5)|ab|a|b|.4.平面向量数量积满足的运算律(1)ab=(交换律交换律);(2)(a)b=(为实为实数数);(3)(a+b)c=.ba ab ab ac+bc 5.平

4、面向量数量积有关性质的坐标表示 (1)设向量设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab=,由此得到由此得到:若若a=(x,y),则则|a|2=或或|a|=.(2)设设A(x1,y1),B(x2,y2),则则A,B两点间的距离两点间的距离|AB|=|AB|=.(3)设设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab .x1x2+y1y2=0 x1x2+y1y2 x2+y2 已知向量已知向量a,b满足满足|a|=1,|b|=2,a与与b的夹角为的夹角为60,则则|a-b|=.【分析】【分析】求求|a-b|可先求可先求|a-b|2.考点考点考点考点1 1 数量积的计算数量积的计算数量积

5、的计算数量积的计算 【解析解析】|a-b|=【评析】【评析】【评析】【评析】求平面向量数量积的步骤求平面向量数量积的步骤:首先求首先求a与与b的夹角的夹角为为,0,180,再分别求再分别求|a|,|b|,然后再求数量积即然后再求数量积即ab=|a|b|cos,若知道向量的坐标若知道向量的坐标 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab=x1x2+y1y2.已知向量已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos ,-sin ),且且x-,.(1)求求ab及及|a+b|;(2)若若f(x)=ab-|a+b|,求求f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值.【解析】【解析】【解析】【解析】

6、(1)ab=cos xcos -sin xsin =cos2x,a+b=(cos x+cos ,sin x sin ),x ,cosx0,|a+b|=2cosx.(2)由（由（1）可得）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.x ,cosx1,当当cosx=时时,f(x)取得最小值为取得最小值为-;当当cosx=1时时,f(x)取得最大值为取得最大值为-1.设向量设向量a,b,c满足满足a+b+c=0,(a-b)c,ab.若若|a|=1,则则|a|2+|b|2+|c|2的值是的值是 .【分析】【分析】【分析】【分析】由垂直的充要条件由垂直的充要

7、条件,寻找寻找|a|,|b|,|c|之间的关系之间的关系.考点考点考点考点2 2 利用向量解决垂直问题利用向量解决垂直问题利用向量解决垂直问题利用向量解决垂直问题【解析】【解析】【解析】【解析】ab,b=-a-c,ab=a(-a-c)=-|a|2-ac=0,ac=-|a|2=-1.又又(a-b)c,(a-b)c=0,ac=bc=-1.a=-b-c,|a|2=|b|2+|c|2+2bc,|b|2+|c|2=|a|2-2bc=3,|a|2+|b|2+|c|2=4.【评析】【评析】【评析】【评析】垂直问题是一个重要的知识点垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中在高考题中常常出现常常出现,常与向量的模

8、、向量的坐标表示等联系在一常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别起，要特别注意垂直与平行的区别.若若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则则ab a1a2+b1b2=0,ab a1b2-a2b1=0.已知已知a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0).(1)求证求证:a+b与与a-b互相垂直互相垂直;(2)若若ka+b与与a-kb的模相等的模相等,求求-(其中其中k为非零实数为非零实数).(1)证明证明:(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=(cos2+sin2)-(cos2+sin2)=0,a+b与与a-b互相垂直互相垂直.(2)k

9、a+b=(kcos+cos,ksin+sin),a-kb=(cos-kcos,sin-ksin),|ka+b|=,|a-kb|=.|ka+b|=|a-kb|,2kcos(-)=-2kcos(-).又又k0,cos(-)=0.而而00得得2+-60,2或或0),2=k =-3k,故使向量故使向量2a+b和和a-3b夹角为夹角为0的的不存在不存在.当当2或或-3时时,向量向量(2a+b)与与(a-3b)的夹角是锐角的夹角是锐角.解得解得k2=-.1.1.1.1.公式公式公式公式ab=|a|b|cos,ab=xab=|a|b|cos,ab=xab=|a|b|cos,ab=xab=|a|b|cos,a

10、b=x1 1 1 1x x x x2 2 2 2+y+y+y+y1 1 1 1y y y y2 2 2 2,|a|,|a|,|a|,|a|2 2 2 2=a=a=a=a2 2 2 2=x=x=x=x2 2 2 2+y+y+y+y2 2 2 2的关系非常的关系非常的关系非常的关系非常密切，必须能够灵活、综合运用密切，必须能够灵活、综合运用密切，必须能够灵活、综合运用密切，必须能够灵活、综合运用.2.ab x2.ab x2.ab x2.ab x1 1 1 1y y y y2 2 2 2-x-x-x-x2 2 2 2y y y y1 1 1 1=0=0=0=0与与与与abxabxabxabx1 1

11、1 1x x x x2 2 2 2+y+y+y+y1 1 1 1y y y y2 2 2 2=0=0=0=0要区分清楚要区分清楚要区分清楚要区分清楚.3.3.3.3.要特别注意：向量的数量积运算不满足结合律要特别注意：向量的数量积运算不满足结合律要特别注意：向量的数量积运算不满足结合律要特别注意：向量的数量积运算不满足结合律,即即即即(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)，但满足交换律和分配律：，但满足交换律和分配律：，但满足交换律和分配律：，但满足交换律和分配律：ab=ba,(a+b)c=ac+bc.ab=ba,(a+b)c=ac+bc.ab=ba,

12、(a+b)c=ac+bc.ab=ba,(a+b)c=ac+bc.1.数量积数量积ab中间的符号中间的符号“”不能省略，也不能用不能省略，也不能用“”来替代来替代.2.要熟练类似要熟练类似(a+b)(sa+tb)=sa2+(t+s)ab+tb2的运算律的运算律(,s,tR).3.求向量模的常用方法求向量模的常用方法:利用公式利用公式|a|2=a2,将模的运将模的运算转化为向量的数量积的运算算转化为向量的数量积的运算.4.4.零向量零向量零向量零向量:(1)0:(1)0与实数与实数与实数与实数0 0的区别的区别的区别的区别,不可写错不可写错不可写错不可写错:0a=00,a+(-:0a=00,a+(-a)=00,a0=00;(2)0a)=00,a0=00;(2)0的方向是任意的的方向是任意的的方向是任意的的方向是任意的,并非没有方向并非没有方向并非没有方向并非没有方向,0,0与任与任与任与任何向量平行何向量平行何向量平行何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系我们只定义了非零向量的垂直关系我们只定义了非零向量的垂直关系我们只定义了非零向量的垂直关系.5.5.向量夹角的概念要领会向量夹角的概念要领会向量夹角的概念要领会向量夹角的概念要领会,比如正三角形比如正三角形比如正三角形比如正三角形ABCABC中中中中,应应应应为为为为120,120,而不是而不是而不是而不是60.60.名师伴你行