高数D31微分中值定理.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理 与导数的应用 目录 上页 下页 返回 结束 一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章 目录 上页 下页 返回 结束 费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且 存在证:设则证毕目录 上页 下页 返回 结束 罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间 a,b 上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在 a,b 上取得

2、最大值 M 和最小值 m.若 M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点目录 上页 下页 返回 结束 若 M m,则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 则至少存在一点使注意:定理条件不全具备,结论不一定成立.则由费马引理得 例如,目录 上页 下页 返回 结束 例1.证明方程有且仅有一个小于1 的正实根.证:1)存在性.则在 0,1 连续,且由介值定理知存在 使即方程有小于 1 的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设目录 上页 下页 返回 结束 例2.设函数,证明在(0,1)内至少存在一点 使分析 可得证：设 由题意知由罗尔定理可知在

3、（0，1）内至少存在一点使 即目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理(1)在区间 a,b 上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点 使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间 I 上满足则在 I 上必为常数.证:在 I 上任取两点格朗日中值公式,得由 的任意性知,在 I 上为常数.令 则目录 上页 下页 返回 结束 例3.证明等式证:设由推论可知(常数)令 x=0,得又

4、故所证等式在定义域 上成立.自证:经验:欲证时只需证在 I 上目录 上页 下页 返回 结束 例4.证明不等式证:设中值定理条件,即因为故因此应有目录 上页 下页 返回 结束 三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:问题转化为证构造辅助函数目录 上页 下页 返回 结束 证:作辅助函数且使即 由罗尔定理知,至少存在一点思考:柯西定理的下述证法对吗?两个 不一定相同错!上面两式相比即得结论.目录 上页 下页 返回 结束 柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率 切线斜率目录 上页 下页 返回 结束 例

5、5.设至少存在一点 使证:问题转化为证设则在 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使即证明目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1.填空题1)函数 在区间 1,2 上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有 个根,它们分别在区间上.方程目录 上页 下页 返回 结束 2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证 在上满足罗尔定理条件.设目录 上页 下页 返回 结束 3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数 验证 在上满足罗尔定理条件.目录 上页 下页 返回 结束 作业P134 4,10目录 上页 下页 返回 结束 备用题求证存在 使设 可导，且在 连续，证:设辅助函数因此至少存在显然 在 上满足罗尔定理条件,即使得