高数同济19连续函数的运算与初等函数的连续性.ppt

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1、一、连续函数的和、积及商的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性上页 下页 铃 结束 返回 首页一、连续函数的和、积及商的连续性v定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数 在点x0也连续 例1 因为sin x和cos x都在区间(+)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的 首页Company Logo二、反函数与复合函数的连续性v定理2 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它

2、的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x)xIx 上也是单调增加(或减少)且连续的所 以 它 的 反 函 数yarcsin x 在 区 间1 1 上 也 是 连 续 的下页 例2 同样 yarccos x 在区间1 1 上是连续的 yarctan x 在区间(+)内是连续的 yarccot x 在区间(+)内是连续的Company Logo 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它们的定义域内都是连续的下页二、反函数与复合函数的连续性v定理2 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x

3、)xIx 上也是单调增加(或减少)且连续的所 以 它 的 反 函 数y=arcsin x 在 区 间-1 1 上 也 是 连 续 的 例2 即：单调连续的函数有单调连续的反函数.Company Logov定理3 下页 设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 意义1.极限符号可以与函数符号互换;例如,Company Logo注:(1)把定理中的xx0换成x 可得类似的定理提示:例3 解 下页v定理3 设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 Company Logo 设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 U(x0)Df o g 若函数

4、ug(x)在点 x0 连续 函数 yf(u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfg(x)在点x0也连续下页v定理4 注意定理4是定理3的特殊情况.v定理3 设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 Company Logo 设函数yfg(x)由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成 U(x0)Df o g 若函数 ug(x)在点 x0 连续 函数 yf(u)在点u0g(x0)连续 则复合函数yfg(x)在点x0也连续下页v定理4 例如,Company Logo sin u 当u+时是连续的 例4 解内是连续的 Company Logo三、初等函数的连续性v结论 基本初等函数

5、在它们的定义域内都是连续的 一切初等函数在其定义区间内都是连续的下页1.三角函数 2.反三角函数 在其定义域内是连续的.(均在其定义域内连续)定义区间是指包含在定义域内的区间.Company Logo 例6 例5 解 解 下页v利用连续性求极限举例特别地Company Logo例 证明证特别地Company Logo 例7 求令a x-1=t 解 则x=log a(1+t)x 0时t 0 于是 v利用连续性求极限举例另解:特别地=ln aCompany Logo思考:求解:原式说明:若则有Company Logo练习Company Logo练习Company Logo小结连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.反函数的连续性.Company Logo续?反例 x 为有理数 x 为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?作业P68 3(5),(6),(7);4(4),(5),(6);5提示:“反之”不成立.思考题Company Logo思考题1Company Logo思考题1解答是它的可去间断点Company Logo