高等数学微积分第3章第1节导数概念.ppt

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1、 第三章 导数与微分第三章 导数与微分p 第一节 导数的概念p 第二节 求导法则p 第三节 反函数、复合函数、隐函数的导数p 第四节 导数公式p 第五节 高阶导数p 第六节 微分p 第七节 导数在经济上的简单应用1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，2.掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算导数，会求反函数与隐函数的导数.法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.本章基本

2、要求本章重点、难点重点：导数与微分的计算.难点：分段函数分界点处可导性的讨论、隐函数求导.第一节 导数概念一、引出导数概念的例子1、变速直线运动的速度已知求解(1)(2)(3)2、平面曲线的切线的斜率切线割线2、平面曲线的切线的斜率解二、导数的定义定义3.1设函数有定义,在点 的某邻域内对自变量在点 处的任一改变量函数的相应改变量为如果极限存在,则称函数 在点点处可导(或导数存在).并称此极限值为的可导点,为在点处的导数(或微商).注(1)记号(2)、(3)求导三步曲:例1 求函数 y=x2 在点 x=3 处的导数.解讨论导数另一定义形式定义3.1设函数 在点的某邻域内有定义,如果极限存在,(

3、第二定义)则称函数在点 点可导(或导数存在).并称此极限值为的可导点,为在点导数(或微商).的第一个定义做证明题方便,第二个定义讨论分段函数分界点处导数方便.三、导数的几何意义的几何意义是:处的切线方程为:曲线 在点处的切线斜率.曲线 在点例2 求曲线 y=x2 在点(3,9)处的切线方程.解因此所求切线方程为即函数 在点 的导数处的法线方程为:曲线在点例2 求曲线 y=x2 在点(3,9)处的法线方程.解因此所求法线方程为即四、左导数和右导数定义3.2如果极限值为存在,在点处的右导数,记作则称此极限如果极限值为存在,在点处的左导数,记作则称此极限如果极限值为存在,在点处的右导数,记作则称此极

4、限如果极限值为存在,在点处的左导数,记作则称此极限定义3.2注 例 3 讨论函数在解故不存在.处的可导性.分段函数求分界点处的导数时注意(1)用定义(2)一般分左右导数(3)如果分界点左右两边函数表达式一样,则不分左右导数.(4)求左右导数时,函数值固定不变.五、可导与连续的关系所以由 可得如果函数 y=f(x)在点 处可导,则它在点 x0 处一定连续.因为函数 y=f(x)在点 x0 处可导,故连续.定理3.1证1.可导必连续2.连续不一定可导3.不连续一定不可导4.不可导不一定不连续例4 讨论函数在点 x=0 及 x=1处的连续性与可导性.解 在点 x=0 处的连续性故 不连续,从而不可导.三者不等在点 x=1 处的可导性故 函数可导,从而连续.例5已知 求使得函数 在点可导.解所以六、导函数定义称为函数 y=f(x)在开区间(a,b)内对 x 的如果函数在某区间(a,b)内每一点 x 处都可导，则称 f(x)在区间(a,b)内可导.导函数,简称为导数.(1)记号:(2)(3)求导函数三步曲:、例6求的导函数.解例7求的导函数.解例8求的导函数.解特别地例9求的导函数.解注求导公式作业题习题三(A)1、2、3、4、5、6、7、8.