高等数学方明亮71多元函数的基本概念.ppt

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1、返回 上页 下页 目录高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）5/14/2023 1返回 上页 下页 目录第七章 多元函数微分法及其应用推广一元函数微分学 多元函数微分学 注意:善于类比,区别异同5/14/2023 2返回 上页 下页 目录主 要 内 容第一节 多元函数的基本概念 第二节 偏导数第三节 全微分 第四节 多元复合函数的求导法则 第五节 隐函数的求导公式 第六节 多元微分学在几何上的应用 第七节 方向导数与梯度 第八节 多元函数的极值及其求法 5/14/2023 3返回 上页 下页 目录第一节 多元函数的基本概念 第七章(Conception of func

2、tions of several variables)四、多元函数的连续性一、平面点集 n 维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限五、小结与思考练习5/14/2023 4返回 上页 下页 目录一、平面点集 n 维空间1.邻域点集 称为点 P0 的 邻域.例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成点 P0 的去心邻域记为5/14/2023 5返回 上页 下页 目录在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为.因为方邻域与圆邻域可以互相包含.5/14/2023 6返回 上页 下页 目录(1)内点、外点、边界点设有点集 E 及一点 P:若存在点 P 的

3、某邻域 U(P)E,若存在点 P 的某邻域 U(P)E=,若对点 P 的任一邻域 U(P)既含 E中的内点也含 E则称 P 为 E 的内点；则称 P 为 E 的外点;则称 P 为 E 的边界点.的外点,显然,E 的内点必属于 E,E 的外点必不属于 E,E 的边界点可能属于 E,也可能不属于 E.2.区域5/14/2023 7返回 上页 下页 目录若对任意给定的,点P 的去心邻域 内总有E 中的点,则称 P 是 E 的聚点.聚点可以属于 E,也可以不属于 E(因为聚点可以为 所有聚点所成的点集成为 E 的导集.E 的边界点)(2)聚点5/14/2023 8返回 上页 下页 目录D 若点集 E

4、的点都是内点，则称 E 为开集；若点集 E E,则称 E 为闭集；若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连,开区域连同它的边界一起称为闭区域.则称 D 是连通的;连通的开集称为开区域,简称区域;.E 的边界点的全体称为 E 的边界,记作E;(3)开区域及闭区域5/14/2023 9返回 上页 下页 目录开区域闭区域例如，在平面上5/14/2023 10返回 上页 下页 目录 整个平面 点集 是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o 对区域 D,若存在正数 K,使一切点 P D 与某定点 A 的距离 AP K,则称 D 为有界域,界域.否则称为无5/14/2023 11返回

5、 上页 下页 目录n 元有序数组的全体称为 n 维空间,n 维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第 k 个坐标.记作即一个点,当所有坐标称该元素为 中的零元,记作 O.3.n 维空间5/14/2023 12返回 上页 下页 目录的距离记作中点 a 的 邻域为规定为 与零元 O 的距离为5/14/2023 13返回 上页 下页 目录二、多元函数的概念 引例:圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式5/14/2023 14返回 上页 下页 目录点集 D 称为函数的定义域;数集称为函数的值域.特别地,当 n=2 时,有二元函数当 n=3 时,有三元函数映射称为定义在 D 上的 n

6、 元函数,记作定义1 设非空点集5/14/2023 15返回 上页 下页 目录定义域为圆域说明:二元函数 z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.的图形一般为空间曲面.三元函数 定义域为图形为 空间中的超曲面.单位闭球例如,二元函数5/14/2023 16返回 上页 下页 目录三、多元函数的极限定义2 设 n 元函数点,则称 A 为函数(也称为 n 重极限)当 n=2 时,记二元函数的极限可写作：P0 是 D 的聚若存在常数 A,对一记作都有对任意正数,总存在正数,切5/14/2023 17返回 上页 下页 目录求证：证:故总有要证（课本 例5）例1 设5/14/2023 1

7、8返回 上页 下页 目录求证：证：故总有要证（自学课本 例6）例2（补充题）设5/14/2023 19返回 上页 下页 目录 若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于不存在.函数例3 讨论函数5/14/2023 20返回 上页 下页 目录仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.不同.如果它们都存在,则三者相等.例如,显然与累次极限但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在.二重极限5/14/2023 21返回 上页 下页 目录四、多元函数的连

8、续性 定义3 设 n 元函数 定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称 n 元函数连续.连续,5/14/2023 22返回 上页 下页 目录在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.例如,函数5/14/2023 23返回 上页 下页 目录解:原式例6 求函数的连续域.解:（补充题）例5（课本 例9）求5/14/2023 24返回 上页 下页 目录*(4)f(P)必在D 上一致连续.在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;(3)对任意(有界性定理)(最

9、值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略)定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则5/14/2023 25返回 上页 下页 目录内容小结1.区域 邻域:区域连通的开集 2.多元函数概念n 元函数常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数5/14/2023 26返回 上页 下页 目录有4.多元函数的连续性1)函数2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续3.多元函数的极限5/14/2023 27返回 上页 下页 目录习题71 1(2),(3)；3；5（偶数题）；6（偶数题）；7（1）；8；9课外练习思考与练习1.习题71 7（2）令 x=k y，若令,则 可见极限不存在5/14/2023 28返回 上页 下页 目录2.设 求解法1 令5/14/2023 29返回 上页 下页 目录求解法2 令即2.设5/14/2023 30返回 上页 下页 目录是否存在？解：所以极限不存在.3.5/14/2023 31返回 上页 下页 目录在全平面连续.证:为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得4.证明5/14/2023 32