高数D75可降阶高阶微分方程.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 可降阶高阶微分方程 第五节一、型的微分方程 二、型的微分方程 三、型的微分方程 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、令因此即同理可得依次通过 n 次积分,可得含 n 个任意常数的通解.型的微分方程 目录 上页 下页 返回 结束 例1.解:目录 上页 下页 返回 结束 例2.质量为 m 的质点受力F 的作用沿 ox 轴作直线运动,在开始时刻随着时间的增大,此力 F 均匀地减直到 t=T 时 F(T)=0.如果开始时质点在原点,解:据题意有t=0 时设力 F 仅是时间 t 的函数:F=F(t).小,求质点的运动规律.初速度为0,且对方程两边积分,得 目录 上页

2、下页 返回 结束 利用初始条件于是两边再积分得再利用故所求质点运动规律为目录 上页 下页 返回 结束 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、目录 上页 下页 返回 结束 例3.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用 因此所求特解为目录 上页 下页 返回 结束 例4.绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低点 A 到(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:A 点受水平张力 HM 点受切向张力T两式相除得目录 上页

3、 下页 返回 结束 则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬 链 线目录 上页 下页 返回 结束 三、型的微分方程 令故方程化为设其通解为 即得分离变量后积分,得原方程的通解目录 上页 下页 返回 结束 例5.求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:目录 上页 下页 返回 结束 M:地球质量m:物体质量例6.静止开始落向地面,(不计空气阻力).解:如图所示选取坐标系.则有定解问题:代入方程得积分得一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由 求它落到地面时的速度和所需时间目录 上页 下页 返回 结束 两端积分得因此有注意“”号目录 上页 下页 返回

4、结束 由于 y=R 时 由原方程可得因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为目录 上页 下页 返回 结束 说明:若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.则定解问题为目录 上页 下页 返回 结束 例7.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得目录 上页 下页 返回 结束 为曲边的曲边梯形面积上述两直线与 x 轴围成的三角形面例8.二阶可导,且上任一点 P(x,y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线,区间 0,x 上以解:于是在点 P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.积记为(1999 考研)目录 上页 下页 返回 结束 再

5、利用 y(0)=1 得利用得两边对 x 求导,得定解条件为方程化为利用定解条件得得故所求曲线方程为目录 上页 下页 返回 结束 内容小结可降阶微分方程的解法 降阶法逐次积分令令目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习1.方程如何代换求解?答:令 或一般说,用前者方便些.均可.有时用后者方便.例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.例6 例7目录 上页 下页 返回 结束 P323 1(5),(7),(10);2(3),(6);3;4 作业 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 速度大小为 2v,方向指向A,提示:设 t 时刻 B 位于(x,y),如图所示,则有去分母后两边对 x 求导,得又由于设物体 A 从点(0,1)出发,以大小为常数 v 备用题的速度沿 y 轴正向运动,物体 B 从(1,0)出发,试建立物体 B 的运动轨迹应满足的微分方程及初始条件.目录 上页 下页 返回 结束 代入 式得所求微分方程:其初始条件为即