高数课件30空间几何2数量积与向量积.ppt

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1、数量积与向量积启示实例两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义一、两向量的数量积营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.数量积也称为“点积”、“内积”.营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621关于数量积的说明：证证营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若 为数若、为数：证明（1）、（3）由定义可证余下证明（2）营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621 仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可仿此证明营口地区成人高等教育 QQ

2、 群 54356621设数量积的坐标表达式营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621解营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621证营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621例3 应用向量证明CauchySchwarz 不等式证 记则营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621例4 应用向量证明直径所对的圆周角是直角证 如图所示xyoAB C圆的方程：设 A 点的坐标为则营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621例5设 是三个单位向量 始于同一点O且 证明它们终点的

3、连线构成一等边三角形证一ABCO又营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621由同理故它们终点的连线构成等边三角形证二 由得又营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621同理故由余弦定理，有故它们终点的连线构成等边三角形营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621实例二、两向量的向量积营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621定义关于向量积的说明：/向量积也称为“叉积”、“外积”.营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若 为数证/营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621设向量积的坐标表达式营口地区成人高等教育

4、 QQ 群 54356621向量积还可借助于三阶行列式表示由上式可推出/营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621例如，补充营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621解营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621解三角形ABC 的面积为营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621解营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621定义设混合积的坐标表达式三、向量的混合积营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：轮换对称性营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621证明由共面设由混合积的几何意义知得共面营口地区成人高等教育

5、 QQ 群 54356621解例9营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621解营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621例11 设是四个已知向量，其中不共面，试利用矢量运算将 表示为 的线性组合 分析 依题意其中 x,y,z 待定为求得 x，须消去 y,z 由上式可见，若能用一个与都垂直的向量，则y,z 可同时消去，自然想到 解设有营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621以 与上式两端作点积，得由于 不共面同理又由轮换对称性知营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）四、小结营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621思考题营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621思考题解答营口地区成人高等教育 QQ 群 54356621