高等数学方明亮版数学课件101常数项级数的概念与性质.ppt

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1、返回 上页 下页 目录高等数学多媒体课件牛顿（Newton）莱布尼兹（Leibniz）5/14/2023 1返回 上页 下页 目录第十章 无穷级数（Infinite Series）第一节 常数项级数的概念与性质第二节 常数项级数的审敛法第三节 幂级数第四节 函数展开成幂级数第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 傅立叶级数主 要 内 容5/14/2023 2返回 上页 下页 目录第一节 常数项级数的概念和性质 第十章（Conception and property of constant term series）一、常数项级数的基本概念二、收敛级数的基本性质三、小结与思考练习5/14/202

2、3 3返回 上页 下页 目录一、常数项级数的基本概念定义 给定一个数列 将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项 叫做级数的一般项,级数的前 n 项和次相加,简记为称为级数的部分和.则称无穷级数5/14/2023 4返回 上页 下页 目录收敛,并称 S 为级数的和,记作当级数收敛时,称差值为级数的余项.则称无穷级数发散.显然5/14/2023 5返回 上页 下页 目录5/14/2023 6返回 上页 下页 目录例3 讨论等比级数(又称几何级数)(q 称为公比)的敛散性.解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为5/14/2023 7返回 上页 下页 目录2)若因此级数发散;

3、因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.5/14/2023 8返回 上页 下页 目录二、收敛级数的基本性质性质1 若级数 收敛于 S,则各项乘以常数 c 所得级数 也收敛,证:令 则这说明收敛,其和为 c S.说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为 c S.5/14/2023 9返回 上页 下页 目录性质2 设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为证:令则这说明级数也收敛,其和为5/14/2023 10返回 上页 下页 目录5/14/2023 11返回 上页 下页 目录性质3 在级数前面加上或去掉有限项,不会

4、影响级数的敛散性.证:将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数5/14/2023 12返回 上页 下页 目录性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证:设收敛级数 若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但 发散.因此必有例如，用反证法可证例如5/14/2023 13返回 上页 下页 目录证:可见:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.例如,其一般项为不趋于0,

5、因此这个级数发散.5/14/2023 14返回 上页 下页 目录注意:并非级数收敛的充分条件.例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上,假设调和级数收敛于 S,则但矛盾!所以假设不真.课本给出了另外两种证法！5/14/2023 15返回 上页 下页 目录例6 判断级数的敛散性:解:考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.5/14/2023 16返回 上页 下页 目录内容小结1.常数项级数的基本概念:2.常数项级数、收敛、发散、等比级数、调和级数 3.级数收敛的判别方法2.收敛级数的5个性质课外练习习题101 3（偶数题）；45/14/2023 17返回 上页 下页 目录思考与练习答:（1）若二级

6、数都发散,不一定发散.例如,（2）若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.(用反证法可证)5/14/2023 18返回 上页 下页 目录解:(1)所以级数(1)发散;技巧:利用“拆项相消”求和2、判别下列级数的敛散性:5/14/2023 19返回 上页 下页 目录(2)所以级数(2)收敛,其和为 1.技巧:利用“拆项相消”求和5/14/2023 20返回 上页 下页 目录3、判断下列级数的敛散性,若收敛求其和:解:(1)令 则故从而 这说明级数(1)发散.5/14/2023 21返回 上页 下页 目录因进行拆项相消这说明原级数收敛,其和为(2)5/14/2023 22返回 上页 下页 目录这说明原级数收敛,其和为 3.(3)5/14/2023 23