高等数学D101二重积分概念.ppt

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1、第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重 积 分 三、二重积分的性质 第一节一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第十章 解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:底：xoy 面上的闭区域 D顶:连续曲面侧面：以 D 的边界为准线,母线平行于 z 轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求 极限”机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)“大化小”用任意曲线网分D为 n 个区域以它们为底把曲顶柱体分为 n 个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱

2、体机动 目录 上页 下页 返回 结束 4)“取极限”令机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.平面薄片的质量 有一个平面薄片,在 xoy 平面上占有区域 D,计算该薄片的质量 M.度为设D 的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求 极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D 为 n 个小区域相应把薄片也分为小区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第 k 小块的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄

3、片的质量:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二重积分的定义及可积性定义:将区域 D 任意分成 n 个小区域任取一点若存在一个常数 I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域 D上的有界函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果 在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域 D上连续,则若有界函数 在有界闭区域

4、D 上除去有 例如,在D:上二重积分存在;在D 上 二重积分不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、二重积分的性质(k 为常数)为D 的面积,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别,由于则5.若在D上6.设D 的面积为,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 7.(二重积分的中值定理)证:由性质6 可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上 为D 的面积,则至少存在一点 使使连续,因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域 D 的边界为圆周它与 x 轴交于点(1,0),而域 D 位从而于直线的上方,故在 D 上 机动 目录 上页 下页

5、返回 结束 例2.判断积分的正负号.解:分积分域为 则原式=猜想结果为负 但不好估计.舍去此项机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.估计下列积分之值解:D 的面积为由于积分性质5即:1.96 I 2D机动 目录 上页 下页 返回 结束 8.设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1,当区域关于 y 轴对称,函数关于变量 x 有奇偶性时,仍在 D 上在闭区域上连续,域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取 平面截面积为截柱体的机动 目录 上页 下页 返回 结束 则曲顶柱体体积为yz0故曲顶柱体的体积为同

6、样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4.求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 被积函数相同,且非负,思考与练习解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设D 是第二象限的一个有界闭域,且 0 y 1,则的大小顺序为()提示:因 0 y 1,故故在D上有机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.计算解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.证明:其中D 为解:利用题中 x,y 位置的对称性,有又 D 的面积为 1,故结论成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 P78 2，4，5 P95 1(1),8第二节 目录 上页 下页 返回 结束 作业备用题1.估计 的值,其中 D 为解:被积函数D 的面积的最大值的最小值机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.判断的正负.解：当时，故又当 时，于是机动 目录 上页 下页 返回 结束