高等数学方明亮版数学课件102常数项级数的审敛法.ppt

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1、返回 上页 下页 目录第二节 常数项级数的审敛法 第十章（Interrogate of constant term series）一、正项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛四、小结与思考练习5/14/2023 1返回 上页 下页 目录一、正项级数及其审敛法若定理 1 正项级数 收敛部分和序列有界.若收敛,部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”(Interrogate of positive term series)5/14/2023 2返回 上页 下页 目录都有设且存在 对一切 有(1)若强级数 则弱级数(2)若弱级数

2、则强级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨定理2(比较审敛法)5/14/2023 3返回 上页 下页 目录(1)若强级数则有因此对一切 有由定理 1 可知,则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.也收敛.发散,收敛,弱级数5/14/2023 4返回 上页 下页 目录则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=证:据极限定义,设两正项级数满足(1)当 0 l 时,定理3(比较审敛法的极限形式)5/14/2023 5返回 上页 下页 目录由定理 2 可知同时收

3、敛或同时发散;(3)当l=时,即由定理2可知,若发散,(1)当0 l 时,(2)当l=0时,由定理2 知收敛,若5/14/2023 6返回 上页 下页 目录5/14/2023 7返回 上页 下页 目录5/14/2023 8返回 上页 下页 目录(常数 p 0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数 由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,例3 讨论 p 级数5/14/2023 9返回 上页 下页 目录因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,2)若5/14/2023 10返回 上页 下页 目录5/14/2023 11返回 上页 下页 目录5/14/2023 12

4、返回 上页 下页 目录5/14/2023 13返回 上页 下页 目录5/14/2023 14返回 上页 下页 目录设 为正项级数,且 则(1)当(2)当证:(1)收敛,时,级数收敛;或 时,级数发散.由比较审敛法可知定理4 比值审敛法(D Alembert 判别法)5/14/2023 15返回 上页 下页 目录因此 所以级数发散.时说明:当 时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数但级数收敛;级数发散.从而(2)当5/14/2023 16返回 上页 下页 目录5/14/2023 17返回 上页 下页 目录5/14/2023 18返回 上页 下页 目录 对任意给定的正数 设 为正项级则证明提示

5、:即分别利用上述不等式的左,右部分,可推出结论正确.数,且定理5 根值审敛法(Cauchy 判别法)5/14/2023 19返回 上页 下页 目录时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数 但级数收敛;级数发散.说明:5/14/2023 20返回 上页 下页 目录5/14/2023 21返回 上页 下页 目录二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数 收敛,且其和 其余项满足(Interrogate of staggered series)5/14/2023 22返回 上页 下页 目录证:是单调递增有界数列,又故级数

6、收敛于S,且故5/14/2023 23返回 上页 下页 目录收敛收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散 收敛收敛用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:5/14/2023 24返回 上页 下页 目录三、绝对收敛与条件收敛定义 对任意项级数 若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.(Absolute convergence and conditional convergence)5/14/2023 25返回 上页 下页 目录证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令定理7 绝对收敛的级

7、数一定收敛.5/14/2023 26返回 上页 下页 目录证:(1)而 收敛,收敛因此绝对收敛.例11 证明下列级数绝对收敛:（补充题）5/14/2023 27返回 上页 下页 目录(2)令因此 收敛,绝对收敛.（自学课本 例13、14）5/14/2023 28返回 上页 下页 目录5/14/2023 29返回 上页 下页 目录其和分别为*定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.*定理9(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数 与 都绝对收敛,其和为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.说明:条件收敛级数不具有这两条性质.5/14/2023

8、 30返回 上页 下页 目录内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛 发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限5/14/2023 31返回 上页 下页 目录为收敛级数Leibniz 判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛3.任意项级数审敛法5/14/2023 32返回 上页 下页 目录课外练习习题102 1（1）（2）（4）；2（奇数题）；3（3）（4）（6）；4（2）（3）（5）（7）；5思考练习1、设正项级数收敛,能否推出 收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.5/14/2023 33返回 上页 下页 目录则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:(B)错;又C2.5/14/2023 34