高阶和线性微分方程及其微分方程的应用13题.ppt

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1、第二讲 高阶和线性微分方程 及其微分方程的应用方法:1 可降阶的二阶方程(1)不显含因变量的二阶方程:令,则,代入方程得(2)不显含自变量的二阶方程:方法:令,则,代入方程得 例1求解解不显含因变量 y 的方程令,则,代入方程得(齐次型方程)令,则,代入方程得 通解由 由 所以例2求解解不显含自变量 x 的方程令,则,代入方程得 由 p=0 不是问题的解积分得由 令 所以特解:2 二阶线性微分方程例3(练习二/七)求 的通解 解 特征方程:特征根:齐次方程的通解:设非齐次方程的解为:代入方程确定非齐次方程的特解:所以方程的通解:例4(练习二/一(3)/(4)写出方程 的特解形式解特征方程:特征

2、根:又对于方程:特解形式:对于方程:特解形式:所以原方程的特解形式例5(练习二/一(1)/(4)求 的通解 解 特征方程:特征根:通解:例6(练习二/八)求出以为特解的最低阶的常系数线性齐次方程解是特解 1=1 是所求微分方程的特征方程的二重根 是特解是所求微分方程的特征方程的根 所求方程的特征方程:所求微分方程:例7 求出方程 在,上满足的特解解 微分方程可分解为(1)(2)方程(1)的通解:方程(2)的通解:即由于 y(x)在 x=0 处有二阶导数故由由原方程在,上的通解:由初始条件,得所以特解:例8 利用代换 将方程化简,并求出原方程的通解解代入方程得解得原方程的通解:例9(练习二/十二

3、)求微分方程 通解解代入方程得解得方程的通解3 微分方程的应用例10 设可导函数 f(x)对任意 x,y 恒有且 求 f(x)解 令 得 f(x)满足:解得例11(练习三/三)已知函数 y=f(x)的图形是经过P(0,1)和 Q(1,0)两点的一段向上凸的曲线弧,M(x,y)为该曲线上任一点,弧 与弦 之间的面积为,求 f(x)解设曲线的方程为 y=f(x),由条件知两边求导有即方程的通解:由 y(1)=0 得 c=11所以所求曲方程为例12 汽艇以 12 km/h 的速度在静水中行驶,现突然关闭发动机,让它在水中作直线滑行,若已知经过20 秒后,速度降为 6 km/h,而水对汽艇的阻力与汽艇的速度成正比,求(1)关闭发动机 40 秒后,汽艇的速度(2)关闭发动机后,汽艇在 1 分钟内滑行了多远?它最多能滑行多远?解(1)设时刻 t,汽艇的滑行距离为 s=s(t),速度为 v(t)汽艇的质量为 m,则(米/秒)由又(米/秒)(2)由积分得(米)汽艇滑行的最远距离:(米)例13 求(0,+)上的连续函数 f(x),使,且对任意正数 u,v 总成立:解设,则 F(x)满足:F(x)满足:解得