高等数学下册第十章第五节.ppt

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1、5 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、基本概念一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上侧上侧和和下侧下侧曲面分曲面分内侧内侧和和外侧外侧1.曲面的曲面的侧侧曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;2.2.单侧曲面单侧曲面.典典型型双双侧侧曲曲面面典型典型单侧曲面单侧曲面:莫比乌斯带莫比乌斯带播放播放曲面曲面法向量的指向法向量的指向决定曲面的侧，一側为正，一决定曲面的侧，一側为正，一侧为负。选定了侧的曲面称为侧为负。选定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面。面面 S,S 在在xOy面上的投影面上的投影(S)xy为为2.有向曲面的有向曲面的

2、投影投影 在有向曲面在有向曲面 上取一小块曲上取一小块曲注注：1.求投影时，要求求投影时，要求 S上各点的法上各点的法向量向量与与z轴的夹角均为锐角或均为钝角。轴的夹角均为锐角或均为钝角。2.当当 S为为平面块时平面块时,它在它在xOy面的投影为面的投影为S S cos 3.可同样定义可同样定义 S 在在yOz面面上的投影上的投影(S)yz与与 S 在在zOx面面上的投影上的投影(S)zx(1)流流速速场场为为常常向向量量 v,求求单单位位时时间间流流过过有有向平面区域向平面区域 A的流体的质量的流体的质量(假定密度为假定密度为1)。3.流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量1.分割分割 把曲面

3、把曲面 分成分成 n小块小块 Si(Si同时也代表同时也代表第第 i 小块曲面的面积小块曲面的面积)。法向量为法向量为 ni，该点流速为该点流速为 vi，在在 Si上任取一上任取一点点(i,i,i),2.近似近似3.求和求和通过通过 流向指定侧的流量流向指定侧的流量4.4.取极限取极限 0取极限得到流量取极限得到流量 的精确值。的精确值。二、对坐标的曲面积分的定义及性质二、对坐标的曲面积分的定义及性质定义定义 设设 为为光滑的有向曲面光滑的有向曲面,函数函数R(x,y,z)在在 上上标标x、y的曲面积分的曲面积分(也称也称第二类曲面积分第二类曲面积分),),记作记作有有界界。把把 任任意意分分

4、成成 n 块块小小曲曲面面 Si(Si同同时时又又表表示示第第 i 块块小小曲曲面面的的面面积积),),Si在在xOy面面上上的的投投影影记记为为(Si)xy,任任取取(i,i,i)Si。如如果果当当各各小小块块曲曲面的直径的最大值面的直径的最大值 0 时，极限时，极限被积函数被积函数积分曲面积分曲面可类似定义可类似定义，即，即存在条件存在条件:习惯上记习惯上记:性质性质:三、计算法三、计算法设积分曲面设积分曲面 是由方是由方程程z=z(x,y)所给出的所给出的曲面上侧曲面上侧,在在xOy面面上的投影区域为上的投影区域为Dxy,函数函数z=z(x,y)在在Dxy上上具有一阶连续偏导数具有一阶连

5、续偏导数,被积函数被积函数R(x,y,z)在在 上连续上连续.说明说明：1.对坐标的曲面积分必须注意曲面所取的侧。对坐标的曲面积分必须注意曲面所取的侧。2.上述结论只有当积分曲面上述结论只有当积分曲面 上每点的法向量上每点的法向量 n 与与z(x、y)轴的夹角均为锐角或轴的夹角均为锐角或均为鈍角时才均为鈍角时才成立。成立。3.若若 在在xOy面的投影为曲线，则面的投影为曲线，则若若 在在yOz面或面或zOx面面的投影为曲线，的投影为曲线，有类似的有类似的结论。结论。解解四、两类曲面积分之间的联系四、两类曲面积分之间的联系结论：结论：的的方向角。方向角。向量形式向量形式解解原式原式=8 。例例3 计算计算解解 其中其中 是球面是球面x2+y2+z2=R2的外側。的外側。解法解法2 由对称性，由对称性，xyz习题习题(P167)：3，4