专转本高数第七章第六节多元函数的极值与最值.ppt

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1、第六节第六节 二元函数的极值与最值二元函数的极值与最值一、二元函数极值一、二元函数极值极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值.使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点.1(1)(2)(3)例例1 1例例例例2播放播放3极值的求法极值的求法（称（称驻点驻点）驻点驻点极值点极值点注意注意：定理定理1 1（必要条件）（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？4定理定理2 2（充分条件）（充分条件）负定负定正定正定5例例4 4解解无无极极值值极极小小值值-5极极大大值值31无无极极值值6二元函数的最值二元函数的最值 若根据若根据实际问

2、题实际问题,目目标标函数有最大函数有最大值值(或最小或最小值值),),而在定而在定义义区域区域内部内部有有惟一惟一的极大的极大(小小)值值点点,则则可以断可以断定定该该极大极大(小小)值值点即点即为为最大最大(小小)值值点点.设设生生产产某种商品需原料某种商品需原料A和和B，设设A的的单单价价为为2 2，数量，数量为为x；而而B 的的单单价价为为1 1，数量，数量为为y，而而产产量量为为 例例5 5解解且商品售价且商品售价为为5,5,求最大利求最大利润润.利利润润函数函数为为 7令令解得解得惟一惟一驻驻点点 惟一惟一驻驻点点为极为极大大值值点点，即为即为最大最大值值点点，最大利润最大利润为为

3、8例例6 6解解9令令10 用用铁铁皮做一个有盖的皮做一个有盖的长长方形水箱方形水箱,要求容要求容积为积为V,问问怎么做用料最省？怎么做用料最省？二、条件极值与拉格朗日乘数法二、条件极值与拉格朗日乘数法 实际问题实际问题中中,目目标标函数的自函数的自变变量除了受到定量除了受到定义义域域的限制外的限制外,往往往往还还受到一些附加条件的受到一些附加条件的约约束束,这类这类极极值问题值问题称称条件极值条件极值问题问题.例例7 7解解 即表面即表面积积最小最小.代入目代入目标标函数函数,化化为为无条件极无条件极值问题值问题：xyz11内部唯一内部唯一驻驻点点,且由且由实际问题实际问题S有最大有最大值值

4、,故做成立方故做成立方体表面体表面积积最小最小.这这种做法的缺点：种做法的缺点：1.1.变变量之量之间间的平等关系和的平等关系和对对称性被破坏；称性被破坏；2.2.有有时时解出解出隐隐函数困函数困难难甚至不可能甚至不可能.12拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法引入拉格朗日函数引入拉格朗日函数令令若这样的点惟一若这样的点惟一,由实际问题由实际问题,可直接确定此即所求的点。可直接确定此即所求的点。13则则构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数为为 令令14 用用铁铁皮做一个有盖的皮做一个有盖的长长方形水箱方形水箱,要求容要求容积为积为V,问问怎么做用料最省？怎么做用料最省？例例7 7解解由由实际问题实际问题,

5、即即为为最小最小值值点点.xyz15三、多元函数最大值、最小值及其应用三、多元函数最大值、最小值及其应用 在实际问题中，经常要求某多元函数在已知区在实际问题中，经常要求某多元函数在已知区域域D内的最大值和最小值内的最大值和最小值.根据实际情况，我们往往根据实际情况，我们往往可以判断最大值或最小值在区域可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若的内部达到，若函数在函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点是最大值点或最小值点.16例例8 8解解解得唯一解得唯一驻驻点点 即即做成做成正三角形正三角形时时面面积积最大最大.17三角形中三角形中,以正三角形面以正三角形面积为积为最大最大:四四边边形中形中,以正方形面以正方形面积为积为最大：最大：18解解例例9 9先求函数在先求函数在D内的驻点，内的驻点，解方程组解方程组 19为最小值为最小值.20例例1010解解21由由由由实际问题实际问题，此即最佳分配方案，此即最佳分配方案.22解法解法1例例1111因驻点惟一因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润，23例例1111因驻点惟一因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，且由问题的实际含义可知必有最大利润，解法解法224练习：练习：P324 习题七习题七25