专转本第一讲函数与数列的极限.ppt

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1、1 函数的概念函数的概念一、函数的定义域一、函数的定义域 设设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系系f,使对于集合使对于集合A中的任意一个数中的任意一个数x，在集合，在集合B中都有唯一中都有唯一确定的数确定的数f(x)和它对应。和它对应。那么就称那么就称f:AB为从集合为从集合A到集合到集合B的一个函数，记的一个函数，记作作y=f(x)，xA 其中其中x叫做自变量，自变量叫做自变量，自变量x的取值范围的取值范围A叫做定义域，叫做定义域，与与x的值相对应的值的值相对应的值y叫做函数值，函数值的集合叫做函数值，函数值的集合f(x)xA叫做函数的值域。

2、叫做函数的值域。第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限二、函数定义域的求法二、函数定义域的求法 求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的一切自求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的一切自变量的集合变量的集合注意事项：注意事项：最终结果要写成区间或集合最终结果要写成区间或集合a,b (a,b)a,b)(a,ba,+)(a,+)(-,b (-,b)(-,+)常见函数对自变量的要求：常见函数对自变量的要求：第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限三、求函数表达式的方法三、求函数表达式的方法直接代入法直接代入法（直接代入法一般都是给出函数的具体解析式，（直接代入法一般都是给出函数的具体

3、解析式，求其他函数的表达式，比较简单）求其他函数的表达式，比较简单）第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限四、反函数的求法四、反函数的求法原函数必须是一一映射才有反函数；原函数必须是一一映射才有反函数；单调函数一定有反函数；单调函数一定有反函数；原函数与反函数关于直线原函数与反函数关于直线y=x对称；对称；原函数的定义域是反函数的值域；原函数的定义域是反函数的值域；原函数的值域是反函数的定义域。原函数的值域是反函数的定义域。第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限2 函数的性质函数的性质一、一、函数的有界性函数的有界性oyxM-My=f(x)X有界有界M-MyxoX无界无界则称函

4、数则称函数若若有有 成立，成立，f(x)在在X上有界上有界.否则称为无界否则称为无界.(2)(2)有界与否是和有界与否是和X有关的有关的.(1)(1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的当一个函数有界时，它的界是不唯一的.注意注意:第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限二、二、函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数偶函数yxox-x设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D关于原点对称关于原点对称,对于对于有有f(-x)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为偶函数为偶函数;偶函数的图形关于偶函数的图形关于y轴对称轴对称.函数函数 y=cosx是偶函数是偶函数.第一讲第一讲 函数与数列的极限函

5、数与数列的极限奇函数奇函数yxox-x设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D关于原点对称关于原点对称,对于对于有有f(-x)=-f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为奇函数为奇函数.奇函数的图形关于原点对称奇函数的图形关于原点对称.函数函数 y=sinx是偶函数是偶函数.函数函数 y=sinx+cosx既非奇函数既非奇函数,又非偶函数又非偶函数.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限函数奇偶性常见结论函数奇偶性常见结论奇奇*奇奇=偶偶 偶偶*偶偶=偶偶 奇奇*偶偶=奇奇 偶偶*奇奇=奇奇奇函数导数是偶函数奇函数导数是偶函数偶函数导数是奇函数偶函数导数是奇函数导数是奇函数的函数一定

6、是偶函数导数是奇函数的函数一定是偶函数导数是偶函数的函数不一定是奇函数导数是偶函数的函数不一定是奇函数内层是奇函数，函数奇偶性与外层奇偶性相同内层是奇函数，函数奇偶性与外层奇偶性相同内层是偶函数，函数一定是偶函数内层是偶函数，函数一定是偶函数第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限三、三、函数的单调性函数的单调性xyo及及设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D,区间区间如果对于区间如果对于区间I上任意两点上任意两点当当 时时,恒有恒有则称函数则称函数f(x)在区间在区间I上是单调增加的上是单调增加的;第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限xyo及及设函数设函数f(x)的定义域

7、为的定义域为D,区间区间则称函数则称函数f(x)在区间在区间I上是单调减少的上是单调减少的;如果对于区间如果对于区间I上任意两点上任意两点当当 时时,恒有恒有第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限四、四、函数的周期性函数的周期性函数函数sinx,cosx的周期是的周期是函数函数tanx的周期是的周期是（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.则称则称f(x)为周期函数为周期函数,l 称为称为f(x)的周期的周期.一一有有且且恒成立恒成立,设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D,如果存在一个正数如果存在一个正数l,使得对于任使得对于任第一讲第一讲

8、 函数与数列的极限函数与数列的极限3 初等函数初等函数一、复合函数一、复合函数定义定义:设函数设函数 的定义域为的定义域为函数函数u=g(x)在在D上有上有定义定义,且且则由下式确定的函数则由下式确定的函数称为由函数称为由函数u=g(x)和函数和函数 构成的复合函数构成的复合函数,它它的定义域为的定义域为D,变量变量u称为中间变量称为中间变量.函数函数g与函数与函数f 构成的复合函数通常记为构成的复合函数通常记为第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限二、基本初等函数二、基本初等函数(1)幂函数幂函数(是常数是常数)第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限(2)指数函数指数函数第一

9、讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限(3)对数函数对数函数第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限(4)三角函数三角函数正弦函数正弦函数第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限余弦函数余弦函数第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限正切函数正切函数第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限(5)反三角函数反三角函数反正弦函数反正弦函数第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限反余弦函数反余弦函数第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限反正切函数反正切函数 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函三角函数和反三角函数统称为数统称为

10、基本初等函数基本初等函数.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限三、初等函数三、初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数数,称为初等函数称为初等函数双曲正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦双曲正切双曲正切第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限4 数列的极限数列的极限一、一、数列极限的概念与性质数列极限的概念与性质2.性质性质 存在性存在性 惟一性惟一性 有界性有界性第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限二、二、数列极限的计算方法数列

11、极限的计算方法1.无穷大分裂法无穷大分裂法分子分母同除以分母的最高次幂分子分母同除以分母的最高次幂分子次数高结果为无穷大（极限不存在）分子次数高结果为无穷大（极限不存在）分母次数高结果为零分母次数高结果为零分子分母次数相同结果为最高次数系数比分子分母次数相同结果为最高次数系数比2.利用等差、等比数列求和公式利用等差、等比数列求和公式第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限3.裂项消项法裂项消项法4.夹逼法夹逼法专门解决和式数列的方法专门解决和式数列的方法第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限课后习题讲解课后习题讲解1.指数运算性质指数运算性质根式与指数式的互化根式与指数式的互化第

12、一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限对数的运算性质对数的运算性质第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限2.7.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限8.9.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限10.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限13.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限14.二倍角公式二倍角公式第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限15.16.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限17.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限20.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限21.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限22.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限23.24.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限选做题选做题1.放大放大第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限缩小缩小第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限2.第一讲第一讲 函数与数列的极限函数与数列的极限