专升本高数第一章极限与连续.ppt

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1、第一章第一章 极限和连续极限和连续（一）（一）数列的极限数列的极限1.1.数列数列单调数列：有界数列：1.1 极限极限2.数列的极限数列的极限如果当n 无限增大时,xn 无限地接近于常数 a,那末称 a 为数列xn的极限。表示 n 很大时，xn 几乎都凝聚在点 a 的近旁。数列极限的几何解释有极限的数列称为收敛数列，反之称为发散数列。()a-n Na+a定理2（有界性）收敛数列必有界()AB(二二)收敛数列的性质收敛数列的性质定理1（唯一性）若数列xn收敛，则其极限值唯一。0a()极限存在准则极限存在准则准则1.单调有界数列必有极限。有界是数列收敛的必要条件，单调有界是数列收敛的充分条件。极限

2、运算法则极限运算法则（三）（三）函数的极限函数的极限 1.1.当当 x 时函数的极限时函数的极限(1)定义 对于函数 f(x)，如果当 x 时，f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数 f(x)当 x 时的极限，记为：(3)定义 对于函数 f(x)，如果当 x-时，f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数 f(x)当 x-时的极限，记为：(2)定义 对于函数 f(x)，如果当 x+时，f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数 f(x)当 x+时的极限，记为：无极限举例：2.当当 x x0 时函数的极限时函数的极限(1)定义 对于函数 f(x)，如果当 x 无限地趋近于 x0 时，函数 f(x)无限地

3、趋近于一个常数A，则称A为函数 f(x)当 x x0时的极限，记为：(3)定义 对于函数 f(x)，如果当 x 从x0右边无限地趋近于 x0 时，函数 f(x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f(x)当 x x0时的右极限，记为：(2)定义 对于函数 f(x)，如果当 x 从x0左边无限地趋近于 x0 时，函数 f(x)无限地趋近于一个常数A，则称A为函数 f(x)当 x x0时的左极限，记为：=1?无极限举例：在讨论分段函数的分割点的极限时，一定要考虑左、右极限。(四四)函数极限的性质函数极限的性质 极限运算法则极限运算法则“0”是作为无穷小的唯一的常数。(五五)无穷小无穷小(量量)和

4、和(无穷大量无穷大量)1.1.无穷小无穷小(量量)定义：极限为零的数列和函数称为无穷小。定义：绝对值无限增大的数列或函数称为无穷大。2.无穷大无穷大 3.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系定理2.设 为无穷小，u 有界，则 u 也是无穷小。推论1.常数乘以无穷小仍是无穷小。推论2.无穷小乘以无穷小仍是无穷小。推论.有限个无穷小的代数和仍为无穷小。有限个无穷小的乘积仍是无穷小。定理1.设 和 为无穷小，则 也是无穷小4.4.无穷小无穷小(量量)的基本性质的基本性质1.1.两个重要极限两个重要极限(六六)两个重要极限两个重要极限两个无穷小的商实际反映了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为此引

5、入定义两个无穷小的代数和、积仍为无穷小，那么两个无穷小的商会是什么呢？2.无穷小的比较无穷小的比较3.无穷小的主部无穷小的主部.等价无穷小的代换定理等价无穷小的代换定理当 x 0 时，常见的等价无穷小 1.2 函数的连续性函数的连续性连续的三个要素：(一一)函数连续的概念函数连续的概念定义1设函数 f(x)在点 x0 的某个邻域内有定义,如果当自变量增量 x 趋于零时，对应的函数增量y=f(x0+x)f(x0)也趋于零，那末称函数 f(x)在 x0 处连续。f(x)在 x0 点处有定义、有极限、极限值等于函数值。1.函数在函数在点 x0 处连续处连续定理1.函数 f(x)在点 x0 处连续的充

6、要条件是：函数 f(x)在点 x0 处既左连续又右连续。左、右连续如果 f(x)在(a,b)内任意一点连续，则称 f(x)在(a,b)上连续，或称 f(x)为(a,b)上的连续函数。如果 f(x)在(a,b)上连续，且在 x=a 处右连续，在 x=b 处左连续，则称 f(x)在 a,b 上连续。2.函数在区间函数在区间a,b 上连续上连续3.函数的间断点函数的间断点间断点的常见类型如果函数 f(x)在 x0 处不 连续(即连续的三个要素中有一个不满足)，那末称 f(x)在 x0 处间断。无穷间断点震荡间断点左、右极限均存在的间断点,称为第一类间断点，其余的间断点,称为第二类间断点。跳跃间断点可

7、去间断点(二二)函数在一点处连续的性质函数在一点处连续的性质定理4.如果函数 y=f(x)在某个区间上严格单调增(或降)且连续，那末它的反函数 x=(y)在对应的区间上也严格单调增(或降)且连续。推论：闭区间上的连续函数是有界函数。定理5.(最大值、最小值定理)(三三)闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。闭区间上连续的函数至少取得最大值，最小值各一次。定理 6.(介值定理)推论(零值定理)如果 f(x)在 a,b 上连续，且 f(a)f(b)0,那末在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f()=0(a b)。闭区间上连续的函数可取得介于最值之间的任意值。