计算机组成原理第2章-运算方法和运算器.ppt

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1、第二章：运算方法和运算器第二章：运算方法和运算器21数据与文字的表示方法数据与文字的表示方法22定点加法、减法运算定点加法、减法运算23定点乘法运算定点乘法运算24定点除法运算定点除法运算25定点运算器的组成定点运算器的组成26浮点运算方法和浮点运算器浮点运算方法和浮点运算器2 21 1 数据与文字的表示方法数据与文字的表示方法一、计算机中常用的数据表示格式：定点格式一、计算机中常用的数据表示格式：定点格式,浮点格式浮点格式.1、定点格式：约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。、定点格式：约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。将数据表示成定点纯小数或定点纯整数。将数据表示成定点纯小

2、数或定点纯整数。假设用一个假设用一个n+1位字来表位字来表示一个定点数示一个定点数X,在定点机中可表示为如下形式：在定点机中可表示为如下形式：X0X1X2.Xn-1Xn符号符号量值（尾数）量值（尾数）如果数如果数X表示的是纯小数表示的是纯小数:0|X|1-2-n如果数如果数X表示的是纯整数表示的是纯整数:0|X|2n-12、浮点表示法，即小数点的位置是浮动的：、浮点表示法，即小数点的位置是浮动的：N=Re.m其中其中m称为浮点数的尾数，用定点小数表示。称为浮点数的尾数，用定点小数表示。e称为浮点的指数，称为浮点的指数，是一个整数，常称为阶码。比例因子的基数是一个整数，常称为阶码。比例因子的基数

3、R对二进计数制的机器对二进计数制的机器是一个常数，一般规定是一个常数，一般规定R为为2，8或或16。因此一个机器浮点数应当由。因此一个机器浮点数应当由阶码和尾数及其符号位组成：阶码和尾数及其符号位组成：阶符阶符阶码阶码数符数符尾数尾数EsE1E2.EmMsM1M2.Mn313023220IEEE标准标准:32位浮点数位浮点数32位浮点数中，位浮点数中，S是浮点数的符号位，占是浮点数的符号位，占1位，安排在最高位，位，安排在最高位，S=0表示正数，表示正数，S=1表示负数。表示负数。M是尾数，放在低位部分，占有是尾数，放在低位部分，占有23位，位，用小数表示，小数点放在尾数域的最前面。用小数表示

4、，小数点放在尾数域的最前面。E是阶码，占有是阶码，占有8位，阶位，阶符采用隐含方式，即采用移码方法来表示正负指数。移码方法对两符采用隐含方式，即采用移码方法来表示正负指数。移码方法对两个指数大小的比较和对阶操作都比较方便，因为阶码域值大者其指个指数大小的比较和对阶操作都比较方便，因为阶码域值大者其指数值也大。采用这种方式时，将浮点数的指数真值数值也大。采用这种方式时，将浮点数的指数真值e变成阶码变成阶码E时，时，应将指数应将指数e加上一个固定的偏移值加上一个固定的偏移值127（01111111），即），即E=e+127。一个规格化的一个规格化的32位浮点数位浮点数x的真值可表示为：的真值可表示

5、为：x=(1)s(1.M)2E127e=E127其中尾数域所表示的值是其中尾数域所表示的值是1.M。因为规格化的浮点数的尾数域最。因为规格化的浮点数的尾数域最左位（最高有效位）总是左位（最高有效位）总是1。故这一位经常不予存储，而认为隐藏。故这一位经常不予存储，而认为隐藏在小数点的左边。在小数点的左边。64位的浮点数中符号位位的浮点数中符号位1位，阶码域位，阶码域11位，尾数域位，尾数域52位，指数偏位，指数偏移值是移值是1023。因此规格化的。因此规格化的64位浮点数位浮点数x的真值为：的真值为：x=(1)s(1.M)2E1023e=E1023SEM例例1若浮点数若浮点数x的二进制存储格式为

6、（的二进制存储格式为（41360000）16，求其，求其32位浮位浮点数的十进制值。点数的十进制值。解：将解：将16进制数展开后，可得二进制数格式为进制数展开后，可得二进制数格式为0100 0001 001101100000000000000000S阶码（阶码（8位）位）尾数（尾数（23位）位）指数指数e=阶码阶码-127=10000010-01111111=00000011=（3）10包括隐藏位包括隐藏位1的尾数的尾数1.M=1.01101100000000000000000=1.011011于是有于是有x=(-1)s*1.M*2e=+(1.011011)*23=+1011.011=(11.

7、375)10例例2将十进制数将十进制数20.59375转换成转换成32位浮点数的二进制格式来存储。位浮点数的二进制格式来存储。解：首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：解：首先分别将整数和分数部分转换成二进制数：20.59375=10100.10011然后移动小数点，使其在第然后移动小数点，使其在第1，2位之间位之间10100.10011=1.010010011*24e=4于是得到：于是得到：S=0,E=4+127=131=10000011,M=010010011最后得到最后得到32位浮点数的二进制存储格式为：位浮点数的二进制存储格式为：010000011010010011000000000

8、00000=（41A4C000）16思考题：思考题：问：问：1、计算机中常用的数据表示格式？、计算机中常用的数据表示格式？2、按照、按照IEEE754标准，标准，32位浮点数的标准格式包含哪几部分？位浮点数的标准格式包含哪几部分？3、对于真值：、对于真值：x=-1.01101102100如何用如何用32位浮点数的标准格位浮点数的标准格式表示？式表示？313023 220SEM数符数符阶码阶码尾数尾数SEM(11110001101101100000000000000000)2=(C1B60000)16答：定点格式答：定点格式,浮点格式浮点格式二、二、数的机器码表示：数的机器码表示：真值：书写用的

9、数，机器码：机器内部使用的数真值：书写用的数，机器码：机器内部使用的数1）原码：原码：比较自然的表示法，最高位表示符号，比较自然的表示法，最高位表示符号，0为正，为正，1为负。为负。优点：简单易懂。缺点：加减法运算复杂。优点：简单易懂。缺点：加减法运算复杂。若定点小数的原码形式为若定点小数的原码形式为x0.x1x2.xn,则原码表示的定义是则原码表示的定义是X原原=X1X0X原原=1-X=1+|X|0X-1式中式中X原原是机器数，是机器数，X是真值。是真值。例如，例如，X=+0.1001,则则X原原=0.1001X=-0.1001,则则X原原=1.1001通常，对于正数通常，对于正数X=+0.

10、x1x2xn,则有则有:X原原=0.x1x2.xn对于负数对于负数X=-0.x1x2xn,则有则有:X原原=1.x1x2.xn对于对于0，原码机器中往往有，原码机器中往往有“+0”、“-0”之分，故有两种形式：之分，故有两种形式：+0原原=0.0000.0-0原原=1.0000.0若定点整数的原码形式为若定点整数的原码形式为x0 x1x2.xn,则原码表示的定义是则原码表示的定义是:X原原=X2nX0X原原=2n-X=2n+|X|0X-2n2）补码：补码：加减法运算方便，减法可以转换为加法。加减法运算方便，减法可以转换为加法。若定点小数的补码形式为若定点小数的补码形式为x0.x1x2.xn,则

11、补码表示的定义是则补码表示的定义是:X补补=X1X0X补补=2+X=2-|X|0X-1（mod2)式中式中X补补为机器数，为机器数，X为真值。为真值。例如，例如，X=+0.1011,则则X补补=0.1011X=-0.1011，则，则X补补=10+X=10.0000-0.1011=1.0101一般情况下，对于正数一般情况下，对于正数X=+0.x1x2.xn,则有则有:X补补=0.x1x2.xn对于负数对于负数X=-0.x1x2.xn,则有则有:X补补=10.00.0-0.x1x2.xn（mod2)对于对于0，在补码情况下，在补码情况下，+0补补=-0补补=0.0000（mod2)注意，注意，0的

12、补码表示只有一种形式。对的补码表示只有一种形式。对2求补电路见图求补电路见图2.6对于定点整数，补码表示的定义是对于定点整数，补码表示的定义是:X补补=X2nX0X补补=2n+1+X=2n+1-|X|0X-2n（mod2n+1）3）反码：反码：将二进制数的各位数码将二进制数的各位数码0变为变为1，1变为变为0。它是为计算补。它是为计算补码方便而引入码方便而引入.对定点小数，反码表示的定义为对定点小数，反码表示的定义为X反反=X1X0X反反=（2-2-n）+X0X-1其中其中n代表数的位数。代表数的位数。一般情况下，对于正数一般情况下，对于正数X=+0.x1x2.xn,则有则有X反反=0.x1x

13、2.xn对于负数对于负数X=-0.x1x2.xn,则有则有X反反=1.x1x2.xn对于对于0，有，有+0反反=-0反反之分：之分：+0反反=0.00.0-0反反=1.11.1我们比较反码与补码的公式我们比较反码与补码的公式X反反=2-2-n+XX补补=2+X可得到可得到X补补=X反反+2-n若要一个负数变补码，其方法是符号位置若要一个负数变补码，其方法是符号位置1，其余各位，其余各位0变变1，1变变0，然后在最末位（，然后在最末位（2-n）上加上加1。对定点整数，反码表示的定义是对定点整数，反码表示的定义是X反反=X2nX0X反反=（2n+1-1）+X0X-2n若要一个负数变补码，只要将符号

14、位置若要一个负数变补码，只要将符号位置1，各位取反，末位加，各位取反，末位加1。4）移码：移码：用于阶码的表示，两个移码容易比较大小，便于对阶。用于阶码的表示，两个移码容易比较大小，便于对阶。由于阶码是个由于阶码是个n位的整数，所以假定定点整数移码形式为位的整数，所以假定定点整数移码形式为x0 x1x2.xn时，移码的定义是：时，移码的定义是：X移移=2n+X，2nX-2n式中式中X移移为机器数，为机器数，X为真值。即将数值向为真值。即将数值向X轴正方向平移轴正方向平移2n若阶码数值部分为若阶码数值部分为5位，以位，以x表示真值，则表示真值，则X移移=25+X，25X-25例如，当正数例如，当

15、正数x=+10101时，时，X移移=1，10101；当负数；当负数x=-10101时，时，X移移=25+X=25-10101=0，01011。移码中的逗号不是小数点，而是。移码中的逗号不是小数点，而是表示左边一位是符号位。显然，移码中符号位表示左边一位是符号位。显然，移码中符号位x0表示的规律与原码、表示的规律与原码、补码、反码相反。补码、反码相反。一、计算：一、计算：1、x=23/128x补补=x原原=2、x=-35/64x补补=x原原=3、x+y=1010 x+y补补=x+y原原=4、x-y=-1101x-y补补=x-y原原=二、设机器字长为二、设机器字长为5位位,采用定点整数表示，采用定

16、点整数表示，x=+110,求求x原原,x补补解：因为解：因为n+1=5，所以，所以n=4，x原原=0，0110 x补补=0，0110 x0 x1x4显然，正数的原码与补码形式相同。显然，正数的原码与补码形式相同。三、设机器字长三、设机器字长8位并用定点整数表示位并用定点整数表示,模为模为28,若若x=-110,求求x原原,x补补。解：因为解：因为n+1=8，所以，所以n=7，x原原=10000110 x补补=M+x=28+（-110）=（100000000）2-110=11111010四、由补码求原码与真值：四、由补码求原码与真值：对于正数，原码与补码相同，其真值在对于正数，原码与补码相同，其

17、真值在略去正号后，形式上与机器数相同；对于负数，保持符号位为略去正号后，形式上与机器数相同；对于负数，保持符号位为1，其余各位变反末位加其余各位变反末位加1，即得到原码表示，将负数原码符号恢复为，即得到原码表示，将负数原码符号恢复为负号，即得到真值表示。负号，即得到真值表示。例：如例：如x补补=00000110，则，则x原原=00000110，x=+110如如x补补=11111010，则，则x原原=10000110，所以，所以x=-110 x原原的具体计算如下：的具体计算如下：x补补=11111010变反变反10000101末位加末位加1+110000110五、补码的性质五、补码的性质：补码的

18、最高位是符号位，在形式上同于原码，补码的最高位是符号位，在形式上同于原码，0表示正，表示正，1表示负。但应注意，原码的符号位是人为地定义表示负。但应注意，原码的符号位是人为地定义0正正1负；负；而补码的符号位是通过模运算得到的，它是数值的一部分，可直接而补码的符号位是通过模运算得到的，它是数值的一部分，可直接参与运算。参与运算。例例3以定点整数为例，用数轴形式说明原码、反码、补码表示范以定点整数为例，用数轴形式说明原码、反码、补码表示范围和可能的数码组合情况。围和可能的数码组合情况。解：原码、反码、补码表示分别示于下图。与原码、反码不同，解：原码、反码、补码表示分别示于下图。与原码、反码不同，

19、在补码表示中在补码表示中“0”只有一种形式，且用补码表示负数时范围可到只有一种形式，且用补码表示负数时范围可到-2n。11.110.0110.000.000.0101.1-(2n-1)-10+1+(2n-1)原码原码10.011.1011.100.000.0101.1-(2n-1)-10+1+(2n-1)反码反码10.010.0111.100.000.0101.1-2n-(2n-1)-10+1+(2n-1)补码补码例例4设机器字长设机器字长16位，定点表示，尾数位，定点表示，尾数15位，数符位，数符1位，问：位，问：（1）定点原码整数表示时，最大正数是多少？最小负数是多少？）定点原码整数表示时

20、，最大正数是多少？最小负数是多少？（2）定点原码小数表示时，最大正数是多少？最小负数是多少？）定点原码小数表示时，最大正数是多少？最小负数是多少？解：（解：（1）定点原码整数表示）定点原码整数表示最大正数值最大正数值=（215-1）10=（+32767）100111111111111111最小负数值最小负数值=-（215-1）10=（-32767）101111111111111111（2）定点原码小数表示）定点原码小数表示最大正数值最大正数值=（1-2-15）10=（+0.111.11）2最小负数值最小负数值=-（1-2-15）10=（-0.111.11）2例例5假设由假设由S，E，M三个域组

21、成的一个三个域组成的一个32位二进制字所表示的非位二进制字所表示的非零规格化浮点数零规格化浮点数x，真值表示为：，真值表示为：x=（-1）s*(1.M)*2E-128问：它所表示的规格化的最大正数、最小正数、最大负数、最小问：它所表示的规格化的最大正数、最小正数、最大负数、最小负数是多少？负数是多少？解：解：（1）最大正数）最大正数01111111111111111111111111111111X=1（1-2-23）*2127（2）最小正数）最小正数00000000000000000000000000000000X=1.0*2-128（3）最小负数）最小负数111111111111111111

22、11111111111111X=-1+（1-2-23）*2127（4）最大负数）最大负数10000000000000000000000000000000X=-1.0*2-1282.1.3字符与字符串的表示方式字符与字符串的表示方式:ASCII码：码：P28表表2.12.1.4汉字的表示方式汉字的表示方式:1）输入码输入码：用于汉字输入。数字编码、拼音码、字形编码。：用于汉字输入。数字编码、拼音码、字形编码。2）内码内码：用于汉字的存储、交换、检索等操作的机内代码，一般：用于汉字的存储、交换、检索等操作的机内代码，一般采用两个字节表示。采用两个字节表示。3）字模码字模码：是用点阵表示的汉字字形代

23、码，它是汉字的输出形式，：是用点阵表示的汉字字形代码，它是汉字的输出形式，用于汉字的显示。用于汉字的显示。2.1.5校验码校验码奇、偶校验码：奇偶校验码是一种开销最小奇、偶校验码：奇偶校验码是一种开销最小，能发现数据代码中一，能发现数据代码中一位出错情况的编码，常用于存储器读写检查，或位出错情况的编码，常用于存储器读写检查，或ASCII字符传送过字符传送过程中的检查。它所约定的编码规律是让整个校验码（包括有效信息程中的检查。它所约定的编码规律是让整个校验码（包括有效信息和校验位）和校验位）“1”的个数为奇数或为偶数。有效信息部分当然既可的个数为奇数或为偶数。有效信息部分当然既可能是奇性也可能是

24、偶性，但可以配上一个为能是奇性也可能是偶性，但可以配上一个为0或为或为1的校验位，使整的校验位，使整个校验码能满足指定的奇偶性要求。个校验码能满足指定的奇偶性要求。由于有效信息的奇偶性只有两种可能：奇偶，所以只需配一由于有效信息的奇偶性只有两种可能：奇偶，所以只需配一位校验位。则奇校验就是使整个奇校验码位校验位。则奇校验就是使整个奇校验码“1”的个数为奇数。偶的个数为奇数。偶校验法就是使整个校验码校验法就是使整个校验码“1”的个数为偶数。的个数为偶数。例例1：有效信息有效信息1011001奇校验码奇校验码10110011偶校验码偶校验码10110010例例2：有效信息有效信息1011011奇校

25、验码奇校验码10110110偶校验码偶校验码10110111译码：当从主存读出某数据时，将整个校验码（连同校验位）译码：当从主存读出某数据时，将整个校验码（连同校验位）一道统计。若一道统计。若“1”的个数仍为偶数就认为该数是正确的，没的个数仍为偶数就认为该数是正确的，没有破坏原来约定的规律。若有破坏原来约定的规律。若“1”的个数为奇数，表明有错，的个数为奇数，表明有错，应停止使用这个数据，或重新读取，看是否属于偶然性错误。应停止使用这个数据，或重新读取，看是否属于偶然性错误。2.22.2定点加法减法运算定点加法减法运算一、补码加法一、补码加法公式公式：X补补+Y补补=X+Y补补（mod2）例例

26、1x=0.1001,y=0.0101,求求x+y解：解：x补补=0.1001y补补=0.0101x补补0.1001+y补补0.0101x+y补补0.1110所以所以x+y=+0.1110例例2x=+0.1011,y=-0.0101,求求x+y。解：解：x补补=0.1011y补补=1.1011x补补0.1011+y补补1.1011x+y补补1 10.0110(在模在模2的意义下相加，有超过的意义下相加，有超过2的的所以所以x+y=+0.0110进位要丢掉）进位要丢掉）二、二、补码减法公式：补码减法公式：x-y补补=x补补-y补补=x补补+-y补补例例3已知已知x1=-0.1110,x2=+0.1

27、101，求，求x1补补-x1补补x2补补-x2补。补。解：解：x1补补=1.0010-x1补补=x1补补+2-4=0.1101+0.0001=0.1110 x2补补=0.1101-x2补补=x2补补+2-4=1.0010+0.0001=1.0011（符号（符号表示对表示对x1补补作包括符号位在内的求反操作）作包括符号位在内的求反操作）例例4x=+0.1101,y=+0.0110,求求x-y。解：解：x补补=0.1101y补补=0.0110-y补补=1.1010 x补补0.1101+-y补补1.1010 x-y补补10.0111所以所以x-y=+0.0111三、三、溢出概念与检测方法溢出概念与检

28、测方法溢出概念：在定点小数机器中，数的表示范围为溢出概念：在定点小数机器中，数的表示范围为|X|1。在运。在运算过程中如出现大于算过程中如出现大于1的现象，称为的现象，称为“溢出溢出”。在定点机中，正常。在定点机中，正常情况下是不允许的。情况下是不允许的。例例5x=+0.1011,y=+0.1001,求求x+y。解：解：x补补=0.1011y补补=0.1001x补补0.1011+y补补0.1001x+y补补1.0100两个正数相加的结果成为负数，这显然是错误的。两个正数相加的结果成为负数，这显然是错误的。例例6x=-0.1101,y=-0.1011,求求x+y。解：解：x补补=1.0011y补

29、补=1.0101x补补1.0011+y补补1.0101x+y补补0.1000两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。两个负数相加的结果成为正数，这同样是错误的。分析分析：发生错误的原因，是因为运算结果产生了溢出。两个正数发生错误的原因，是因为运算结果产生了溢出。两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢。而两个负数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为上溢。而两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为下溢。为了判断为了判断“溢出溢出”是否发生，可采用两种检测方法。是否发生，可采用两种检测方法。第一种方法是：第一种方法是

30、：采用双符号位法，也称为采用双符号位法，也称为“变形补码变形补码”或或“模模4补补码码”,从而可使模从而可使模2补码所能表示的数的范围扩大一倍。补码所能表示的数的范围扩大一倍。数的变形补码定义为：数的变形补码定义为：x补补=x当当2x0 x补补=4+x当当0 x-2或用同余式表示为：或用同余式表示为：x补补=4+x（mod4)下式也同样成立：下式也同样成立：x补补+y补补=x+y补补（mod4)为了得到两数变形补码之和等于两数和的变形补码，同样必须：为了得到两数变形补码之和等于两数和的变形补码，同样必须：（1）两个符号位都看做数码一样参加运算；（）两个符号位都看做数码一样参加运算；（2）两数进

31、行以）两数进行以4为为模的加法，即最高符号位上产生的进位要丢掉。模的加法，即最高符号位上产生的进位要丢掉。采用变形补码后，任何小于采用变形补码后，任何小于1的正数，两个符号位都是（的正数，两个符号位都是（0），即），即00.x1x2.xn;任何大于任何大于-1的负数，两个符号位都是的负数，两个符号位都是“1”，即，即11.x1x2.xn如果两个数相加后，其结果的符号位出现如果两个数相加后，其结果的符号位出现“01”或或“10”两种组合时，表示发生溢出。这是因为两个绝对值小于两种组合时，表示发生溢出。这是因为两个绝对值小于1的的数相加，其结果不会大于或等于数相加，其结果不会大于或等于2，所以最高

32、符号位永远表示结果，所以最高符号位永远表示结果的正确符号。的正确符号。例例7x=+0.1100,y=+0.1000,求求x+y。解：解：x补补=00.1100y补补=00.1000 x补补00.1100+y补补00.100001.1000两个符号位出现两个符号位出现“01”，表示已溢出，即结果大于，表示已溢出，即结果大于+1。例例8x=-0.1100,y=-0.1000,求求x+y。解：解：x补补=11.0100y补补=11.1000 x补补11.0100+y补补11.100010.1100两个符号位出现两个符号位出现“10”，表示已溢出，即结果大于，表示已溢出，即结果大于-1。由此，我们可以

33、得出如下结论：由此，我们可以得出如下结论：（1）当以模）当以模4补码运算，运算结果的二符号位相异时，表示溢补码运算，运算结果的二符号位相异时，表示溢出；相同时，表示未溢出。故溢出逻辑表达式为出；相同时，表示未溢出。故溢出逻辑表达式为V=Sf1异或异或Sf2,其中其中Sf1和和Sf2分别为最高符号位和第二符号位，此逻辑表达式可用异或门分别为最高符号位和第二符号位，此逻辑表达式可用异或门实现。实现。（2）模）模4补码相加的结果，不论溢出与否，最高符号位始终批补码相加的结果，不论溢出与否，最高符号位始终批示正确的符号。示正确的符号。第二种溢出检测方法第二种溢出检测方法:是采用单符号位法。当最高有效位

34、产生进位是采用单符号位法。当最高有效位产生进位而符号位无进位时，产生上溢；当最高有效位无进位而符号位有进而符号位无进位时，产生上溢；当最高有效位无进位而符号位有进位时，产生下溢。故溢出逻辑表达式为位时，产生下溢。故溢出逻辑表达式为V=CfC0,其中其中Cf为符号位为符号位产生的进位，产生的进位，C0为最高有益位产生的进位。此逻辑表达式可用异或为最高有益位产生的进位。此逻辑表达式可用异或门实现。门实现。在定点机中，当运算结果发生溢出时，机器通过逻辑电路自动检在定点机中，当运算结果发生溢出时，机器通过逻辑电路自动检查出这种溢出，并进行中断处理。查出这种溢出，并进行中断处理。四、四、基本的二进制基本

35、的二进制加法减法器加法减法器:一位全加器一位全加器FA电路图电路图一位全加器逻辑方程：一位全加器逻辑方程：Si=AiBiCiCi+1=AiBi+BiCi+CiAi N位行波进位加法减法器位行波进位加法减法器:进位处理方式：串行进位（行波进位）、并行进位进位处理方式：串行进位（行波进位）、并行进位五、五、十进制加法器十进制加法器十进制加法减法器十进制加法减法器见图见图2.3六、定点乘法运算：六、定点乘法运算：设设n位被乘数和乘数用定点小数表示为（定点整数也同样）：位被乘数和乘数用定点小数表示为（定点整数也同样）：被乘数被乘数X原原=Xf.Xn-1X1X0乘数乘数Y原原=Yf.Yn-1Y1Y0乘积

36、乘积Z原原=（XfYf）+（0.Xn-1X1X0)(0.Yn-1Y1Y0)式中，式中，Xf为被乘数符号，为被乘数符号，Y1为乘数符号。为乘数符号。乘积符号的运算法则是：同号相乘为正，异号相乘为负。由于乘积符号的运算法则是：同号相乘为正，异号相乘为负。由于被乘数和乘数的符号组合只有四种情况（被乘数和乘数的符号组合只有四种情况（Xf.Yf=00,01,10，11），），因此积的符号可按因此积的符号可按“异或异或”运算得到。运算得到。例：例：设设X=0.1101，Y=0.1011，让我们先用习惯方法求，让我们先用习惯方法求X与与Y的乘积，其过程如下：的乘积，其过程如下：0.1101(x)0.1011

37、(y)110111010000+11010.10001111(z)定点乘法运算分为定点乘法运算分为：不带符号的阵列乘法、带符号的阵列：不带符号的阵列乘法、带符号的阵列乘法。在进行带符号的阵列乘法前应进行求补运算。乘法。在进行带符号的阵列乘法前应进行求补运算。求补器电路图见求补器电路图见2.6,带求补级的阵列乘法器见图带求补级的阵列乘法器见图2.7七、补码与真值的转换公式：对定点补码整数七、补码与真值的转换公式：对定点补码整数N补补=an-1an-2a1a0,其中其中an-1是符号位，补码整数是符号位，补码整数N补补与真值与真值N的关系为：的关系为：例：已知：例：已知：N补补=（01101）2，

38、-N补补=（10011）2，求，求N补补和和-N补补具有的数值。具有的数值。解：解：N补补=（01101）2具有的数值为：具有的数值为：N=-0*24+1*23+1*22+0*21+1*20=(+13)10-N补补=（10011）2具有的数值为：具有的数值为：-N=-1*24+0*23+0*22+1*21+1*20=-16+3=(-13)10例例设设x=+15，y=-13，用带求补器的原码阵列乘法求出乘积，用带求补器的原码阵列乘法求出乘积x*y=？解：设最高位为符号位，输入数据为原码：解：设最高位为符号位，输入数据为原码：x原原=01111y原原=11101因符号单独考虑，算前求补器输出后，因

39、符号单独考虑，算前求补器输出后，|X|=1111，|y|=110111111101符号位运算：符号位运算：01=1111100001111+111111000011算后求补器输出为算后求补器输出为11000011，加上乘积符号位，加上乘积符号位1，得，得x*y原原=111000011换算成二进制数真值是换算成二进制数真值是X*Y=(-11000011）2=(-195)10十进制乘法验证：十进制乘法验证：15*（-13）=-195例例设设x=15，y=-13，用带求补器的补码阵列乘法器求出乘积，用带求补器的补码阵列乘法器求出乘积x*y=？并？并用十进制乘法进行验证。用十进制乘法进行验证。解：设最

40、高位为符号位，输入数据用补码表示：解：设最高位为符号位，输入数据用补码表示：x补补=01111y补补=10011乘积符号位运算：乘积符号位运算：X0Y0=01=1表示乘积为负的。表示乘积为负的。算前求补器输出为算前求补器输出为|X|=1111，|y|=110111111101111100001111+111111000011因乘积为负的，所以算后求补器输出时，应按负数求补码的变换方法将因乘积为负的，所以算后求补器输出时，应按负数求补码的变换方法将结果变为结果变为11000011补补=00111101，并在最高位加上乘积符号，并在最高位加上乘积符号1，最后，最后得补码的乘积值得补码的乘积值：x*

41、y补补=100111101。利用补码与真值换算公式，补码二进制数真值是：利用补码与真值换算公式，补码二进制数真值是：X*Y=-1*28+1*25+1*24+1*23+1*22+1*20=(-195)10十进制数乘法验证：十进制数乘法验证：X*Y=15*（-13）=-1952.4定点除法定点除法一、原码除法算法原理：两个原码表示的数相除时，商的符号由两一、原码除法算法原理：两个原码表示的数相除时，商的符号由两数的符号按位相加求得，商的数值部分由两数的数值部分相除求得。数的符号按位相加求得，商的数值部分由两数的数值部分相除求得。设有设有n位定点小数位定点小数:被除数被除数x，除数，除数y,其原码为

42、其原码为:X原原=Xf.Xn-1X1X0，y原原=yf.yn-1y1y0则商则商q=x/y，其原码为，其原码为:q原原=（xfyf）+（0.Xn-1X1X0/0.yn-1y1y0)例：例：设被除数设被除数x=0.1001，除数，除数y=0.1011，手算求，手算求xy的过程：的过程：0.1101商商q0.10110.10010 x(r0)被除数小于除数，商被除数小于除数，商0-0.010112-1y除数右移除数右移1位，减除数，商位，减除数，商10.001110r1得余数得余数r1-0.0010112-2y除数右移除数右移1位，减除数，商位，减除数，商10.0000110r2得余数得余数r20

43、.00010112-3y除数右移除数右移1位，不减除数，商位，不减除数，商00.00001100r3得余数得余数r3-0.000010112-4y除数右移除数右移1位，减除数，商位，减除数，商10.00000001r4得余数得余数r4得得xy的商的商q=0.1101，余数为，余数为r=0.00000001.二、并行除法器：也叫不恢复余数阵列除法器，即加减交替法。二、并行除法器：也叫不恢复余数阵列除法器，即加减交替法。在不恢复余数的除法阵列中，当余数为正时（在不恢复余数的除法阵列中，当余数为正时（ri0),商商“1”，下次做减法，下次做减法运算，减法是用运算，减法是用2的补码运算来实现的的补码运

44、算来实现的,此时此时x-y补补=x补补+-y补补;当余数为负时当余数为负时（ri0，表示，表示ExEy，此时，此时，将将Y的尾数向右移位，每右移一位，其阶码加的尾数向右移位，每右移一位，其阶码加1，直到与，直到与X的阶码相的阶码相等为止，右移的位数等于阶码等为止，右移的位数等于阶码E；若；若E0，表示，表示ExEy，则将，则将X的尾数也向右移。尾数右移引起最低有效位的丢失比左移引起最高的尾数也向右移。尾数右移引起最低有效位的丢失比左移引起最高有效位的丢失造成的误差要小。有效位的丢失造成的误差要小。3、尾数求和运算：对阶结束后，即可进行尾数的求和运算。与定、尾数求和运算：对阶结束后，即可进行尾数

45、的求和运算。与定点加减运算完全一样。点加减运算完全一样。4、结果规格化：当尾数求和的结果为、结果规格化：当尾数求和的结果为01.xx或或10.xx，即两，即两符号位不相等，此时将尾数结果右移以实现规格化，简称右规，符号位不相等，此时将尾数结果右移以实现规格化，简称右规，即尾数右移即尾数右移1位，阶码加位，阶码加1。否则进行左规处理，即尾数每左移。否则进行左规处理，即尾数每左移1位，阶码减位，阶码减1，直到尾数的符号和最高有效位具有不同的代码达，直到尾数的符号和最高有效位具有不同的代码达到规格化为止。到规格化为止。5、舍入处理：就近舍入、朝、舍入处理：就近舍入、朝0舍入。舍入。例：设例：设x=2

46、010*0.11011011,y=2100*(-0.10101100)，求，求x+y。解：为便于直观理解，假设两数均以补码表示，解：为便于直观理解，假设两数均以补码表示，阶码采用双符阶码采用双符号位，尾数采用单符号位，则它们的浮点表示分别为号位，尾数采用单符号位，则它们的浮点表示分别为x浮浮=00010，0.11011011y浮浮=00100，1.01010100(1)求阶差并对阶求阶差并对阶E=Ex-Ey=Ex补补+-Ey补补=00010+11100=11110即即E为为-2，x的阶码小，应使的阶码小，应使Mx右移右移2位，位，Ex加加2，x浮浮=00夸夸100，0.00110110(11)

47、其中（其中（11）表示）表示Mx右移右移2位后移出的最低两位数。位后移出的最低两位数。（2）尾数求和）尾数求和0.00110110(11)+1.010101001.10001010(11)(3)规格化处理：规格化处理：尾数运算结果的符号位与最高数值位为同值，应执行左规处理，结尾数运算结果的符号位与最高数值位为同值，应执行左规处理，结果为果为1.00010101(10),阶码为阶码为00011。（4）舍入处理）舍入处理采用采用0舍舍1入法处理，则有入法处理，则有1.00010101+11.00010110(5)判溢出判溢出阶码符号位为阶码符号位为00，不溢出，故得最终结果为，不溢出，故得最终结果

48、为x+y=2011*（-0.11101010)二、浮点乘除法运算：二、浮点乘除法运算：1、运算规则：、运算规则：2、运算步骤：、运算步骤：（1）0操作数检查；（操作数检查；（2）阶码加）阶码加/减操作；减操作；（3）尾数乘）尾数乘/除操作；（除操作；（4）结果规格化及舍入处理。）结果规格化及舍入处理。X移移=2n+x2nx-2nx+y移移=X移移+y补补x-y移移=X移移+-y补补当阶码的结果溢出时，须使用双符号位的阶码加法器，并规定移当阶码的结果溢出时，须使用双符号位的阶码加法器，并规定移码的第二个符号位，即最高符号位恒用码的第二个符号位，即最高符号位恒用0参加加减运算，则溢出条参加加减运算

49、，则溢出条件是结果的最高符号位为件是结果的最高符号位为1。此时，当低位符号位为。此时，当低位符号位为0时，表明结时，表明结果上溢；为果上溢；为1时，表明结果下溢。当最高符号位为时，表明结果下溢。当最高符号位为0时，表明没有时，表明没有溢出；低位符号位为溢出；低位符号位为1，表明结果为正；为，表明结果为正；为0时，表明结果为负。时，表明结果为负。例例26：x=+011,y=+110，求，求x+y移移和和x-y移移，并判断是否溢出。，并判断是否溢出。解：解：X移移=01011，y补补=00110，-y补补=11010，x+y移移=X移移+y补补=10001，结果上溢。，结果上溢。x-y移移=X移移

50、+-y补补=00101，结果正确，为，结果正确，为-3。例例28：设有浮点数：设有浮点数x=2-50.0110011,y=23(-0.1110010),阶码用阶码用4位移位移码表示，尾数（含符号位）用码表示，尾数（含符号位）用8位补码表示，求位补码表示，求xy浮浮。要求用补。要求用补码完成尾数乘法运算，运算结果尾数保留高码完成尾数乘法运算，运算结果尾数保留高8位（含符号位），并位（含符号位），并用尾数低位字长的值处理舍入操作。用尾数低位字长的值处理舍入操作。解：移码采用双符号位，尾数补码采用单符号位，则有解：移码采用双符号位，尾数补码采用单符号位，则有Mx补补=0.0110011,My补补=1