两个随机变量的函数及其分布.ppt

《两个随机变量的函数及其分布.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《两个随机变量的函数及其分布.ppt（21页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 5/15/2023 3.4 两个r.v.的函数及其分布2 5/15/2023 X与Y 独立即连续型对一切 i,j 有离散型X与Y 独立 对任何 x,y 有复 习3 5/15/2023 在第二章中，我们讨论了一维随机变量的函数的分布，现在我们进一步讨论:当随机变量 X,Y 的概率分布已知时，如何求出它们的函数Z=g(X,Y)的分布?其中 是连续函数.4 5/15/2023 当(X,Y)为离散型r.v.时,Z也是离散型的，一、两个离散型r.v.的函数的概率分布例1 设二维r.v.(X,Y)的概率分布为X Y pij-1 1 2-1 0求的概率分布.5 5/15/2023 解：根据(X,Y)的联

2、合分布可得如下表格：P X+Y X-Y X Y Y/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-1 0 1 1 2 0-1 2 1 3 2 1 0-1 0-2 0 1 0-1 0-1/2 06 5/15/2023 故得PX+Y-2-1 0 1 2PX-Y-1 0 1 2 3PX Y-2-1 0 1 PY/X-1-1/2 0 17 5/15/2023 解：依题意 例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为于是的泊松分布.q 设 X B(n1,p),Y B(n2,p),且相互独立，则 X+Y B(n1+n2,p

3、)8 5/15/2023 方法 从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数转化为(X,Y)的事件 二、两个连续型r.v.的函数的概率分布其中问题 已知r.v.(X,Y)的密度函数，g(x,y)为已知的连续函数.求 密度函数.9 5/15/2023 1.和的分布：Z=X+Y 设(X,Y)的联合d.f.为 f(x,y),则 zzx+y=z或或即10 5/15/2023 特别地，若X,Y 相互独立，则或或称之为函数 f X(z)与 f Y(z)的卷积 zzx+y=z11 5/15/2023 解法一 从分布函数出发(必须掌握)x+y=z(1)当z 0 时，1yx1(2)当0 z 1 时，yx11x+y=

4、zzz例3 已知(X,Y)的联合d.f.为Z=X+Y,求 f Z(z)12 5/15/2023 x+y=z(3)当1 z 2 时，z-11yx1zz1yx1x+y=z22(4)当2 z 时，综合上述可得13 5/15/2023 例3 已知(X,Y)的联合d.f.为Z=X+Y,求 f Z(z)解法二（图形定限法）显然X,Y 相互独立,且y1x114 5/15/2023 z1z=xz-1=xx2115 5/15/2023 例4 若X和Y 是两个相互独立的随机变量,具有相同的分布 N(0,1),求 Z=X+Y 的概率密度.解：由卷积公式16 5/15/2023 令 得可见 Z=X+Y 服从正态分布

5、N(0,2).17 5/15/2023 正态随机变量的结论q 若X,Y 相互独立,则q 若相互独立，则有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.18 5/15/2023 2.平方和的分布:Z=X 2+Y 2设(X,Y)的联合 d.f.为 f(x,y)，则19 5/15/2023 例如，X N(0,1),Y N(0,1),X,Y 相互独立，Z=X 2+Y 2,则自由度为2的 2分布称为20 5/15/2023 已知(X,Y)的联合d.f.为f(x,y)，令Z=X/Y,求 f Z(z).3.商的分布：Z=X/Y 21 5/15/2023 小 结熟练掌握两个随机变量的函数的概率分布的求法作业：P96 28、29、30