计算结构力学第二章.ppt

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1、第二章第二章 功能原理功能原理计算结构力学计算结构力学首页首页上页上页返回返回下页下页1、静静力力法法推推导导桁桁式式单单元元的的单单元元刚刚度度矩矩阵阵已已较较为为麻麻烦烦，复复杂杂单元就更为困难只能求助于功能原理。单元就更为困难只能求助于功能原理。2、静静力力法法推推导导结结构构刚刚度度矩矩阵阵也也很很困困难难，由由功功能能原原理理可可推推导导出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。出组装结构刚度矩阵的直接刚度法。3、处理单元荷载。、处理单元荷载。4、由由于于实实际际问问题题的的复复杂杂性性，用用静静力力法法往往往往较较为为困困难难，求求助助于功能原理可以求得各种问题的精确解或近似解。于功能原理可

2、以求得各种问题的精确解或近似解。5、了了解解功功能能原原理理和和力力学学上上的的平平衡衡原原理理(或或变变形形协协调调原原理理)的的等价性。等价性。2-1 2-1 概述概述:学习功能原理的目的学习功能原理的目的一、基本知识一、基本知识首页首页上页上页返回返回下页下页 1、静力加载、静力加载(比例加载比例加载)。2、应应变变能能：弹弹性性体体因因受受外外力力作作用用变变形形而而具具有有恢恢复复原原状状态态的能力，即具有做功的能力，又称为的能力，即具有做功的能力，又称为形变势能形变势能。3、功功能能方方程程(前前提提：静静力力加加载载；无无耗耗散散功功Q=0)：在在微微小小的的t 内内，荷荷载载在

3、在结结构构位位移移上上所所作作的的功功全全部部转转变变为为应应变变能：能：W=U。4、总势能：结构的形变势能、总势能：结构的形变势能+荷载势能荷载势能=U+V二、先修有关概念二、先修有关概念首页首页上页上页返回返回下页下页 1、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的，、虚位移：为约束所允许的，在平衡附近的，可任意虚设的微小位移。所谓可任意虚设的微小位移。所谓虚虚，并非指不存在，并非指不存在，而是指与实际的力态独立无关。而是指与实际的力态独立无关。2、理理想想约约束束：实实际际力力态态的的约约束束力力在在虚虚设设的的位位移移态上所做的功恒等于零的那种约束。态上所做的功恒等于零的那种约束。3、虚功、

4、虚功 W*=F u*(1)虚虚功功并并非非不不存存在在，只只是是强强调调功功的的两两要要素素独独立立无无关。关。2-2 2-2 虚位移原理虚位移原理一、几个概念一、几个概念首页首页上页上页返回返回下页下页4、虚应变能、虚应变能(内力虚功、虚变形能、虚变形功内力虚功、虚变形能、虚变形功)。式中：式中：力：力F所引起的应力所引起的应力(力态力态)；*：虚位移：虚位移u*所引起的虚应变所引起的虚应变(虚设的位虚设的位移态移态)。(2)首页首页上页上页返回返回下页下页虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状虚位移原理的叙述：弹性结构处于平衡状态的必要与充分条件是对于任意微小的态的必要与充分条件是对于任意微

5、小的虚位移，虚位移，外力所作的虚功外力所作的虚功W*等于虚变形功等于虚变形功U*(虚应变虚应变能，内力虚功能，内力虚功)。研究对象：实际的力态。研究对象：实际的力态。虚虚 设：位移态设：位移态(满足变形协调条件满足变形协调条件)。于是，虚功原理可表述为：于是，虚功原理可表述为：体系平衡体系平衡 W*=U*(3)其中其中：在虚设的任一几何可能的位移态上。：在虚设的任一几何可能的位移态上。二、虚位移原理及其证明二、虚位移原理及其证明首页首页上页上页返回返回下页下页证明：证明：以最简单的杆件结构为例，如图：以最简单的杆件结构为例，如图：杆端力：结点对单元的作用力。杆端力：结点对单元的作用力。结点力：

6、杆端对结点的作用力称为结结点力：杆端对结点的作用力称为结点力。点力。杆端力和结点力是作用力和反作用力。杆端力和结点力是作用力和反作用力。对结点对结点1，由平衡条件，由平衡条件X=0:P1-F12=0对结点对结点2，由平衡条件，由平衡条件X=0:P2-F21-F23=0(4)首页首页上页上页返回返回下页下页外力虚功为：外力虚功为：式中：式中：表示微小，表示微小，*表示虚设。表示虚设。虚应变能为：虚应变能为：首页首页上页上页返回返回下页下页注意注意:虽然是就上述特虽然是就上述特殊情况进行的证明，殊情况进行的证明，但可推广到其它的受但可推广到其它的受力状态及由若干个单力状态及由若干个单元所组成的弹性

7、结构。元所组成的弹性结构。首页首页上页上页返回返回下页下页关于虚位移原理的讨论：关于虚位移原理的讨论：1、仍然是一个、仍然是一个(虚功虚功)体系，两个状态；体系，两个状态；2、力力态态静静力力可可能能的的证证明明，建建立立在在位位移移态态(虚虚设设)的几何可能上；的几何可能上；3、若若力力态态转转换换成成位位移移表表达达式式，则则要要求求力力态态变变形协调；形协调；4、力态和虚设的位移态一定是独立无关。、力态和虚设的位移态一定是独立无关。首页首页上页上页返回返回下页下页2-3 虚应变能与外力虚功虚应变能与外力虚功利用虚位移原理于具体问题时，必须利用虚位移原理于具体问题时，必须列出虚应变能列出虚

8、应变能U*和各种荷载的外虚功和各种荷载的外虚功W*，本节以平面杆系为例，具体介绍，本节以平面杆系为例，具体介绍虚位移、虚位移、虚应变、虚应变能、外力虚功虚应变、虚应变能、外力虚功的概念及表的概念及表达式。达式。一、虚应变能一、虚应变能首页首页上页上页返回返回下页下页这这里里，“*”表表示示“虚虚设设”，为为一一阶阶变变分分算算子子，“”与与“d”的的运运算算规规律律相相同同，意意义义类类似似，亦亦可可看看成成是是“微小微小”。3 3、虚应变能、虚应变能(内力虚功内力虚功)1 1、虚位移、虚位移2 2、虚应变、虚应变忽略剪切应变忽略剪切应变(5)(6)首页首页上页上页返回返回下页下页1）、轴向拉

9、压）、轴向拉压实实际际的的力力态态x；虚虚设设的的位位移移态态u*，所所引引起起的的虚应变为虚应变为(7)首页首页上页上页返回返回下页下页2）、弯曲）、弯曲实际的力态实际的力态Mz；虚设的位移态；虚设的位移态则则(8)首页首页上页上页返回返回下页下页对于三维应力状态。设实际的力态为：对于三维应力状态。设实际的力态为：虚设的位移态为：虚设的位移态为：则虚应变能为则虚应变能为:对于仅考虑拉压、弯曲的杆件，由小变形假设，对于仅考虑拉压、弯曲的杆件，由小变形假设，故可分开表示为：故可分开表示为：(9)首页首页上页上页返回返回下页下页与前述单独变形的结果一致。与前述单独变形的结果一致。首页首页上页上页返

10、回返回下页下页1、集中荷载情况、集中荷载情况实际的力态实际的力态Pi虚设的位移态虚设的位移态 则则2、分布荷载情况、分布荷载情况实际的力态实际的力态q(x)虚设的位移态虚设的位移态则则3、既有、既有1又有又有2的情况，则的情况，则W*为为1与与2之和。之和。(10)(11)二、外力虚功二、外力虚功首页首页上页上页返回返回下页下页2-4 虚位移原理的应用虚位移原理的应用应熟练了解运用虚位移原理的前提条件。应熟练了解运用虚位移原理的前提条件。虚虚位位移移原原理理的的研研究究对对象象是是实实际际的的力力态态，实实际际力力态态的的平平衡衡关关系系以以及及实实际际力力态态中中力力与与位位移移之之间间的的

11、关关系系。为为此此，需需任任意意虚虚设设一一位位移移态态，此位移态一定要几何可能。此位移态一定要几何可能。首页首页上页上页返回返回下页下页杆件位移态的几何可能条件杆件位移态的几何可能条件首页首页上页上页返回返回下页下页主要应用：主要应用：1、推推导导各各类类单单元元的的刚刚度度矩矩阵阵，将将在在后后面面章章节节重点介绍；重点介绍；2、求求结结构构内内力力与与位位移移，注注意意方方法法过过程程，详详请请参参考考结结构构力力学学教教程程，运运用用中中应应特特别别注注意意u*、v*为为任任意意虚虚设设的的位位移移，u、v为为实实际际的的位位移移，两两种种位位移应独立无关。移应独立无关。首页首页上页上

12、页返回返回下页下页式式中中h2i称称为为转转移移系系数数，具具体体可可求求出出。现现求求：仅仅当当发发生生变变形形e2时时，求求相相应应的的i(如图如图)。为为此此，可可虚虚设设此此位位移移态态，则则力力态态的的外外力力在在此此位位移态上的外力虚功为：移态上的外力虚功为：W*=Pii虚位移原理应用举例虚位移原理应用举例设设仅仅有有Pi=1时时，在在单单元元中中引引起起的的内内力力的的h2i；则则由由于为线性结构，当为于为线性结构，当为Pi时，时，中内力为中内力为 F2=h2iPi (12)nn1i+1首页首页上页上页返回返回下页下页虚变形功为：虚变形功为：U*=F2e2=h2iPie2由虚位移

13、原理由虚位移原理 W*=U*便有便有 Pii=h2iPie2最后得最后得 i=h2ie2(13)这就是应用虚位移原理的实例。这就是应用虚位移原理的实例。首页首页上页上页返回返回下页下页即即当当单单元元有有单单位位变变形形时时，未未知知量量i方方向向上上的的位位移移亦亦为为h2i，因因此此可可说说系系数数h2i是是把把Pi“转转移移”为为中中内内力力F2的的系系数数，或或者者说说是是把把单单元元的的变变形形“转转移移”为为i方方向向位位移移的的系系数数。这这是是很很重重要要的的概概念念(逆逆步步变变换换的的概概念念)，反反映映了了结结构本身的属性。构本身的属性。首页首页上页上页返回返回下页下页力

14、力和和位位移移、应应力力和和应应变变均均称称为为结结构构分分析析中中的的对对偶偶参参数数，本本节节主主要要完完善善虚虚功功的的对对偶偶性性原理原理。介绍虚力原理的目的：介绍虚力原理的目的：导导出出柔柔度度矩矩阵阵，作作为为在在特特殊殊情情况况下下推推导导刚度矩阵的补充，其它应用情况暂略。刚度矩阵的补充，其它应用情况暂略。研究对象：实际的位移态。研究对象：实际的位移态。虚设状态：任一静力可能的力态。虚设状态：任一静力可能的力态。2-5 2-5 虚力原理简介虚力原理简介首页首页上页上页返回返回下页下页与外力虚功对应的是虚余功：与外力虚功对应的是虚余功：(1)与虚应变能对应的是虚应变余能：与虚应变能

15、对应的是虚应变余能：(2)首页首页上页上页返回返回下页下页弹性结构处于变形协调状态的必要与弹性结构处于变形协调状态的必要与充分条件是：对于平衡的任意虚力系在结充分条件是：对于平衡的任意虚力系在结构实际位移上所作的虚余功等其虚应变余构实际位移上所作的虚余功等其虚应变余能。即：能。即：(3)其中其中：在任一静力可能的虚力态上。：在任一静力可能的虚力态上。虚力原理虚力原理首页首页上页上页返回返回下页下页 2-6 2-6 能量原理能量原理介介绍绍结结构构在在外外力力和和在在该该外外力力所所引引起起的的位位移及变形上的功能情况。移及变形上的功能情况。主主要要内内容容包包括括：结结构构总总势势能能，势势能

16、能驻驻值值原原理理和势能极小原理。和势能极小原理。1、结构总势能的定义、结构总势能的定义以杆件为例以杆件为例=U+V=U-W(1)首页首页上页上页返回返回下页下页可可知知W是是位位移移的的二二次次函函数数；由由于于应应变变和和位位移移是线性关系，故是线性关系，故U亦是位移的二次函数。亦是位移的二次函数。（2）（3）（4）首页首页上页上页返回返回下页下页首页首页上页上页返回返回下页下页3、势能极小原理、势能极小原理 即即：对对于于稳稳定定平平衡衡，真真实实位位移移总总是是使使取取极极小小值值。(证证明明参见结构力学教程参见结构力学教程)首页首页上页上页返回返回下页下页首页首页上页上页返回返回下页

17、下页首页首页上页上页返回返回下页下页2-7 2-7 互等定理互等定理1、功的互等定理、功的互等定理 当结构处于线弹性状态时，力当结构处于线弹性状态时，力P1在由在由P2所引起的位移上所作的虚功等于力所引起的位移上所作的虚功等于力P2在由力在由力P1所引起的位移上所作的虚功，即所引起的位移上所作的虚功，即P1T2=P2T1(1)首页首页上页上页返回返回下页下页首页首页上页上页返回返回下页下页在单个力的作用下，功的互等定理可表为在单个力的作用下，功的互等定理可表为P112=P221（4）首页首页上页上页返回返回下页下页求求。解：由功的互等定理：解：由功的互等定理：例：已知例：已知首页首页上页上页返回返回下页下页3.反力互等定理：反力互等定理：由功的互等定理亦可得到由功的互等定理亦可得到r12=r21或或k12=k21上式中上式中rij为反力影响系数，为反力影响系数，kij为刚度系数。为刚度系数。首页首页上页上页返回返回下页下页例例2：已知：已知=1时时M=6i/l，求，求=1时时Q=？解：令侧移为解：令侧移为1(序号序号)，转角为，转角为2(序号序号)，则，则M=K21=6i/l由反力互等定理可知由反力互等定理可知Q=K12=6i/l=1M=6=Kil21=1Q=6=Kli12