函数及基本初等函数4.函数的奇偶性与周期性.ppt

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1、注：若注：若函数函数 f(x)不具有上述性质不具有上述性质,则则称称 f(x)不具有奇偶性不具有奇偶性;若若函数同时具有上述两条性质函数同时具有上述两条性质,则则 f(x)既是奇函数既是奇函数,又是偶函数又是偶函数.例例:函数函数 f(x)=0(xD,D关于原点对称关于原点对称)是是既奇又偶函数既奇又偶函数.相同相同 相反相反 奇函数奇函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数（3）奇函数奇函数:f(0)=0(0 在定义域中在定义域中)偶函数偶函数:f(x)=f(|x|)3 3、函数奇偶性的判定方法函数奇偶性的判定方法 （1）.根据定义判定根据定义判定:首首先先看看函函数数的的定定义义域域是是否否关关于

2、于原原点点对对称称,若若不不对对称称,则则函函数是非奇非偶函数数是非奇非偶函数;若对称若对称,再判定再判定 f(-x)=f(x)或或 f(-x)=-f(x).（2）.利用定理利用定理,借助函数的借助函数的图图象判定象判定:（3）.性质法判定性质法判定:在公共定义域内在公共定义域内,两奇函数之积两奇函数之积(商商)为偶函数为偶函数;两偶函数之积两偶函数之积(商商)也为偶函数也为偶函数;一奇一偶函数之积一奇一偶函数之积(商商)为奇函数为奇函数.(注意取商时分母不为零注意取商时分母不为零!)!)有时判定有时判定 f(-x)=f(x)比较困难比较困难,可考虑判定可考虑判定 f(-x)f(x)=0或判定

3、或判定 =1.f(x)f(-x)4.一些重要一些重要类类型的奇偶函数型的奇偶函数 函数函数f(x)axax(a0且且a1)为为_函数，函函数，函数数f(x)axax(a0且且a1)为为_函数；函数；函数函数f(x)loga (a0，且，且a1)为为奇函数；奇函数；f(x)loga(x )(a0，且，且a1)为为奇函数奇函数偶偶奇奇例例2 思路思路分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或或x0来寻找等式来寻找等式f(x)f(x)或或f(x)f(x)成立，只成立，只有当对称

4、的两个区间上满足相同关系时，分段函数才有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的单调性。具有确定的单调性。例例32010保定模保定模拟拟 已知函数已知函数yf(x)是定是定义义在在R上的不恒上的不恒为为零的函数，且零的函数，且对对于任意于任意x1，x2R，都有，都有f(x1x2)x1f(x2)x2f(x1)，则对则对函函数数f(x)，下列判断正确的是，下列判断正确的是()A f(x)为为奇函数奇函数B f(x)为为偶函数偶函数C f(x)为为非奇非偶函数非奇非偶函数D f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数B题型二题型二 函数奇偶性的性质及其应用函数奇偶性的性质及其应用

5、2.2010江江苏苏卷卷 设设函数函数f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，是偶函数，则实则实数数a_.思路思路 利用奇偶函数的性利用奇偶函数的性质质，得到参数，得到参数a满满足的方程足的方程 1 解析解析 本本题题考考查查函数的基本性函数的基本性质质中的奇偶性，中的奇偶性，该该知知识识点在高考考点在高考考纲纲中中为为B级级要求要求设设g(x)exaex，xR，由，由题题意分析意分析g(x)应为应为奇函数奇函数(奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数偶函数)，xR，g(0)0，则则1a0，所以，所以a1.D f(xT)f(x)周期性周期性 (1)定定义义：如果存在一个非零常数：如果存在一个非零常数

6、T，使得，使得对对于函于函数定数定义义域内的任意域内的任意x，都有，都有_，则则称称f(x)为为周期函数，其中周期函数，其中T称称为为f(x)的周期若的周期若T中存在一中存在一个最小的正数，个最小的正数，则则称它称它为为f(x)的的_ (2)性性质质：f(xT)f(x)常常写作常常写作f f ；f(x)的周期的周期为为T，则则函数函数f(wx)(w0)也是周期函数，也是周期函数，且周期且周期为为_最小正周期最小正周期B练练3.3.定定义义在在R R上上的的函函数数y yf f(x x)满满足足f f(x x)f f(x x)，f f(1(1x x)f f(1(1x x)，当当 x x1,11,

7、1时时，f f(x x)x x3 3，则则f f(2 009)2 009)的值是的值是()A A1 1 B B0 0 C.1 D C.1 D2 2 解解析析：由由已已知知条条件件f(4x)f1(3x)f(2x)f(2x)f1(1x)f(x)f(x)，则则函函数数yf(x)是是周周期期为为4的的周周期函数期函数f(2009)f(2009)f(45021)f(1)1.答案：答案：A已知已知f(x)是定义在是定义在R上的函数，且满足上的函数，且满足f(x)f(x1)1，当，当x0,1时，有时，有f(x)x2，现有三个命题：，现有三个命题：f(x)是以是以2为周期的函数；为周期的函数；当当x1,2时，时，f(x)x22x；f(x)是偶函数是偶函数其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_解析：解析：正确正确f(x)f(x1)1，(1)f(x1)f(x)1.(2)(2)(1)得得f(x1)f(x1)0，f(x1)f(x1)，则则f(x2)f(x)，f(x)是以是以2为周期的函数为周期的函数正确当正确当x1,2时，时，x10,1，f(x)1f(x1)1(x1)22xx2(x0,1时，时，f(x)x2)错误当错误当x1,0时，时，x10,1f(x)1f(x1)1(x1)2，f(x)x22x，又又x0,1，f(x)(x)2x2，f(x)f(x)，f(x)不是偶函数不是偶函数答案：答案：