同济高数第4章课件第二节.ppt

《同济高数第4章课件第二节.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济高数第4章课件第二节.ppt（43页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、问题问题一、第一类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法第二节第二节 换元法积分法换元法积分法第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）定理定理1 1 设设 f(u)具有原函数，具有原函数，可导，可导，则有换元公式则有换元公式 此公式可按下列步骤使用此公式可按下列步骤使用:凑微分凑微分换元换元凑微分凑微分换元换元积分积分例例1 1 求求解解（一）（一）解解（二）（二）解解（三）（三）例例2 2 求求解解常用的凑微分公式常用的凑微分公式:一般地一般地例例3 求求解解例例4 4 求求例例5 5 求求解解例例6 6 求求解解例例7 7 求求原式原式例例8 8 求求解解另解另解练

2、习练习 求不定积分求不定积分例例9 9 求求解解特殊类型的三角函数的积分特殊类型的三角函数的积分说明说明正奇次项去凑微分正奇次项去凑微分.例例10 求不定积分求不定积分说明说明正偶数，则先用半角公式降低被积函数的次数，正偶数，则先用半角公式降低被积函数的次数，然后积分。然后积分。例例11 求求说明说明例例1212 求求解解说明说明 当被积函数是当被积函数是 时，利用积时，利用积化和差公式拆开后积分化和差公式拆开后积分练习练习求不定积分求不定积分另解另解例例1313 求求解解（一）（一）解解（二）（二）（三）（三）类似地可推出类似地可推出例例1414 求求解解思考题思考题求积分求积分求求解解(1

3、)解解例例1515 设设 求求 .令令二、第二类换元法二、第二类换元法定理定理2 2是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数，具有原函数，具有原函数，则有换元公式则有换元公式证证求微分求微分换元换元积分积分例例3 3 求求解解 令令例例4 4 求求解解 令令例例5 5 求求解解 令令说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令说明说明(2)(2)积分中为了化掉根式除采用三角代积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用换外还可用双

4、曲代换双曲代换.也可以化掉根式也可以化掉根式 积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定根据被积函数的情况来定.说明说明(3)(3)例例6 6 求求（三角代换很繁琐）（三角代换很繁琐）令令解解例例7 7 求求解解 令令说明说明(4)(4)当分母的阶较高时当分母的阶较高时,可采用可采用倒代换倒代换例例8 8 求求令令解解例例9 9 求求解解令令（分母的阶较高）（分母的阶较高）说明说明(5)(5)当被积函数含有根式当被积函数含有根式 时，可采时，可采用令用令 （其中（其中n为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数）例例1010 求求解解令令基基本本积积分分表表