多维随机变量的特征值.ppt

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1、多维随机变量的特征值数学期望、方差协方差、相关系数数学期望若若(X,Y)PX=xi,Y=yj,=pij,i,j=1,2,则则Z=g(X，Y)的期望的期望解解:例2 随机变量X和Y相互独立，联合密度函数为 求Z=X+Y的数学期望解：联合密度函数为练习：181页 6、81.E(c)=c,c为常数为常数;2、E(cX)=cE(X),c为为常数常数;数学期望的性质数学期望的性质3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);5、随机变量X和Y相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y)推广推广 E(A+B+Z)=E(A)+E(B)+E(Z);和的期望等于期望的和若E(X),E(X2)存在，则 EX-E(X)2 记

2、为D(X),或Var(X).重要性质重要性质 Var(X)=E(X2)-E(X)2.方差方差的性质方差的性质(2)D(aX)=a2D(X),a为常数；(3)若 X，Y 相互独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);例例3 若若Xb(n,p)二项分布二项分布,求期望和方差求期望和方差解解:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则0-1分布相互独立例4 设随机变量X U(0,6)，Y N(1,3)，ZExp(3),且X，Y，Z相互独立，求随机变量U=X-2Y+3Z的数学期望、方差证明证明:X，Y 相互独立，E(XY)=E(X)E(Y)证明证明:设设(X

3、,Y)f(x,y)X、Y相互独立相互独立证明证明:设设(X,Y)f(x,y)E(X+Y)=E(X)+E(Y)协方差，相关系数一）协方差定义与性质 1.定义定义 若X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在,则称COV(X,Y)=EXE(X)YE(Y).为X与Y的协方差协方差,易见 COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).书：170页例题 设二维变量（X,Y）的联合密度函数为试求：Cov（X,Y）由公式 COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).我们需要求解E(XY)、E(X)、E(Y)COV(aX+bY,cX+dY)=?二）二）.相关系数相关系数 1.定义定义 若X，Y的方差和协方差

4、均存在,且D(X)0,D(Y)0，则称为X与Y的相关系数相关系数.注：注：若记若记称为X和Y的标准化，易知EX*=0，EY*=0.且2.相关系数的性质相关系数的性质 (1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b 使PY=aX+b=1；(3)X与Y不相关 XY=0;例例 设设(X,Y)服从区域服从区域D:0 x1,0yx上的均匀分布上的均匀分布,求求X与与Y的相关系数的相关系数D1x=y解解四四.协方差矩阵协方差矩阵1.定义定义 设X1，,Xn为n个r.v.,记cij=cov(Xi,Xj),i,j=1,2,n.则称由cij组成的矩阵为随机变量 X1，,Xn的协方差矩阵C。即作业：183页1

5、7、19关系图Var(X)=E(X2)-E2(X)COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).Var(X Y)=Var(X)+Var(Y)2COV(X,Y).期望 E(X)方差 EX-E(X)2协方差 COV(X,Y)=EXE(X)YE(Y).相关系数解解1)2)COV(X+Y，Z)=COV(X,Z)+COV(Y,Z);证明：Cov(X+Y,Z)=E(X+Y)Z-E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)-E(X)E(Z)-E(Y)E(Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)COV(X,Y)=E(XY）-E(X)E(Y).D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X,Y).证明：D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2=E X-E(X)+Y-E(Y)2=EX-E(X)2+EY-E(Y)2+E2X-E(X)Y-E(Y)=D(X)+D(Y)+2COV(X,Y).