偏导数及其在经济中的应用.ppt

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1、上一页 目录 下一页 退 出 7.3 偏导数及其在经济中的应用 一.偏导数的定义与计算 定义1 设函数 在点 的某一邻域内有定义，当 y 固定在，而 在 处有改变量 时，相应地，函数有改变量,如果 存在,则称在点 处对有x的偏导数,记为或上一页 目录 下一页 退 出同理,可定义对y 的偏导数还可使用以下记号 上一页 目录 下一页 退 出定义2 如果函数 在区域D 内每一点(x，y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x,y 的函数，称为函数 对x的偏导函数，记作,，即同理，可定义上一页 目录 下一页 退 出例1 求在点 处的偏导数.解所以上一页 目录 下一页 退 出例2 求的偏导数.注意到

2、对y求偏导数的时候,x 始终不变,所以我们可以先把x的值代入,简化运算.解上一页 目录 下一页 退 出例3 求的偏导数.解,例4 求的偏导数.解由对称性可知上一页 目录 下一页 退 出二.偏导数的几何意义偏导数的几何意义可直接由一元函数导数的几何意义得出，由于 就是 在 的导数，而 在几何上可以看作是平 面 截曲面 得到的截线.因此，的几何意义是:截线 在点 的切线 对x轴的斜率，如下图所示.图7-18同理,可得的几何意义.上一页 目录 下一页 退 出三.偏导数与连续性的关系.在一元函数中,我们知道函数可导必连续,那么在二元函数中,偏导数与连续性有什么样的关系呢?例7 考察函数在点(0,0)处

3、的偏导数与连续性.上一页 目录 下一页 退 出解由第二节的例4 我们知道f(x,y)在(0,0)处没有极限,所以不连续.由此我们可知道,偏导数存在并不能推出函数在该点是连续的.上一页 目录 下一页 退 出四.高阶偏导数设函数z=f(x,y)在区域D 内具有偏导数 和，如果这两个函数又存在偏导数，则称之为函数z=f(x,y)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同,共有下列四种不同的二阶偏导数(等号右边为记号):上一页 目录 下一页 退 出其中 与 称为二阶混合偏导数.类似地，可以定义三阶、四阶、n阶偏导数.把二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.例8 设求二阶偏导数.解,.上一页 目录 下一页

4、 退 出定理1 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数及 在区域D 内连续，则在该区域内有.例9 验证函数 满足拉普拉斯方程.上一页 目录 下一页 退 出证 令,则,.于是由函数关于自变量的对称性，可推断上一页 目录 下一页 退 出五.偏导数在经济中的应用 1.边际分析设函数z=f(x,y)在点的偏导数存在，称为函数z=f(x,y)在点 处对x的边际，称 是对x的边际函数.类似地，称 为z=f(x,y)在点 处对y的边际，称 是对y的边际函数.上一页 目录 下一页 退 出边际 的经济含义是:在点 处,当y保持不变而x多生产一个单位,z=f(x,y)近似地改变 个单位.例10 某汽车生产商

5、生产A,B 两种型号的小车，其日产量分别用x,y(单位：百辆)表示，总成本(单位：百万元)为 求当x=5,y=3 时，两种型号的小车的边际成本，并解释其经济含义.上一页 目录 下一页 退 出解 总成本函数的偏导数 当x=5,y=3 时，A 型的小车边际成本为B 型的小车边际成本为其经济含义是：当A 型小车日产量为5 百辆，B 型小车日产量为3 百辆的条件下.上一页 目录 下一页 退 出(1)如果B 型小车日产量不变而A 型小车日产量每增加1 百辆，则总成本大约增加53 百万元；(2)如果A 型小车日产量不变而B 型小车日产量每增加 1 百辆，则总成本大约增加17 百万元.2.偏弹性分析设函数z

6、=f(x,y)在点的偏导数存在，z=f(x,y)对x的偏改变量记为称 的相对改变量 与自变量x的相对改变量之比上一页 目录 下一页 退 出为函数f(x,y)在点 处对x从 到 两点间的弹性.令x0，则式上式的极限称为f(x,y)在点 处对x的偏弹性，记为，即 对x偏导数的经济含义是：在 处，当y不变而x产生1%的改变时，f(x,y)近似地改变%.上一页 目录 下一页 退 出类似地，可定义f(x,y)在点 处对y的偏弹性，记为，即称为f(x,y)分别对x和y的偏弹性函数.上一页 目录 下一页 退 出 需求偏弹性分析设某产品的需求量Q=Q(p,y),其中p 为该产品的价格,y为消费者收入，则称为需

7、求Q 对价格p 的偏弹性.为需求Q 对收入y的偏弹性.上一页 目录 下一页 退 出例11 设某城市计划建设一批经济住房，如果价格(单位：百元/平方米)为p，需求量(单位：百间)为Q，当地居民年均收入(单位：万元)为y，根据分析调研，得到需求函数为求当p=30,y=3 时，需求Q 对价格p 和收入y的偏弹性，并解释其经济含义.解,上一页 目录 下一页 退 出,又因此，需求Q 对价格p 和收入y的偏弹性分别为,其经济含义是：当价格定在每平方米3000 元，人均年收入3 万元的条件下，若价格每平方米提高30 元而人均年收入不变，则需求量将减少9%；若价格不变而人均年收入增加100 元，则需求量将增加

8、9%.上一页 目录 下一页 退 出 交叉弹性分析设有A，B 两种相关的商品，价格分别为 和，消费者对这两种商品的需求量 和 由这两种商品的价格决定，需求函数分别表示为及对需求函数,当 不变时，需求量 对价格 的偏弹性 称为直接价格弹性，即上一页 目录 下一页 退 出对需求函数,当 不变时，需求量 对价格 的偏弹性 称为交叉价格弹性，即需求量 的交叉价格弹性,可用于分析两种商品的相互关系：(1)若 0，则表示当商品A 的价格 不变，而商品B 的价格 上升时，商品A 的需求量将相应地增加.上一页 目录 下一页 退 出(3)若=0，称两商品相互独立.例13 某品牌数码相机的需求量Q，除与自身价格(单位：百元)有关外，还与彩色喷墨打印机的价格(单位：百元)有关，需求函数为求=20,=5 时需求量Q 的直接价格弹性和交叉价格弹性，并说明数码相机和彩色喷墨打印机是相互补充关系还是相互竞争关系？上一页 目录 下一页 退 出解时,故需求量Q 的直接价格弹性为需求量Q 的交叉价格弹性为.上一页 目录 下一页 退 出由 0，故数码相机和彩色喷墨打印机是相互补充关系.