.多边形及其内角和

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1、17 五月 2023.多边形及其内角和多边形及其内角和三角形的定义：三角形的定义：在同一平面内在同一平面内，由不在同一条直线上的三由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。条线段首尾顺次相接所组成的图形。四边形的定义：四边形的定义：在同一平面内在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接所组成的图形。首尾顺次相接所组成的图形。五边形六边形七边形多边形的定义：多边形的定义：在同一平面内在同一平面内，由不在同一条，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的（封闭）图形。所组成的（封闭）图形。多边形按组成它的线段条数

2、分成三角多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形形、四边形、五边形其中三角形是最其中三角形是最简单的多边形。简单的多边形。如果一个多边形由如果一个多边形由n条线段组成，条线段组成，那么这个多边形就叫做那么这个多边形就叫做n边形。边形。注意：注意：n所代表的数字必须是汉字中的所代表的数字必须是汉字中的数字，如三角形，六边形，十边形等等，数字，如三角形，六边形，十边形等等，但当问题问这个多边形有多少条边时，但当问题问这个多边形有多少条边时，我们可以用阿拉伯数字说明这个我们可以用阿拉伯数字说明这个n边形有边形有3条边，条边，4条边等。条边等。根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形

3、的边、顶点、内角、外角边顶点内角外角对角线组成多边形的线段叫做组成多边形的线段叫做多边形的边多边形的边相邻两边的交点叫做相邻两边的交点叫做多边形的顶点多边形的顶点相邻两边的夹角叫做相邻两边的夹角叫做多边形的内角多边形的内角多边形的边与它相邻的延长组多边形的边与它相邻的延长组成的角叫做成的角叫做多边形的外角多边形的外角连接多边形不相邻的两个连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多顶点的线段叫做多边形的边形的对角线对角线三角形有对角线吗？为什么？没有，因为三角形只有三个顶点，而这三个顶点是两两相邻的，它没有不相邻的顶点，所以三角形没有对角线。回想三角形的表示方法，这个多边形应该如何表示？A2首先给每

4、个顶点标上一个大写字母，然后写出这个图形是几边形，最后再以一个字母为起点，沿顺时针或逆时针方向将字母按顺序写出。如四边形ABCD，五边形ABCDE，n边形A1 A2A3A4A5A6An A3 A4 A1 An A6 A5如图所示，观察两个图形，找出相同点和不同点如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形如果整个多边形不在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凹多边形另外，根据多边形的内角和是否大于180，我们也可以区分这两种多边形。而中学阶段我们一般说的多边形都是凸多边形。观察下列图形，它们的边、角有什么特点？它们的边都相等，角也都相等各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正

5、多边形。反过来，由定义可以得，正多边形有什么性质呢？1、填空题、填空题（1）连接多边形（）连接多边形（）的线段，叫做多边形的多角形。）的线段，叫做多边形的多角形。（2）多边形的任何（）多边形的任何（）所在的直线，整个多边形都在这条）所在的直线，整个多边形都在这条直线的（直线的（），这样的多边形叫做凸多边形），这样的多边形叫做凸多边形。（3）各个角（）各个角（），各条边（），各条边（）的多边形，叫做正多边形。）的多边形，叫做正多边形。（4）一个）一个n边形有（边形有（）条边，）条边，（）个顶点，）个顶点，（）个内角，）个内角，（）个外角。）个外角。2、画出下列多边形的全部对角线、画出下列多边形的

6、全部对角线不相邻的两个顶点一条边同一侧都相等都相等nnnn三角形的内角和是180，那么四边形的内角和是多少呢？五边形呢？你是如何得到这个结论的？B ACDE探究探究5 5边形内角和边形内角和=3=3180=540180=540请你利用分割的方法探索五边形的内角是多少？E ABCDO方法方法2180 5 360=540180 5=900？五边形内角和五边形内角和540？把一个五边形分成几个三角把一个五边形分成几个三角形，还有其他的分法吗？形，还有其他的分法吗？ABCDEF180 4 180=540方法方法3选择同一种方法分别求出任意六边形、七边形、八边形的内角和等于多少度？你能写出任意n边形的内

7、角和吗？从五边形的一个顶点出发，可以引（）条对角线，他们将五边形分为多少个三角形，五边形的内角和等于180（）。从六边形的一个顶点出发，可以引（）条对角线，他们将六边形分为多少个三角形，六边形的内角和等于180（）。从七边形的一个顶点出发，可以引（）条对角线，他们将七边形分为多少个三角形，七边形的内角和等于180（）。我们是怎样求多边形内我们是怎样求多边形内 角和的？角和的？B ACDGFE就是从多边形的一个顶就是从多边形的一个顶就是从多边形的一个顶就是从多边形的一个顶点出发，能引几条对角点出发，能引几条对角点出发，能引几条对角点出发，能引几条对角线线线线把一个多边形分成几把一个多边形分成几把

8、一个多边形分成几把一个多边形分成几个三角形。个三角形。个三角形。个三角形。总结：总结：n边形内角和公式边形内角和公式 B ACDGFEn n边形内角和边形内角和=(n=(n2)2)180180三角形三角形三角形三角形六边形六边形六边形六边形四边形四边形四边形四边形八边形八边形八边形八边形.五边形五边形五边形五边形是解决多边形问题的常用辅助线是解决多边形问题的常用辅助线 对角线对角线多边形问题多边形问题 三角形问题三角形问题转化转化（未知）（未知）（已知）（已知）请探索任意一个多边形的内角和与外请探索任意一个多边形的内角和与外角和的规律角和的规律.n边形边形三角形三角形四边形四边形五边形五边形六

9、边形六边形多边形多边形边边数数分成三分成三角形的角形的个数个数图形图形内角和内角和计算规律计算规律三角形三角形四边形四边形五边形五边形六边形六边形七边形七边形n边形边形34567n1n-22345180360540720900(n2)180(n2)1805 1804 1803 1802 1801 180从上表中得到了什么结论？从上表中得到了什么结论？结论：结论：n边形的内角和为：边形的内角和为：（n2）180(n3).n边形共有对角线边形共有对角线 条条(n3)n边形从一个顶点出发的对角线有边形从一个顶点出发的对角线有(n3)条条(n3)练一练练一练:（2 2）已知一个多边形的内角和为）已知一

10、个多边形的内角和为720720o o ，则这个，则这个多边形是多边形是_边形边形6 6 （3 3）在五边形）在五边形ABCDEABCDE中，若中，若A=D=90A=D=90o o,且且 B:C:E=3:2:4,B:C:E=3:2:4,则则CC的度数为的度数为_8080o o（1）求求十边形的内角和的十边形的内角和的度数度数。解：(102)180=8 180=1440答答:十边形的内角和是十边形的内角和是14401440 过多边形一个顶点的所有对角线将这个过多边形一个顶点的所有对角线将这个多边形分成多边形分成3个三角形个三角形,求求:(1)这个多边形的边数这个多边形的边数.(2)这个多边形内角和

11、的度数这个多边形内角和的度数.3 3、填空、填空(求边数求边数)1 1、已已知知一一个个多多边边形形的的内内角角和和为为10801080，则它的边数为。则它的边数为。2 2、已已知知一一个个多多边边形形的的每每一一个个内内角角都都是是156156，则它的边数为。，则它的边数为。815例：例：一个六边形如图，已知一个六边形如图，已知AB DE，BC EF，CD AF，求，求 A C E的度数。的度数。ABCDEF1234解：如图所示，连结解：如图所示，连结AD，AB DE，CD AF（已知）（已知）1 3，2 4（两（两 直线平行，内错角相等）直线平行，内错角相等）1+2 3+4，即即 FAB

12、CDE，同理，同理 B E，C FFAB C E=12 720=360FAB B C CDE E F=（62）180=720 例例1 如如图图，在在五五边边形形的的每每个个顶顶点点处处各各取取一一个个外外角角，这这些些外外角角的的和和叫叫做做五五边边形形的的外外角和五边形的外角和等于多少？角和五边形的外角和等于多少？1.任意一个外角和他相邻任意一个外角和他相邻的内角有什么关系？的内角有什么关系？2.五个外角加上他们分别五个外角加上他们分别相邻的五个内角和是多相邻的五个内角和是多少？少？3.这五个平角和与五边形这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什的内角和、外角和有什么关系？么关系？6E BC

13、D1 2 3 4 5 A从多边形的一个顶点从多边形的一个顶点A A点出发，沿多边形的各边走过各点之后回点出发，沿多边形的各边走过各点之后回到点到点A.A.最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，最后再转回出发时的方向。在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和。就是多边形的外角和。由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转由于在这个运动过程中走了一周，也就是说所转的各个角的和等于一个周角。的各个角的和等于一个周角。即：即：多边形的外角和等于多边形的外角和等于360360多边形多边形多边形多边形图形图形图形图形多边形的外角和多边形的外角和多边形的外角和多边形的外角和三角形三角形三角形

14、三角形四边形四边形四边形四边形五边形五边形五边形五边形六边形六边形六边形六边形n n边形边形边形边形31803180o o-1 1 1 1180180o o=360=360o o41804180o o-2 2 2 2180180o o=360=360o o51805180o o-3 3 3 3180180o o=360=360o o61806180o o-4 4 4 4180180o o=360=360o on180n180o o-(n-2)(n-2)(n-2)(n-2)180180o o=360=360o o多边形的外角和多边形的外角和从上表中得到了什么结论？从上表中得到了什么结论？结论：结

15、论：任何多边形的外角和为任何多边形的外角和为360（1 1）八边形的内角和为）八边形的内角和为_，外角和为，外角和为_10801080 360360o o（2 2）已知一个多边形的每一个外角都是）已知一个多边形的每一个外角都是7272o o，求，求这个边形的边数为这个边形的边数为_5 5ABCDEFFAB+ABC+BCD+CDE DEF AFE=（6-2）180=72012PQR如图所示：可向两个方向分别延长如图所示：可向两个方向分别延长AB，CD，EF三条边，构成三条边，构成 PQR。解：解：DE AB 1=R,同理同理 2=R 1 2，CDE=FAB同理同理 AFE BCD，ABC=DEF

16、FAB BCD DEF=720=360例：例：一个六边形如图，已知一个六边形如图，已知AB DE，BC EF，CD AF，求，求 A C E的度数。的度数。ABCDEF拓展：一个六边形如图，已知拓展：一个六边形如图，已知 BA DE，B=E，C=F（1）求证：）求证：CD AF（2）求）求 A C E的度数的度数1234这节课你学到了什么这节课你学到了什么?还有什么困惑？还有什么困惑？1.“三个一三个一”（一个定义、一个公式和一个性质）（一个定义、一个公式和一个性质）2.一种重要数学思想方法一种重要数学思想方法（转化思想）（转化思想）小结小结:是解决多边形问题的常用辅助线是解决多边形问题的常用辅助线 对角线对角线多边形问题多边形问题 三角形问题三角形问题转化转化（未知）（未知）（已知）（已知）