随机变量离散型随机变量.ppt

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1、第二章 随机变量随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量的概念随机变量的概念 在实际问题中，随机试验的结果可用数量来表在实际问题中，随机试验的结果可用数量来表示，这就产生了随机变量的概念。示，这就产生了随机变量的概念。2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 一方面，有些试验，其结果与数有关一方面，有些试验，其结果与数有关(试验结试验结果就是一个数果就是一个数)；另一方面，有些试验，其结果看起另一方面，有些试验，其结果看起来与数值无关，来与数值无关，但可引进一个变量来表示试验的各但可引进

2、一个变量来表示试验的各种结果。种结果。即即试验结果可以试验结果可以数值化数值化。试验结果与数值有关的例子试验结果与数值有关的例子4.观察一只灯泡的使用寿命；观察一只灯泡的使用寿命；5.测量某零件尺寸时的测量误差，测量某零件尺寸时的测量误差，。1.观察掷一颗骰子出现的点数；观察掷一颗骰子出现的点数；2.连续射击连续射击,直至命中时的射击次数；直至命中时的射击次数；3.某射手连续射击了某射手连续射击了30次次,他他击中目标的次数击中目标的次数；试验结果看起来与数值无关，但可引进一个试验结果看起来与数值无关，但可引进一个 变量来表示试验的各种结果的例子变量来表示试验的各种结果的例子1.在投篮试验中，

3、用在投篮试验中，用0 表示投篮未中，表示投篮未中，1 表示罚表示罚篮命中，篮命中，3 表示三分线外远投命中，表示三分线外远投命中，2 表示三表示三分线内投篮命中，则分线内投篮命中，则随机试验结果可数值化随机试验结果可数值化。2.在掷硬币试验中，用在掷硬币试验中，用1 表示带国徽或人头的一面表示带国徽或人头的一面朝上，朝上，0 表示另一面朝上，则表示另一面朝上，则随机试验的结果也可随机试验的结果也可数值化数值化。这种随机试验结果与数值的对应关系，在数这种随机试验结果与数值的对应关系，在数学上可理解为学上可理解为:.X定义一个实值函数定义一个实值函数 X(),将将 称这种定义在样本空间称这种定义在

4、样本空间上的实值单值函数上的实值单值函数X=X()为为随机变量随机变量.随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值,由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率,因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数,但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而而随机变量是定义在样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的(样本空

5、间的元样本空间的元素不一定是实数素不一定是实数).说明说明:(1)(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同 有了随机变量，随机试验中的各种事件有了随机变量，随机试验中的各种事件都可以通过都可以通过随机变量的关系式随机变量的关系式表达出来。表达出来。如：如：用用 X 表示单位时间内某信号台收到表示单位时间内某信号台收到呼叫的次数，则呼叫的次数，则 X 是一个随机变量。是一个随机变量。事件事件 收到呼叫收到呼叫 X 1；没有收到呼叫没有收到呼叫 X=0。(3)(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系随机变量的取值一般用小写字母随机变量的取值一般用小写字母 x,y,z 等

6、表等表示。示。随机变量通常用英文大写字母随机变量通常用英文大写字母X,Y,Z 或希腊字母或希腊字母，等表示。等表示。随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列个,叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量.观察掷一颗骰子出现的点数观察掷一颗骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是:随机变量随机变量连续型连续型实例实例11,2,3,4,5,6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为“连续射击连续射击,直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”,则则 X 的可能

7、值是的可能值是:实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,随机变量随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”,则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量误差误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为(a,b).实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个或某些区间满某个或某些区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则

8、则 X 的取值范围为的取值范围为 我们重点研究我们重点研究离散型和连续型离散型和连续型随机变量，随机变量，因它们都是随机变量，自然会有许多相同或相因它们都是随机变量，自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方式不同，故又有其各自似之处；但因其取值方式不同，故又有其各自的特点。的特点。学习时要注意它们各自的特点及描述方法。学习时要注意它们各自的特点及描述方法。称为称为X的分布函数的分布函数(1)F(x)是普通函数，定义域是普通函数，定义域0 xxX2.1.2 2.1.2 随机变量的分布函数随机变量的分布函数1.1.定义：定义：注意：注意：值域值域0,1.(2)分布函数的几何意义分布函数的几何意义设

9、设X是一个随机变量，是一个随机变量，x 是任意实数，函数是任意实数，函数 例例.往一个半径为往一个半径为2 2米的圆盘上射击，设击中靶上米的圆盘上射击，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量试求随机变量X的分布函数的分布函数.解解:（1）若若 x 0,则则 是不可能事件，于是是不可能事件，于是（2）X若若0 x 2,由题意，有由题意，有（3）若若 ,则则 是必然事件，于是是必然事件，于是0 1 2 31F(x)x综上，综上，X的分布

10、函数为的分布函数为2.2.分布函数的性质分布函数的性质分布函数都有如下性质：分布函数都有如下性质：(1)F(x)是一个单调不减函数是一个单调不减函数 0 1 2 31F(x)x即即 F(x)是是右连续右连续的的 反之反之,若某个实值函数具有上述性质若某个实值函数具有上述性质,则它一定是某则它一定是某个随机变量的分布函数个随机变量的分布函数 说明：说明：有的课本定义分布函数为有的课本定义分布函数为这时，分布函数左连续。这时，分布函数左连续。设设X是是一一个个离离散散型型随随机机变变量量，其其可可能能取取值为值为 x1,x2,。为描述随机变量为描述随机变量 X，我们不仅要知道其，我们不仅要知道其所

11、有可能的取值，还应知道取各值的概率。所有可能的取值，还应知道取各值的概率。2.2 2.2 离散型随机变量离散型随机变量说明说明 定义定义2.2.1 离散型随机变量分布律的定义及性质离散型随机变量分布律的定义及性质用这两条性质判断用这两条性质判断一个数列是否是概一个数列是否是概率分布。率分布。（概率分布）（概率分布）离散型随机变量的分布律也可表示为离散型随机变量的分布律也可表示为或或解：解：依据概率分布的性质依据概率分布的性质欲使上述数列为概率分布，应有欲使上述数列为概率分布，应有 例例1 1：设随机变量设随机变量 X 的概率分布为的概率分布为确定常数确定常数 a。从中解得从中解得这里用到了幂级

12、数展开式这里用到了幂级数展开式例例2 2：袋子中有依次标有袋子中有依次标有-1-1，2 2，3 3的球的球1 1个、个、2 2个、个、1 1个，从中任取一球，个，从中任取一球，X表示所取球的标号表示所取球的标号,求求X的分的分布律和分布函数，并求：布律和分布函数，并求：Xpk-1 2 3当当x-1 0 是常数，是常数，则称则称 X 服从参数为服从参数为的泊松的泊松分布分布,记作记作 X P()。易见易见例例7：某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数数X服从参数服从参数 =3 的泊松分布。的泊松分布。求：求：(1).一分钟内恰好收到一分钟内恰好收到3 3次寻呼的概

13、率；次寻呼的概率；(2).一分钟内收到一分钟内收到2至至5次寻呼的概率。次寻呼的概率。.解解:(1).PX=3=(33/3!)e-3 0.2240；(2).P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)e-3 0.7169.历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的年由法国数学家泊松引入的。二项分布与泊松分布的关系二项分布与泊松分布的关系 定理定理1(1(泊松定理泊松定理):):对二项分布对二项分布 B(n,p),当当 n充分大充分大,p又又很小时很小时,

14、对任意对任意固定的非负整数固定的非负整数 k，有近似公式，有近似公式例例8：某出租汽车公司共有出租车某出租汽车公司共有出租车400辆，设每天每辆辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为出租车出现故障的概率为0.02，求求:一天内没有出租车一天内没有出租车出现故障的概率。出现故障的概率。解解:将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验验 E。因为每辆车是否出现故障与其它车无关。因为每辆车是否出现故障与其它车无关,于是于是,观察观察400辆出租车是否出现故障就是做辆出租车是否出现故障就是做 400 次贝努利次贝努利试验。设试验。设 X 表示一天内出现故障的出租车

15、数表示一天内出现故障的出租车数,则则 X B(400,0.02)。令令 =np=4000.02=8，于是，于是,P一天内没有出租车出现故障一天内没有出租车出现故障 =PX=0 (80/0!)e-8=0.0003355.P29例例2.15有误有误小结小结 本节首先介本节首先介绍离散型随机变量及其概率绍离散型随机变量及其概率分布；然后介绍三种常见的离散型概率分布：分布；然后介绍三种常见的离散型概率分布：两点分布、二项分布、泊松分布两点分布、二项分布、泊松分布及其关系。及其关系。要求会写一般的离散型随机变量的分布律；要求会写一般的离散型随机变量的分布律；记住三个常用分布、它们之间关系及应用。记住三个常用分布、它们之间关系及应用。预习：预习：2.3连续型随机变量连续型随机变量