第5章 生存年金的计算教学课件保险精算学.pptx

《第5章 生存年金的计算教学课件保险精算学.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第5章 生存年金的计算教学课件保险精算学.pptx（63页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第5章生存年金的计算教学课件保险精算学第五章第五章 生存年金的计算生存年金的计算ACTUARYACTUARY第五章第五章 生存年金的计算生存年金的计算第一节第一节相关概念简介相关概念简介第二节第二节基础生存年金基础生存年金第三节第三节广义年金与变额年金广义年金与变额年金第四节第四节利率与死亡率对年金的影响利率与死亡率对年金的影响生存年金单位生存保险精算现值与终值换算函数终身生存年金 定期生存年金延期给付生存年金递增型 递减型一年多次给付 连续生存年金ACTUARYACTUARYACTUARYACTUARY第一节第一节相关概念简介相关概念简介5.1.1 5.1.1 生存年金及其分类生存年金及其分

2、类1生存年金定义生存年金定义生存年金是指以一定时间间隔为周期，以指定的人生存为给付条件的一系列规律的给付，一旦指定的人死亡，或预先约定的给付期满，就停止给付。与前文利息理论的年金不同，考虑这种给付时，既要考虑利率因素，又要考虑死亡率因素，这就是“精算”一词的意义“精算”就意味着，除了利率以外，还要考虑死亡率等其他因素来综合考虑现金流。2年金合同的相关利益人年金合同的相关利益人作为合同当事人、辅助人的一方，保险人、代理人等这里不赘述，仅考虑年金投保人一方利益相关者。年金投保人，即签定年金合同、缴纳年金保费的人；年金被保险人，即年金合同中约定以其生存为给付条件的被保险对象；年金领取人，即按合同约定

3、条件定期领取年金的人；通常年金领取人就是年金合同的被保险人，但两者也可以不一致；年金受益人，年金合同约定、在年金领取人因故不再领取后，由年金受益人继续按期领取年金或一次领受保险金的人。ACTUARYACTUARY5.1.1 5.1.1 生存年金及其分类生存年金及其分类3生存年金的分类生存年金的分类生存年金的特征可以从不同的角度加以描述，比如，是购买当年即给付还是购买后一段时间才开始给付、每期期初给付还是期末给付、一个周期内给付一次还是多次、是终身给付，还是只保障最多给付若干年，还是保障最少给付若干年、年金保障的人是一人还是多人等等。这些特征可以构成年金的分类标准，从而将年金分成若干种类。（1）

4、期初年金与期末年金。按生存年金在每一个给付周期的给付时刻划分，如果年金是在每一期的期初给付，则称之为期初生存年金；如果生存年金是每一期的期末给付，则称之为期末生存年金。以连续方式给付生存年金，称为连续型生存年金。（2）定期生存年金、终身生存年金、最低保证年金。按照年金给付的期限划分，如果生存年金给付的期限是固定的，则称之为定期生存年金（即约定期限内指定个人生存则给付年金，约定期限内指定个人身故或超出约定期限，均不再给付年金）。ACTUARYACTUARY5.1.1 5.1.1 生存年金及其分类生存年金及其分类如果生存年金的给付是终身的，即以年金被保险人为生存条件，只要年金被保险人生存就一直给付

5、年金直至被保险人去世，称之为终身生存年金。最低保证年金，即约定最少给付的年限或金额，如果在约定的最低保证年限或金额内被保险人去世，则由指定的受益人继续领取年金，直至约定期满或金额领完毕；如果年金领取人在约定期满或领取金额到达约定额度后依然存活，则以被保险人生存为条件，继续领取，此时就与终身年金一样了。（3）即期生存年金与延期生存年金。按年金启动的时间划分，如果生存年金给付即时启动，称为即期生存年金；如果生存年金延期一段时间以后才启动，则称之为延期生存年金。（4）一年给付一次年金与一年给付数次年金。按照年金给付的间隔划分，可以分为一年给付一次与一年给付数次。ACTUARYACTUARY5.1.1

6、 5.1.1 生存年金及其分类生存年金及其分类（5）个人年金、联合年金、最后生存者年金和联合及生存者年金。根据被保险人的人数及领取条件的不同，可将年金分为这四种。个人年金即被保险人只有一人的年金。联合年金是以家庭成员两人或两人以上为被保险人，并以他们的共同生存为给付年金的条件，保险人对被保险人共同生存期间承担按期给付责任、当被保险人中的任一人去世，年金即停止给付的年金。最后生存者年金，是以两个或两个以上被保险人中至少有一人生存作为年金给付条件，且给付金额不发生变化的年金。这种年金的给付一直持续到最后一个被保险人死亡为止。联合及生存者年金是以两个或两个以上被保险人中至少有一个人生存作为年金给付条

7、件而给付金额随被保险人人数减少而进行调整的年金。这种年金的给付一直持续到最后一个被保险人死亡为止，但给付金额根据仍然生存的被保险人的人数进行相应调整。ACTUARYACTUARY5.1.1 5.1.1 生存年金及其分类生存年金及其分类生存年金还有其他不同分类标准，按不同标准，只要能做到不重不漏即可。分类是为了应用，只要能方便投保人能根据自己的需求购买相应年金即可。ACTUARYACTUARY5.1.2 5.1.2 单位生存保险精算现值与终值单位生存保险精算现值与终值1精算现值精算现值生存保险生存保险保险金额为一个单位的生存保险，即现龄x岁的人，如果生存至n年期满到x+n岁，即可获得1单位生存保

8、险金，其精算现值用符号表示，也称为生存保险金的“趸缴纯保费”，记为其现值为记为是。可以理解为，x岁存活的人，每人支付元，即可以让到x+n岁还活着的人每人领取1元生存保险金。如下图所示。ACTUARYACTUARY5.1.2 5.1.2 单位生存保险精算现值与终值单位生存保险精算现值与终值2精算终值精算终值对应于精算现值，记精算终值为，则，即年末的个单位的精算现值为1。同时上式的意思是，岁存活的所有个人每人缴纳1元，这笔资金的本息和累积到年末，累积资金总和正好可以使得年末活着的个人每人获得元。3精算现值递推公式精算现值递推公式ACTUARYACTUARY5.1.2 5.1.2 单位生存保险精算现

9、值与终值单位生存保险精算现值与终值4若干公式若干公式 5不同时间点现值终值的关系不同时间点现值终值的关系下面给出几个公式，请读者自行体会、理解其实际意义。ACTUARYACTUARY5.1.35.1.3换算函数（换算函数（Commutation Commutation functionfunction）为简化运算与推导，同时在计算能力不发达的时候便于相关数据查表获得，精算师们设计了一套通行于各国精算界的换算函数。1.即x岁存活的人每人支出一元共，以这群人出生时为评价点的现值。如图：ACTUARYACTUARY5.1.35.1.3换算函数（换算函数（Commutation Commutation

10、 functionfunction）ACTUARYACTUARY5.1.35.1.3换算函数（换算函数（Commutation Commutation functionfunction）ACTUARYACTUARY5.1.35.1.3换算函数（换算函数（Commutation Commutation functionfunction）4，在x岁至x+1岁之间死亡的人，均于死亡年度的年底获得1元死亡保险金，这些保险金总额以其出生时为评价点的现值5，X岁后死亡的人，均在死亡年度的年底获得1元给付，直到X岁活着的人全部死亡为止的支付总额，以出生时为评价点的现值总和。ACTUARYACTUARY5.1

11、.35.1.3换算函数（换算函数（Commutation Commutation functionfunction）6，X岁后死亡的人，均在死亡年度的年底获得给付，x岁的人在x至x+1岁间死亡的，支付1单位货币，以后每多活过一岁，就增加1单位给付直到X岁活着的人全部死亡为止，这一支付总额以出生时为评价点的现值总和。ACTUARYACTUARY5.1.35.1.3换算函数（换算函数（Commutation Commutation functionfunction）7连续型支付的换算函数上述各换算函数为离散给付型的表达式，如果支付为连续型的，与离散型定义的精神相同，可定义以下函数：笔者认为，上述全

12、套换算函数，产生并适用于计算技术相对不发达、查表获得预先计算好的换算函数值有助于提高计算效率的年代，随着计算技术的发展，这些换算函数已无实际应用意义。但出于对学科历史的了解，以前教学材料写作的便利，这里还是加以简单介绍。ACTUARYACTUARYACTUARYACTUARY第第二二节节基础生存年金基础生存年金5.2.1 5.2.1 终身生存年金终身生存年金自约定日起开始按期给付一定金额，至某一特定时期终值或某一特定个体死亡止，此类年金给付称为生存年金。对照生存保险金是一次折现的情形，生存年金现值是一系列折现总和；生存年金终值则是以年金终止给付时刻为评价时点的积累值的总和。（1）期末终身年金期

13、末终身年金 ，即于每年期末进行支付的年金。1.ACTUARYACTUARY5.2.1 5.2.1 终身生存年金终身生存年金ACTUARYACTUARY5.2.1 5.2.1 终身生存年金终身生存年金ACTUARYACTUARY【例【例5-1】：基于中国人寿保险业经验生命表（2003-2006），以100万人为基数，预定利率为6%。假定每年底给100岁以上的老人10万元，直到他们全部辞世为止。求为获得这些给付，现龄100岁的老人应缴多少保费？解：5.2.1 5.2.1 终身生存年金终身生存年金ACTUARYACTUARY（2）期初付终身年金）期初付终身年金，即于每年期初进行支付的年金。（a）按定

14、义，其现值。其含义可理解为：现年x岁的人每人收取资金，正好与今后每年年初给付生存者每人1元直到人全部死亡为止的支付总额的现值相等。其图示与期末年金图示相似，只是每期支付往前提一期即可。（b）按收入=支出，可证：5.2.1 5.2.1 终身生存年金终身生存年金ACTUARYACTUARY（3）期末付与期初付两者的关系：）期末付与期初付两者的关系：5.2.1 5.2.1 终身生存年金终身生存年金ACTUARYACTUARY【例【例5-2】：基于中国人寿保险业经验生命表（2003-2006），以100万人为基数，预定利率为6%。假定每年底给100岁以上的老人10万元，直到他们全部辞世为止。求为获得这

15、些给付，现龄100岁的老人均应缴多少保费？实际首年度10万元无损支付，只需付8.42万元，与期末付所缴保费一样，因为期末生命表存活人数为零，无须支付，因此两者本质一样。（4）连续型终身年金）连续型终身年金 连续型终身年金现值为：5.2.2 5.2.2 定期生存年金（定期生存年金（Temporary Life AnnuityTemporary Life Annuity）ACTUARYACTUARY即生存年金支付到约定期限终止或者到年金领取者死亡时为止的年金。与终身年金不同，这种年金可计算现值与终值。1.期末付期末付n年定期生存年金年定期生存年金（1）按定义，其现值公式为：，其意义可理解为，现年x

16、岁的人，每人缴费，与今后每年期末给付生存者每人一元，直到x+n年的支付总额的现值。5.2.2 5.2.2 定期生存年金（定期生存年金（Temporary Life AnnuityTemporary Life Annuity）ACTUARYACTUARY（2）期末付n年定期生存年金的终值上式可以下图表示：5.2.2 5.2.2 定期生存年金（定期生存年金（Temporary Life AnnuityTemporary Life Annuity）ACTUARYACTUARY【例【例5-3】：现龄25岁男士要买一份十年期期末付定期生存年金，每期领取一万元，试求趸缴纯保费（即年金现值）？（3）终值与现

17、值的关系）终值与现值的关系：【例【例5-4】：】：接上例，该25岁男士领取的年金，在第十年末的积累值（即年金终值）是多少？解：5.2.2 5.2.2 定期生存年金（定期生存年金（Temporary Life AnnuityTemporary Life Annuity）ACTUARYACTUARY2、期初付期初付n年定期生存年金年定期生存年金（1）现值：意义：由现年x岁的人中筹措资金，以后每年初给付生存者每人1元直到第x+n-1年止。由公式可以分析出终值的含义：现年x岁的人从即刻起，每年初生存的个体每人缴纳1元，其本息累积到第n年末，本息和总额恰好能使n年末仍然存活的人每人获得元（2）终值：5.

18、2.2 5.2.2 定期生存年金（定期生存年金（Temporary Life AnnuityTemporary Life Annuity）ACTUARYACTUARY【例【例5-5】：接上例，年金改成期初付，则其应缴趸缴纯保费是多少？5.2.2 5.2.2 定期生存年金（定期生存年金（Temporary Life AnnuityTemporary Life Annuity）ACTUARYACTUARY3.期末付与期初付两者的关系：期末付与期初付两者的关系：现值终值可视为向前移动1年5.2.2 5.2.2 定期生存年金（定期生存年金（Temporary Life AnnuityTemporary

19、 Life Annuity）ACTUARYACTUARY4连续给付连续给付n年定期生存年金年定期生存年金（1）现值：（2）终值：（3）以连续型为例，一个递推公式：证明：得证。5.2.3 5.2.3 延期给付生存年金（延期给付生存年金（Deferred Life AnnuityDeferred Life Annuity）ACTUARYACTUARY【例【例5-6】某人购买了一份延期期末支付终身生存年金给自己的儿子作为遗产，儿子现龄30岁，约定40岁时开始给付，每年末付10,000元。求该笔遗产现值。2延期延期n年期初终身生存年金年期初终身生存年金10,000现值：其意义可理解为：现龄x岁的人每人

20、缴费元，即可满足n年后每年期初给付生存者每人一元，直到 人全部死亡止的全部所需。5.2.3 5.2.3 延期给付生存年金（延期给付生存年金（Deferred Life AnnuityDeferred Life Annuity）ACTUARYACTUARY【例【例5-7】：接上例，如果遗产改为期初付年金，则其现值是多少？期末付与期初两者的关系如下：5.2.3 5.2.3 延期给付生存年金（延期给付生存年金（Deferred Life AnnuityDeferred Life Annuity）ACTUARYACTUARY3延期延期n年期末终身生存年金年期末终身生存年金（1）现值：（2）可证，证明：

21、或得证。5.2.3 5.2.3 延期给付生存年金（延期给付生存年金（Deferred Life AnnuityDeferred Life Annuity）ACTUARYACTUARY4延期延期n年年m年定期生存年金年定期生存年金（1）期末付延期）期末付延期n年年m年定期生存年金年定期生存年金现值：其意义可理解为：现龄x岁的人，每人缴费元，即可满足n年后开始的每年期末给付）生存者每人一元，直到x+n+m年为止的所有资金需要。5.2.3 5.2.3 延期给付生存年金（延期给付生存年金（Deferred Life AnnuityDeferred Life Annuity）ACTUARYACTUARY

22、【例【例5-8】：现年龄30岁的男性购买一份十年后开始给付的二十年期期末生存年金，每期给付10,000元，求该男性需支付多少钱（即年金现值）。（2）期初付延期）期初付延期n年的年的m年定期生存年金年定期生存年金其意义可理解为：现龄x岁的人每人缴费元，即可满足n年后每年期初给付生存者每人一元，直到x+n+m年为止的所有经费要求。5.2.3 5.2.3 延期给付生存年金（延期给付生存年金（Deferred Life AnnuityDeferred Life Annuity）ACTUARYACTUARY（3）期末付与期初两者的关系）期末付与期初两者的关系：【例【例5-9】：续前例，年金改成期初付，那

23、么现值是多少？5.2.4 5.2.4 年金小结及确定年金与生存年金的比较年金小结及确定年金与生存年金的比较ACTUARYACTUARY年金小结及确定年金与生存年金的比较年金小结及确定年金与生存年金的比较1年金的换算函数公式小结年金种类期初生存年金期末生存年金终身生存年金定期生存年金延期终身生存年金延期定期生存年金5.2.4 5.2.4 年金小结及确定年金与生存年金的比较年金小结及确定年金与生存年金的比较ACTUARYACTUARY2确定年金与生存年金的比较确定年金生存年金年龄.+).ACTUARYACTUARY第三节第三节生存年金的变化形式生存年金的变化形式5.3.15.3.1递增型生存年金递

24、增型生存年金ACTUARYACTUARY递增型生存年金递增型生存年金1含义：生存年金第一期给付1元，第二期给付2元，以此类推逐期递增到给付期结束为止。2基本种类：（1）期末付递增终身生存年金现值计算：5.3.15.3.1递增型生存年金递增型生存年金ACTUARYACTUARY（2）期初付递增终身生存年金 图示与前页图相似，将现金流往前提前一期即可。其现值以表示。5.3.15.3.1递增型生存年金递增型生存年金ACTUARYACTUARY(3)期末付递增n年定期生存年金现值：在每期期末给付递增生存年金，第一期期末给付一元，第二期期末给付二元，如此继续下去，至受领人死亡为止，其现值以表示之。其中5

25、.3.15.3.1递增型生存年金递增型生存年金ACTUARYACTUARY(4)期初付递增n年定期生存年金现值：在每期期初给付递增生存年金，第一期期初给付一元，第二期期初给付二元，如此继续下去，至第n期期初给付n元为止，其现值以表示之。(5)期末付递增n年终身生存年金现值：在每期期末给付递增生存年金，第一期期末给付一元，第二期期末给付二元，如此继续下去，至第n期期末给付n元，自第n+1期改为每期给付n元的终身生存年金，其现值以表示之。5.3.15.3.1递增型生存年金递增型生存年金ACTUARYACTUARY(6)每年给付m次，每年递增一次终身生存年金现值：将每年均分为m个期间，第一年内每期末

26、给付元，第二年内每期末给付元，以此类推，至受领人死亡为止，其现值以表示之。将每年均分为m个期间，第期期末给付元（即），第 期期末给付 元（即），如此继续下去，至受领人死亡为止，其现值以表示之。5.3.15.3.1递增型生存年金递增型生存年金ACTUARYACTUARY(7)每年给付m次，每年递增m次的终身生存年金现值。5.3.2 5.3.2 递减型生存年金递减型生存年金ACTUARYACTUARY1.含义：生存年金的给付第一期给付n元，第二期给付n-1元，如此逐年递减一元，至期满为止。2.基本种类：（1）期末付递减n年定期生存年金现值：在每期期末给付递减生存年金，第一期期末给付n元，第二期期末

27、给付n-1，如此继续下去，至第n期期末给付1元为期满，其现值以表示之。5.3.2 5.3.2 递减型生存年金递减型生存年金ACTUARYACTUARY（2）期初付递减n年定期生存年金现值：在每期期初给付递减生存年金，第一期期初给付n元，第二期期初给付n-1元，如此继续下去，至第n期期初给付1元为期满，其现值以表示之。【例【例5-10】：某人现年30岁，于该岁开始的定期生存年金依次为500元，450元，400元，350元，300元，250元。试计算此年金的现值？5.3.2 5.3.2 递减型生存年金递减型生存年金ACTUARYACTUARY故1995.15（元）5.3.5.3.3 3 一年多次给

28、付生存年金一年多次给付生存年金ACTUARYACTUARY1.一单位货币年付m次期初终身年金现值以表示，则假定死亡均匀分布，由上式可通过插值算法计算而得：，其中实际运用中，5.3.5.3.3 3 一年多次给付生存年金一年多次给付生存年金ACTUARYACTUARY2.一单位货币年付m次期末终身年金现值，以表示。则同上可得4.一元年付m次延期n年期初终身年金现值，以表示。则5.3.5.3.3 3 一年多次给付生存年金一年多次给付生存年金ACTUARYACTUARY5.一元年付m次n年定期期末年金现值，以表示。则6.一元年付m次n年定期期初年金现值，以表示。则7.比较的大小5.3.4 5.3.4

29、连续生存年金连续生存年金ACTUARYACTUARY1连续生存年金概念连续生存年金概念以生存为条件进行连续给付的年金。现实中并不存在这样的年金，即便一年给付多次年金支付间隔缩短至每秒，实际中的支付也是非连续的。当然，当支付间隔足够短比如短至每秒支付一次（假想状态），可以以连续年金加以近似。同时，连续生存连金在精算数理中有比较重要的作用，因此在此对几类连续生存年金作一简介。2终身连续生存年金终身连续生存年金对(x)的1单位元连续终身生存年金，可以有两种思路来计算其现值。一种是先假定年金被保险人于T时刻去世从而停止给付，将T视为一个固定值，求出到T时为止的年金支付现值。当然，这里的T并非固定值，而

30、是一个随机变量，表示现龄x刚的人(x)的余命（剩余寿命）。再求出至T时刻为止年金支付现值关于T的期望值。即：第一步，首先求出至T为止的总支付现值：5.3.4 5.3.4 连续生存年金连续生存年金ACTUARYACTUARY第二步，求关于T的期望：另一种是直接求出t时刻的年金支付的现值，然后对该现值按可能支付的所有时间进行求和即积分其现值为：因此年金精算现值为=5.3.4 5.3.4 连续生存年金连续生存年金ACTUARYACTUARY3定期连续生存年金定期连续生存年金以表示1单位货币n年定期给付连续生存年金的现值，其计算思路与终身年金相同，也可以有两种思路。其给付现值为：=5.3.4 5.3.

31、4 连续生存年金连续生存年金ACTUARYACTUARY4延期连续生存年金延期连续生存年金以表示现龄x岁的人（x）的n年延期每年1单位连续年金的精算现值。则同样以两种计算思路，得=显然，ACTUARYACTUARY第四节第四节利率与死亡率变动利率与死亡率变动对生存年金的影响对生存年金的影响5.4.15.4.1利率变动对生存年金的影响利率变动对生存年金的影响ACTUARYACTUARY利率变动对生存年金的影响利率变动对生存年金的影响1.利率变动的估计可对以利率i微分，计算如下：所以当利率i递减时的值递减。5.4.15.4.1利率变动对生存年金的影响利率变动对生存年金的影响ACTUARYACTUA

32、RY2新利率j的生存年金的值，可通过已知接近的利率i求出来，计算如下：由1可知5.4.25.4.2死亡率变动对生存年金的影响死亡率变动对生存年金的影响ACTUARYACTUARY若年龄x+n那一年的死亡率提高为，则对的影响如下：其中因此，当死亡率由提高为，则降低为5.4.25.4.2死亡率变动对生存年金的影响死亡率变动对生存年金的影响ACTUARYACTUARY【习题与思考】【习题与思考】1.试分别计算出例5-1和例5-2年金的方差？2.现年40岁的人购买一生命年金，此年金的给付方式为若存活，第一年初给付$10，000元，第二年出给付$9,600元，第三年初给付$9,200元，一直递减到$7,

33、200元，然后一直保持每年$7,200元不变，试求其趸缴纯保费？3.试确定延期给付生存年金与及期给付生存年金的现值的关系式，并从投资学的角度阐述其经济意义？4.50岁的人参加保险，每年初如生存则可给付$150,000元，以10年以后若存活则给付$300，000元，若死亡则退回投保人所交的保费（不含利息），求其趸缴纯保费？【关键字】【关键字】换算函数，终身生存年金，定期生存年金，延期给付生存年金，递增型生存年金，递减型生存年金，连续生存年金，单位生存保险精算现值，期末付终身年金，期初付终身年金，期末付n年定期生存年金，期初付n年定期生存年金5.4.25.4.2死亡率变动对生存年金的影响死亡率变动对生存年金的影响ACTUARYACTUARYX30171435 2776045 31161589 2604610 4094597 1444122 4189090 1349525 5.试解释6.下列生存年金给予现年30岁的人，年金是于每月初支付$10,000元，求其年金的现值？A.终身生存年金B.延期十年的终身生存年金C.十年定期生存年金如何给付？试问其在第10年之给付？