2021年上海高考数学冲刺直通车03函数（详解）（教师版）.pdf

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1、考点0 3函数，命 题 趋 势)函数是高考每年的必考内容，函数一直是高考的热点和重点，客观题以考查函数的基本性质为主，解答题常与其他知识结合起来进行考查.，考 点 考 向1一、函数及其性质1 .函数的概念设 A,B是两个非空数集,如果按照确定的法则了,对 A 中的任意数x,都有唯一确定的数y与它对应，那么就称 上 且 为 从集合A到集合B的一个函数，记作y=/(x),x G A.2 .函数的定义域 值域(1)函 数 y=/U)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合=/U),x G A)叫做这个函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相 同,并 且 对应法则完全一致,

2、则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则,这种函数称为分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.5 .函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数y=/U)的定义域为A,区 间 如 果 取 区 间 M 中任意两个值X i，%2，改变量A X=%2 占 0，则当 y=2)/U D 0 时,就 称y=/U 2)/U i)0时，塞函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;当a 0时，幕函数

3、的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.2.二次函数二次函数解析式的三种形式：一般式：依)=/+fe v+c(aW0).顶点式：.*x)=a(x 2尸+”(。#0),顶点坐标为(?，).零点式：_/U)=a(x x i)(x M Xa W O),x,检为/U)的零点.(2)二次函数的图象和性质3.根式n概念：式子、仿叫做根式,其中叫做根指数，。叫做被开方数.n n n（2）性质：（5），=4（。使g 有意义）；当n为奇数时，亚=4,当n为偶数时，亚=同=、一。，。0,加，“C N+,且心1）；0的正分数指数幕等于0；0的负分数指数标幕没有意义.有理指数幕的运算性质：区排=/2；（0

4、殖=f；（）,=这,其 中。0,。0,r,SWQ.5.指数函数及其性质概念：函数y=（a0且aW l）叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.（2）指数函数的图象与性质a0a0 时，yl；当 x0 时，0yl当 xl；当 x0 时，0y。，且aW l）.其中，数里叫做对数的底数，”叫做真数，读 作“。等于以a为底N的对数”.7 .对数的性质、换底公式与运算性质对数的性质：*g d=&；l o g“/=b(a 0,且a W l).对数的运算法则如果。0且a W l,M 0,N0,那么 l o g (M 7 V)=l o g*/+l o g.A f 1 0 g“R=l O g

5、 q M l O g q M l o g,=l o&MS e R)；l o g”?=丁o g“M ,R,且 加W O).换底公式：l e g 世 三 髓(m匕均大于零且不等于1).8 .对数函数及其性质(1)概念：函数y=l o g”x(a 0,且a W l)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+0).(2)对数函数的图象与性质a0 a l 时，y0；当 0 x l 时,y 0；当 0 x 0在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数9 .反函数指数函数y=/3 0,且 a#l)与对数函数以2 g 甚(。0,且。#1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称.1 0 .利

6、用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；（4）列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线.1 1.利用图象变换法作函数的图象平移变换|吃）+|上 个 单 位移M L：单 M 丑）下移A0）个单位I对称变换y=*x）的图象 关于坤I对称一 y=一/U）的图象:y=*x）的图象关于“轴 对 称 y=U x）的图象:y=/U）的图象-关于原点对称-v=一x）的图象；y=（a O,且 a W l）的图象一关于直线了=尤对称 丫=1 0 二 壮（丁 0,且。工1）的图象.（3）伸

7、缩变换纵坐标不变y=/U）-;-y=Aajc）.各点横坐标变为原来的 （。0）倍横坐标不变y =於）-=A/2.各点纵坐标变为原来的A（AO）倍（4）翻折变换x 轴下方部分翻折到上方y=/（x）的 图 象 一 十，=此创的图象；x 轴及上万部分不变y 轴右侧部分翻折到左侧y=/）的图象 七二二八上玷上/向才加 丁=的图象.原y 轴左侧部分去掉，右侧不变三、函数的综合运用1.函数的零点（1）函数零点的概念如果函数y=y（x）在实数a处的值等于雯，即4 a）=0,则a叫做这个函数的零点.（2）函数零点与方程根的关系方程危）=0 有实数根=函数y=於）的图象与小|有交点Q函数y=段）有零点.（3）零

8、点存在性定理如果函数y=/U）在区间口，句上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号,即.血）画 0）的图象与零点的关系3.指数、对数 募函数模型性质比较A=trAacJ0J=0/1)y=logM(。1)尸/(n0)在（0,+）上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随X的增大逐渐表现为与y轴平行随X的增大逐渐表现为与X轴平行随n 值变化而各有不同函数模型函数解析式一次函数模型j(x)=ax+b(a、h 为常数，a#0)二次函数模型jx=ajc+bx+ca,b,c 为常数，aWO)与指数函数相关模型jx=ba+ca,b,c 为常数，a0 且 a#l,b

9、WO)与对数函数相关模型jx)=bo%ax+c(a,b,c 为常数，a 0 且 aWl,0 W0)与暴函数fix)=a+b(a,b,为常数，aWO)一、单选题1.(2020.上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中)下列函数中既是奇函数，又在区间卜1,1 上单调递减 的 是()A./(x)=(g)，B./(x)=l g|x|C.f(x)=-x D./*)=1【答案】C【分析】根据函数的单调性和奇偶性，排除选项得到答案.【详解】A./(%)=(1)非奇非偶函数，排除：B.f(-x)=1g|-x|=1g|x|=f(x),函数为偶函数,排除：C./(-x)=x =/(x),函数为奇函数，且单调递减，

10、正确；D.y(-x)=-=-/(%),函数为奇函数，在 1,0)和(0,1单调递减，排除.X故选：C【点睛】熟悉函数的单调性和奇偶性是解题关键.2.(2020上海高三专题练习)函数/(x)是定义在R上的偶函数，在(-8,0 上是减函数且/(2)=0,则使的x 的取值范围().A.(8,2)B.(2,+c o)C.(o o,2)D(0,2)D.(2,2)【答案】C,x 0 x 0【分析】由函数的单调性和奇偶性可得/。)0 的解，转化条件为 乙、八或 乙、八即可得解.【详解】因为函数/(幻是定义在R上的偶函数，且在(f 0,0 上是减函数，f(2)=o,所以函数f (x)在(),+8)上单调递增，

11、/(-2)=/(2)=0,所以当XG(2,+)(,2)时，f(x)0,当x w(2,2)时，/(x)0,不等式犷。)0或4l/W 0-|x 0 八，解得工 一2或0 cx 0所以使xf(x)。的x的取值范围为(,一2)5。，2).故选：C.3.(2020上海南汇中学高三期中)下列函数中，在其定义域上是减函数的是()1A.y=xB.y =%2+2x x+2,%W 0D.y =0【答案】D【分析】由复合函数单调性的判断，结合指数函数、基函数的单调性可判断A C,结合二次函数的性质可判断B,由一次函数的单调性可判断D.【详解】解：A:因为y 为减函数，所以丁 =一4为增函数；XXB:y=d+2x对称

12、轴为x=-l ,图象开口向上，所以在(1,+幻)上为增函数;C:因为y=在定义域上为减函数，所以y=在定义域上为增函数;D:当x VO时，y=-x+2为减函数，当x 0时，y=一%2为减函数，且2 -2,所以y=-x+2,x 0在定义域上.为减函数.故选:D.4.(2 02 0上海市南洋模范中学高三期中)已知函数/(x)=x2.s i n x各项均不相等的数列%,满足1%区g(i =l,2,3,).令/()=(3+w+L +X)-/(X1)+/(J C2)+L+/(X“)(GN*).给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列 七,使得尸()=0；(2)若数列x的通项公式为x=(-1)n(e

13、N*),则/(2左)0对左wN*恒成立；(3)若数列 玉 是等差数列，则F()N O对 e N*恒成立，其中真命题的序 号 是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)【答案】Djr【分析】由题意，函数/(x)=d.s i n x是奇函数，只需考行函数在x e 0,-的性质，此时y=/，y=s i n x都是增函数，所以/(x)=x2.s i n x在x e上也是增函数，即 石+/。0 时,TT 7T(玉+工2(工1)+/(毛)0，对 于(1),-y X,=f y2%=0，即可判断；对 于(2),运用等比数列求和公式和和三角函数的性质，即可判断；对 于(3),运

14、用等差数列求和公式，及不等式的性质，结合函数/0)的单调性，即可判断；【详解】由题意得/(-%)=(-x)2-s i n(-x)=-x2-s i n x=-/(x),所以/(x)=x Ls i n x是奇函数，只需考查函数在rcTCx e 0,的性质，此时 丁=k，y=s i n x都是增函数，所以/(幻=/小 诂 在x e 0,上也是增函数,冗 冗 兀 冗即函数/(x)=f.s i n x在x e 上也是增函数，设-y,若办+9。,则王(一,./(%)/(9)=/(9),即/(玉)+/(赴)。,则玉 一9,./(%)/(又 2)=/(工2)，即/(石)+/(七)。所以 X I+A2 H o

15、时，(%+2)-/()+/(2)0,JT 7T对 于(I),取 一,4 玉=一七 4 耳，=0 ,F 3)=(玉+刍),()+/(%)+/(七)=0,故(1)正对 于(2),Q x.=(ZEN).X+%2+L+%=2(2 1)又/(w H+A j)/1+s i n l 2；则 y=-4s i n=T s i n 2 a+s i n。=-8 s i n a co s cz+s i n cz=s i n a(l-8 co s a)又女 EN*，知0 a 0,co s W co s avl,则一 7 一，1 2 (3 4)3 4 3 4 4 8乂y=co s x在f 0,工)上单减，.,.co s

16、L co s 2 ,B|J co s -,?.l-8 co s 0I 2 J 4 12 4 8 4.,.s i n a(l-8 co s a)0,即 T s i n g)+s i n(；)0，则)+/(w J 0，由 k 的任意性可知,)+f(x2)+L +f(x2 k)0,又X+%+L+%/(七)+/(工2)+1+./(工2*)0，故(2)正确；对 于(3),数列 x,J是等差数列,若不+X =0,则/()=0：若不+x,0,即七 一天，又八外是奇函数也是增函数有7口0壬门一工小二一/“)，可得/(x,)+/(x)0：同理：若兀2 +当-1。，可得 f(X2)+f U.1)0：若毛+Xn-2

17、 0，可得，+/U,2)0;相加可得：若不+&+L+X“0,可得/(玉)+/(看)+1 +/(%“)0,即E 0;同理若 X+w+L +xn 0,可得/(X 1)+/(%2)+L+/(X)o,故 正确；故选：D.【点睛】关键点睛：本题考查真假命题的判断，关键是要理解新定义的函数的性质及应用，考查了函数的单调性与奇偶性的问题，考查了等差等比数列的性质与应用，考查了学生的逻辑推理能力与运算求解能力,属于难题.5.（2 0 2 0 上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知=-（20）.若 对 于 任 意（2,4）,总存在正数 加，使得/（根）+m）=。成立，则实数2的取值范围是（）A.（0,4 B.（0,

18、4）C.（0,1 6）D.（0,1 6【答案】C【分析】分析函数”X）为奇函数，由/（一 加）+/。+加）=。推导出一病有解，求得加的取值范围，进而可求得正实数2的取值范围.【详解】当2 0 时，函数/（x）=正 W 的定义域为 xx丰0 ，f （X）=三=一 立 2 =二/X），%X X所以，函数/（X）为奇函数./（%）=%-,则函数/（X）在区间（一 8,0）和（0,+8）上均为增函数，c/、八/几 4 4 4 4（X 7 M）若芯 W%2 且，即-=X2-，即玉 工 2=-=-，%x2 Xx%2 xx2所以，4 =一%,对于任意，2,4）,总存在正数2,使得/-加）+，+加）=0成立，

19、则/（，+加）=f（tm）=/（mf）,：,A=（t+m）（m7）=t2 m2 0,/.r G（2,4）,m0,：,m|g(X,)g(X 2)I对任意不相等的实数不、恒成立，且 y=/(x)是 R 上的增函数，则函数y=/(x)+g(x)与函数y=/(x)-g(x)也都是R 上的单调递增函数；(4)若|/(x)4(x)1|凝/长 功 2 对任意Xi,e R 恒成立，且 y=/(x)在 R 上有最大值和最小值,则函数y=g(x)在 R 上也有最大值和最小值；其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【分析】(1)根据已知条件，依据函数的奇偶性，周期性的定义，不难证明4 8 正

20、确；根据函数单调性的定义，结合不等式的性质可以证明C；根据已知条件和/(x)既有最大值又有最小值的定义，利用不等式的基本性质，可以证明g(x)既有最大值又有最小值.【详解】对 于(1),取%=x,%2=-x,则|/(x)+/(x)以 g(x)+g(-y=/(x)是奇函数，/(x)+/(-x)=0,:.0 2|g(x)+g(_ x)|,.*.g(x)+g(x)=0,.g(x)为奇函数；对于(2)设外)的周期为 7(70),取A,=x,/=x+T JliJ|/(x)-f(x +T)|g(x)-(x+T)|,V y=/(x)以7 为周期，；./3 _/(工 +7)=0,.0之年(工)一(_ +7)|

21、,；.g(x)g(x+T)=O,.g a)为以 T 为周期；对 于(3)设内工2，y=/(x)是 R k的增函数，.：/(%)lg(X1)-g(%)|l为/(X)-/(x,)g(X)-g(W)/(W)-/(X)即为/(X)-g(X)/(/)-g(%)，g(X)+/(不)g(W)+/(%,),函数y=f (尤)+g(x)与函数y=f(x)-g(x)也都是R上的单调递增函数；对 于(4)y=/(x)在 R 上有最大值和最小值，存在。力，使得对于任意实数X 恒成立，.I g(x)g(a)1 1 成 立-成 a)1=/(X)-成 a),|g(x)-g(b)凶 f(x)-f(b)=成。)-成 x)即 g

22、(x)g(a)K/(x)-/()，g(x)g(a)2 f(a)/(x)，g(x)-g(b)f(x)-f(b).+得 2g(x)-g(a)-g(b)f(a)-f(b),即 g(x)J-g+g S),由可知函数y=g(x)在R上也有最大值和最小值；综上，真命题的个数为4,故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判定，涉及函数的奇偶性，单调性，周期性，最值，不等式和绝对值不等式,属于难题.关键在于将奇偶性、周期性、单调性和最大值最小值的定义与已知不等式相结合，利用不等式的基本性质进行推导和论证.二、填空题15-|x l|,Ox2.设/(x)在 2-2,2乂eN*)上的最大值记作a“,S”为数列 q 的前

23、项和，则S”的最大值为【答案】64【分析】根据函数的解析式，分别求得4，&，4，得出4 =17 2”，结合等差数列的性质和前篦项和公式，即可求解.【详解】由题意，函数小)=/_2)二2 2 当=1 时，X G 0,2),此时%)=15-,一1|,此时函数/(x)在似2)上 的 最 大 值 为=所以q=15,7.(20 20上海闵行区高三一模)已知定义在 0,+=o)上的函数/(X)满足尤)=当=2时，x e2,4),此时/(x)=/(x-2)-2,此时x 2e0,2),所以/(1)=f(x_2)_2=15_|x_2_l|_2=13_k_3|,此时函数J(x)在2,4)0,2)上的最大值为/(3

24、)=13-|3-3|=1 3,所以4 =13,当 xe2 _2,2)时，/(x)=15-/x-(2n-2)-2(n-l)=15-|x-(2n-2)-l|-2(n-l),此时函数“X)的最大值为/()=17-2,所以q =17 2%当lW W8,eN+时，。“0，当时，an 0,所以S的最大值为58=8 火）=8 x（1；+1）=6 4故答案为：64.【点睛】方法点拨：根据函数的解析式/（%）=15-|x-l|,0 x 2分别求得各段上相应的最大值，得出q=17 2，结合等差数列的求和公式进行计算.8.（20 20上海市三林中学高三期中）若基函数/（此=（加一?+）卜2人,“+7）（加2）是偶函

25、数，则m.【答案】1【分析】由基函数定义求出加值，再代入后判断奇偶性即得.【详解】由/（X）是基函数得m3-m+1 =1 ,解得机=0或加=1,7加=0时，八 幻=产 是奇函数，不合题意.4 6机=7时，幻=必是偶函数，机=1时，/）=必 是偶函数.故答案为：1.9.（20 20上海市三林中学高三期中）函数y=正的定义域是.x-【答案】0,l）U（l,+0八，解得x N 0且1w 1 .工一1工0故函数的定义域为(),l)u(l,+s).故答案为：O,l)u(l,+s)31 0 .(20 20 上海虹口区高三一模)已知数列%满足4 =-2,且 5“=14+(其中5.为数列。”前项和)，/(x)

26、是定义在R上的奇函数，且满足/(2-x)=/(x),则/(%0 2i)=.【答案】0【分析】首先求出函数的周期性，再利用构造法求出数列 ,的通项公式，即可得到&=l3 22i,再根据二项式定理判断3 2叫 被4除的余数，即可计算可得；【详解】解：因为/(x)是定义在R上的奇函数，且满足/(2-x)=/(x)所 以/(x)=/(x+2)=/(x),/(x+4)=-/(x+2)=/(x)所以 x)的最小正周期为4又因为数列 4 满足4=2,且 5“=14+：3当2 时，S“_|=1 a,i+-1 ；3 3减 得%=%5/T+1,所以a“=3 a,i-2,-1 =3(.,-1)所以 6,一1 以 3

27、为首项，3为公比的等比数列，所以4 1 =3 ,即a“=l-3”所以g=1 一3 221又 3 的=(4 叫 曲=4 2必+C*0 21-(-l)-420 20-l所以3 2 2i被4除余3所以/(/必)=川 3 2)=-/(3 2 _ 1)=_/(_ 1-1)=/(2)=0)=0故答案为：0【点睛】本题考查函数的周期性的应用，若存在非零常数T ,若对定义域内任意的x都有/(x+T)=/(1)，则7为函数的周期；1 1 .(20 20.上海高三一模)设/(x)=l g x,则不等式/(,一 1)1 的解集为.X X【答案】f o,1 j【分析】根据初等函数的性质，得到函数f(x)=工-Ig x

28、为单调递减函数，旦/(1)=1,把不等式X/(L-1)1,即可求解.X X【详解】由题意，函数/(x)=L-lg x,X根据初等函数的性质，可得函数f(x)为单调递减函数，R/(l)=l,则不等式/(工-1)在0,解得0 x 01 2.(20 20徐汇区上海中学高三期中)已知函数/(%)=,的 最 小 值 为2相，则实数2 x-m x x 0【答案】T6【分析】根据已知函数解析式，分别讨论加2 0,旭 /(0)=0,无最小值，不满足题意;因为/(x)=0)2 x2-mx(x 2m；当x 0时，f(x)=2 x2-m x是开口向上的二次函数，对称轴为x=,若加0,则 f(x)1 n h i=/m

29、mJ2m，解得m二-1 6或机=0 (舍).综上，m =-16.故答案为：1613.(2020.上海交通大学附属中学浦东实验高中高三期中)偶函数/(x)在 0,”)上单调递增，则满足/(X-1)/(2)的龙的取值范围是.【答案】(-1,3)【分析】因为x-1不一定在单调递增区间 0,48)内，所以不能直接利用函数的单调性解不等式，要先利用偶函数的性质将f(x 1)变成然后再利用函数在 0,48)上的单调性解不等式【详解】因为函数/5)为偶函数，所以/。-1)=/(k一1|),所以不等式/(x-l)2)等价于/(|x-l|)/(2),乂因为函数Ax)在区间 0,中)单调递增，所以|x-1|2,解

30、得-1cx0时，分析出函数g(x)在(a,+)上先递减再递增，记g(x)1 r f l i=g($)，可得出f 4 4人 m a xa+,g(玉)，利用R a +不恒成立判断错误，同理得知当。0,综上所述，对任意的awR,函数y =/(x)+/(x a)都不是奇函数;对于，g(a-x)=f(a-x)+f(-x)=f(x-a)+f(x)=g(x),所以，函数y =/(x)+/.(x-a)关于直线x =|对称.因此，对任意实数a,均存在义：数机，使得函数y =/(x)+/(x-a)关于x =对称，正确;对于，x)=x+1当且仅当x =l时，等号成立,当P.仅当x =a l时，等号成立,所以，g(x

31、)=/(x)+/(x-a)N 4因为。力0，当。=2时，两个等号可以同时成立，所以，k 0,当0 x a时,g(x)=x +a-x +-x a-x此时，函数g(x)在区间(。，3单调递减，在区间(会“上单调递增,w 八 /+4 4当0 x a时，任取王、与(。,+0 0),且须 工2，即工1 “，则(1 I 1 1 1 1 、g(M)g(*2)=X-F Xj-U-X2-F X2-6 Z H-(xx xx aJ I x2 x2-a i1=2(玉 _)+1(1十X2)1、-Q x2-a2 (%)+x2 x jx2 xXjX2(3 一)(入2-a)x1 x2 a随着阳、的增大而增大，当%f。且吃 。

32、时,当 Xj T+4-00 时，2-.-r 2.xx2(X j-a)x2-a)所以，存在九。，使得当。V工2%玉)时，2-表 一()；则8，所以，函数g(尤)在区间(,)上单调递减;当X 尤2 王)时，2-4(x 去 h。,则 g(%)g(W)，A I Aj _ u H 2 _ C l I所以，函数g(%)在 区 间,+8)上单调递增,所 以,当x a时,5Wmin=().若存在实数人使得函数y =x)+/(x a)一左对任意非零实数。均存在6个零点,即直线丁 =上 与函数g(x)的图象有6个交点，由于函数g(x)的图象关于直线x =对称，则直线y =%与函数g(x)在直线x =1右侧的图象有

33、3个交点，所以，Z:ma x ja +-,g(x0)j +.4由于左为定值，当a N 2且当a逐渐增大时，a +一也在逐渐增大，a4所以，%。+不可能恒成立，a所以，当。0时，不存在实数火，使得函数丁 =力+/(%。)一人对任意非零实数。均存在6个零点;同理可知，当。.【分析】(1)根据奇函数的性质，求。，再验证；(2)根据二次函数的单调性，求解”的取值范围.【详解】因 为 函 数/(X)是奇函数，所以0)=/-1 =0,解得：a=+l,当”=1时，/(x)=2 x2,函数是偶函数，不成立，当a =l时，f(x)=-2x,函数是奇函数，成立，则 a =-1 ；(2)当。=-1时，/(x)=-2

34、 x,函数在定义域上单调递减，不满足条件，a +l 0当。工一1时，若函数在 2,”)单调递增时，满足彳 a I ,解得1 7.(2 0 2 0上海市复兴高级中学高三期 中)己知函数f(x)=x 2+a r +A(a,b e R).(1)若8 =1,且/(x)在-2,2 上存在零点，求实数的取值范围；(2)若对任意存在x e-2,3 使/(x)0,求实数的取值范围.【答案】(-o o,-2 1 2,+0 0)；(2)b-6.【分析】(1)由8=1时，/(幻=/+1 =0，当X/0时，可得a =X ,实数。的取值范围即为X了 =-!的值域，令g(x)=x+，对其求导判断单调性，求出g(x)=x+

35、!的值域，进而可计算X X X=一%-1的值域，即可求解；X(2)由/(幻 0得d+i z x +b。，即6 -/-以，令()=-幺 一 奴，则/?()的对称轴为x =|,由得彳=一 3，所以(%)=-%2-以 在x e -2,3上最小值为(3)=9一3。，再由a e -1,1 得/z(3)=-9-3 a。可得一2 c x 一1 或 1 冗 2,由 g(x)V。可得一1 V x 。或。V X V 1 ,所以g(x)=x +，在(-2,-1)和(1,2)上单调递增，在(一1,0)和(0,1)上单调递减，X当0 x 2时，g(x)?g(l)=2,当一2 x 0 得/十 分+人0，即匕-x2-ax，

36、令 (x)=-一如，则 力()的对称轴为x =-|,当aG 1,1 时，x=6,所以实数的取值范围为b -6.【点睛】结论点睛：不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数y =/(x),x e a,句，y =g(x),x e c,d 若V%e a,可,吃 卜,心，总有成立,故人 力1 r a x g (毛)若V 3e a,句,切e c,d,有 石)g(%)成 立,故/(力 侬；若 右e a,句，加e c,d,有 )g(w)成立，故 力 二 g(毛 解；(4)若VR GQ,可，加4Gd,有/(玉)=g(w)，则/(x)的值域是g(x)值域的子集.1 8.(20 20上海市三林中

37、学高三期中)对于函数f(x),若在定义域存在实数%,满足./(-%)=/(%),则称/(x)为“奇点函数”.(1)已知函数/(x)=co s(x +?，x e R),试判断f(x)是否为“奇点函数”？并说明理由；(2)设/(幻=2,+加 是定义在 T 1 上 的“奇点函数”，求实数小的最小值；|QO 1%2 X 2 2(3)若./)=八 r 为其定义域上的“奇点函数”，求实数机的取值范围.3,x 0对x N 2恒成立，得?0对 工之2恒成立，得?-1,若_ 2 /2时，_ 2 _%)2,所以/(一/)彳 _/($)：/,1 4若天)4 2时，一天2 2,所以log2(片+2如C o)=3,所以

38、?=一5改)+一，1 4,易知y=x H (x 2)单调递减，所以加之1；2 x综上，实数机的取值范围是【点睛】已知方程有根问题可转化为函数有零点问题，求参数常用的方法和思路有：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解._,f 2x 0(1)解不等式x (x)K 0；(2)设k、机均为实数，当xe(-o。,加 时，A x)的最大值为1,且满足此条件的任意实数无及机的值，使得关于x的不等式/(x)W机2一伏一

39、2)加+3%1 0恒成立，求k的取值范围；(3)设/为实数，若关于尤的方程/(x)log 2。一%)=。恰有两个不相等的实数根玉、毛且为 ，.1试将2 +log 2 X2 +?二卜.二 二”表示为关于r的函数,并写出此函数的定义域.【答案】(1)(7,1 ；(2)*4：(3)2V|+log2+2_|_1|+|x _1|=t+；函数的定义域为 0,3 .2工%0讨论求解.log2 x,x 0(2)由xe(一。,加 时，/(x)1 r a x=1,得到04机42,根据不等式/(x)W根？一/一？)加+3%-1 0恒成4立，转化为 2 (机-3)+-+8对于任意的m e 0,2 都成立求解.m-3/

40、、x,x，分X 1，将原方程分别转化为 2X=t-x log2x=r-x求解.【详解】当x 40时,f(x)=2x,代入尤(x)40,得 工.2 0，所以x WO；当x 0时，.f(x)=log 2 X，代入x,7(x)0,得x-log z W O,所以log2 x 0 ,解得0 1 ,即m2-(A:-2)m+3?l-ll 0对于任意的根w 0,2 都成立.因为1 4 3-m 3,4所以女2 (机-3)+-+8对于任意的相 0,2 都成立.m-34 4由3机0,-0得（根3）+-+8 K 4 +8 =4 （当且仅当根=1时，等号成立）3-z m 3所以2之42x,x 0 /、f x,x （）l

41、og2（log2x）,x l若x V l,则方程/G）Tog 2（r-x）=0变为x=log 2（t-x），即2*=f-x，a i r =且tl于是X、分别是方程2*=f x、log 2=f-x的两个根且不（1 工2 0 o/(x)mm 0；V x w O,/(x)O o/(x)心 /()(或a ,f(x)oa /(x)g x；a x)=a x L；2 0.(2 0 2 0上海杨浦区高三期中)函数f(x)=g(x)+(x),其中g(X)是定义在R上的周期函数，h（x）=ax+b,a,A 为常数(1)g(x)=s inx,讨论/(x)的奇偶性，并说明理由；(2)求证:/(x)为奇函数 的一个必要

42、非充分条件是/(龙)的图象有异于原点的对称中心(根,)”(3)g(x)=s i n x +c o s x,/(x)在x e 0,3句上的最大值为M,求M的最小值.【答案】(1)8=0,奇函数；8 W 0,非奇非偶函数；(2)证明见解析；(3)V 2.【分析】(1)就6 =0力r 0分类讨论，后者利用反例说明/(x)为非奇非偶函数.(2)通过反例说明非充分性成立，设g(x)的周期为7=2相，可以证明当x)为奇函数时/(x+2m)+./(-%+2m)=4 c 九成立，从而可得/(x)有异于原点的对称中心.(3)先考虑。=6 =0时，M=&再通过反证法可证明M&不 成立，从而可得知,疝,=及，也可以

43、利用绝对值不等式证明M2 0成立，结合a =6 =0时，M=血可得M=O.【详解】(1)/(x)=s i n x+6 L x+Z?,6 =0时，f(-x)=s i n(-x)-ax=-f x),为奇函数，手。时，./(O)w O,/(x)不是奇函数./(l)=s i n l+a+Z?,/(1)=s i n l +/?,/(2)=s i n 2+2a+，/(2)=-s i n 2-2a+Z?.(。=_ )a =-s i n l若 小)为偶函数，则a =，i n 2，、26?=-s i n l因为一s i n l w s i n 2,故 1 .无解，2a=s i n 22 x)不是偶函数，所以/(

44、X)是非奇非偶函数.(2)非充分性：举反例，8(力=85%,(%)=1,/(工)=8 5%+1有异于原点的对称中心6,1),但/(X)不是奇函数；必要性：设奇函数/(x)=g(x)+办+。，且g(x+T)=g(x),令T =2 m ,f x+2 m)-g x+2 f n)+a x+2 t n)+b-g x +a x+b +2 a m,而 f(-x+2 m)-f(x-2 m)-g x-2 ni)-a(x-2 m)-b =-g-a x+2a m-b,故/(x +2m)+f -x+1 m)-4 a m,令刀=2 am,则x）的图象关于 m,）对称.(3)法/(X)=sinx+cosx+ox+b=J2

45、sinx+?)+ar+/?,取a=0 =0,|x)=0s i n x+.)，M=|/(x)L =O=反证法：假设/(x)|=&sin(x +2)+ox+Z?/2+tz+Z?/2,/.V 2+tz+Z?A/2,tz+Z?0；：f M 2,：,.a +b 0,得万。0,矛盾，所以假设不成立，得证.法二：/(x)=sin x+cosx+a+b=0 si n(x +?)+a+/?&+?4 +/?)-2&+与4+6)+(应 +?4 +6)=.4&=(向+“2+%”+(夜 +?V2-当a=/?=()时，1 f(x)=V2sinx+,6；下证M的最小值为夜,，武卜MS4&+【点睛】方法点睛：(1)说明一个函

46、数为非奇非偶函数，一般利用反例来说明；(2)如果函数/(X)满 足/(a x)+a +x)=&，则“X)的图象有对称中心(。力).(3)双重最值问题，可以利用绝对值不等式先求出范围，再验证等号可以成立.21.(20 20上海南汇中学高三期中)设f为实数，函数/(x)=I？+i,g(%)=|x-/|.(1)判断函数y =g(x)的奇偶性，并说明理由；(2)当f=2时,求 函 数y =g(x)-f(x)的最小值;(3)对于函数y =/(x),在 定 义 域 内 给 定 区 间 口，如果存在天)(。玉)，)，满足?(%)=,则称函数m(x)是 区 间 切 上的“平均值函数”，毛是它的一个“均值点”.

47、如函数b-ay =V是-1,1 上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数=/(幻+小 是区间 TJ上的平均值函数，求实数机的取值范围.3【答案】(1)f=0时，g(x)为偶函数；f x O时，g(x)为非奇非偶函数；(2)-；(3)(0,2).4【分析】(1)求出函数定义域，分f=0,两种情况讨论即可；(2)，=2代入丁=8(幻一/(幻转化为分段函数，由二次函数求最值即可；(3)此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在与 e(-l,l),使得g(x 0)=根”从而转化为一元二次方程有解问题.【详解】函 数g(x)定

48、义域为R当f=0时,g(x)=|x|,g(-x)=g(x),二 g(x)为偶函数，当t w O时，g(i)=|i-d,g(-i)=li +d,g(-D*g(l)J i g(-l)*-g(l)所以g(x)为非奇非偶函数综上：，=0时，g(x)为偶函数；力0时，g(x)为非奇非偶函数(2)当，=2时，y =|x 2|+x2 1 =2x2-x+l,x 0只需|+4c0即可，如匕=-3,。=2,方程有一1,一2,1,2四个实根，有-3+折 3-两个虚根.，八2 2故正确;故选：A.【点睛】本题考查复数范围内求解，属于中档题.易错点睛：(1)根为复数时，设=加+应，代入计算，可得根=0；(2)把握求实根

49、和虚根时，两个方程之间的关系，b,c保证一个最多方程4 个根，一个方程地多2 个根.2.(20 20上海 高 三 专 题 练 习)若 不 等 式 一6有唯一解则。的取值为()A.0 B.2 C.4 D.6【答案】B【分析】由/(彳)=彳2一 +。的图像开口向上，结 合 不 等 式 以+a i 有唯一解，等价于/(x)的最小值为1,再运算可得解.【详解】解：因为/(x)=x2方+。的图像开门向上，由不等式Ow Y办有唯一解，即f(x)的最小值为1，则/-尸；=1,解得(a-2)2=0 ,即。=2,故选B.【点睛】本题考查了二次函数最值的求法，重点考查了不等式与函数的相互转化，属中档题.3.(20

50、 20上海高三专题练 习)已知函数凡r)=f-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)xa2+8.iS：/ix)=max./(x),gQ),H2(x)=minJ(x)f g(x)(maxp9 4表示p,q 中的较大 值,minp9 q表示p,夕中的较小值).记Hi(元)的最小值为A,为的最大值为B,则A-8=()A.a2 2-16 B.a-2a6C.-16 D.16【答案】C【分析】由/(x)=g(x)时解得X值，求出口(九),”2(幻，即得A 与 3 的表达式，从而计算A 3 的值.【详解】令 7 U)=g(x),B P x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-cC+