分类计数原理和分步计数原理【重点难点解析】.pdf

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1、排列组合年 级:高 二 科目：数学时间：8/12/2006 17:12:39新 4559891老师您好我们学校正在讲高二下册数学排列组合一章麻烦老师发一些关于这一章的学习资料谢谢答：同学，你好，现提供以下资料供你参考：分类计数原理和分步计数原理【重点难点解析重点通分云计数原理和分步计算原理，这两个原理是解决排列组合问题的基本原理，是推导排列数公式，组合数的依据，难点是利用两个原理解排列组合应用问题.【命题趋势分析】两个基本原理是下节要学的知识的基础，所以它起到了承上启下的作用，同时掌握好两个基本原理，也有利于培养学生分析问题，解决问题的能力，主耍考查应用两个基本原理分析利解决一些实际问题，单独

2、出题至多一个小题核心知识【基础知识精讲】力口法原理加法原理：做一件事，完成它可以有儿类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法.在第n类办法中有外 种不同的方法，那么完成这件事共有N=mi+m2+.+mn种不同的方法(1)如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，不论哪一类办法中的哪一种方法都能独立完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用加法原理.(2)“做一件事，完成它可以有n类办法，这里对完成这件事的所有方法的一种分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类.其次，分类时要意满足一个基本的要求：完成这件事的任

3、何一种方法必属于某一类，分属于不同两类的两种方法都是不同的方法.2.乘法原理乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有叫 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m Xm2X_xmn种不同的方法.(1)如果完成一件事需分成n个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干方法，求完成这件事的方法种数就用乘法原理.(2)“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是指成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次分步时，要注意满足完成一件事必须并且只需连

4、续完成这几个步骤后这件事才算完成.注意：两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关，使用加法原理分类时必须做到不重不漏，各类的每一种方法都能单独完成:使用乘法原理分步时必须做到各步均是完成事件必须经过的缺不可的步骤,分类与分步的思想是解决实际问题的重要思想方法.典型例题例 1由数字1,2,3,4,5组成没有重复的数字的五位数，其中小于50000的偶数共有()A.60 个 B.48 个 C.36 个 D.24 个解组成适合题意的五位数，可分三个步骤完成；第一步，末位2或4,有2种方法；第二步，首位不能取5,去掉末位取去的一个，有3种方法；第三步中间三位由剩下三个数字组成共有6种方法，由乘法

5、原理，共有236=36(个)，选 C.例2 1800有多少个正约数？解1800=23-32-52,于 是1800的正约数只能是形如2a3叼丫的数，a可取0,1,2,3,B可取0,1,2,丫可取0,1,2由乘法原理，1800的正约数有433=36(个).例 3有不同的中文书7本，不同的英文书5本，不同的法文书3本，若从中选出不属于同一种文字的2本书，共有多少种选法？解先用乘法原理，后用加法原理，选中文、英文书各一本有7 x 5 =3 5种选法，选中文、法文书各一本有7 x 3 =2 1种选法，选英文、法文书有5 x 3=1 5种选法，所以总共有3 5+2 1 +1 5 =7 1种不同的选法.例4

6、用0,1,2,3,4这五个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字可重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不重复的小于1()(X)的自然数？(4)可以组成多少个数字可重复的小于1 0 0 0的自然数？解(1)确定一个三位数，必须分别确定这个三位数百位、十位、个位上的数字且。不能排在百位上.则完成这件事需分三步进行：第一步：确定百位上的数字，有4种方法；第二步，确定十位上的数字，有4种方法；第三步：确定个位上的数字，有3种方法，由乘法原理，可组成数字不重复的三位数N=4 4 3=4 8(个)(2)因为数字可重复，则不同的三位数有N=4 5 5=1 0 0(个).(3)

7、小 于1 0 0()的自然数包括一位数、二位数、三位数三类，它们互不关联.由0,1,2,3,4组成的数字不重复的一位数有4个(0不是自然数)，二位数有4 4=1 6个，三位数有4 8个，由加法原理，符合条件的自然数有 N=4+1 6+4 8=68(个).(4)同上分析，数字可重复的小于1 0 0 0的自然数有N=4+4-5+4 5 5=1 2 4(个).评 析(1)这道题的解法涉及两个基本原理的简单应用，其关键在于弄清完成事件的过程是分类还是分步进行，从而确定是使用加法原理还是乘法原理或两原理的综合使用，“分类则加，分步则乘”是解决排列、组合问题的最基本策略.(2)对元素可重复的计数问题，一般

8、均用两个基本原理解决.例5 (1)A、B、C、D四个学生报名参加语、数、外三个学科活动小组学习，每人参加一个小组，不同的报名方法共有几种？(2)期中考试，语、数、外三科第一名均在A、B、C、D四个学生中，获第一名的情况共有几种？解(1)每个学生都有3种选择，四人每人选择一小组后，事件完成，所以完成这件事可分成4个步骤，由乘法原理：不同报名方法共有N =3 3 3-3 =3 4=8 I种.例6从I到2 0 0的自然数中，各个数位上都不含有数字8的有多少个？解 分三类.一位数中除8外符合要求的有8个；二位数中，十位上数字除()，8外有8种情形，个位数字除8外有9种情形，故二位数中有8 x 9 =7

9、 2个符合要求；三位数中，百位上数字为1,十位上数字和个位上数字除8外均有9种情形，故符合要求的百位为1的三位数有9 x 9=8 1(个)，此外还有2 0 0符合要求，综上从1到2 0 0,不含数字8的自然数有N=8+7 2+8 1+l=1 62(个).排歹(J【重点难点解析】本节捻点也排列的概念、排列数公式及其应用，难点是用排列的知识解决实际问题.关于排列的应用题，应考虑以下问题：问题的结果是否与顺序有关；在问题中，n个元素指的是什么，m个元素又指的是什么?从n个元素每次取出m个元素的一个排列对应着的事件是什么.【命题趋势分析】由于社会、生产和科学技术和发展，排列组合的应用日益广泛，它已渗透

10、到整个社会生活的方方面面.虽然本章与前面的所学知识没有什么联系，它是学习后面概率统计知识以及进一步深造的知识准备.近几年高考中，排列组合的内容占有一定的比例，必须引起重视.核心知识【基础知识精讲】1.排列的概念首先我们把被取的对象叫做元素.一般地，从n个不同的元素中，任取m(诏n)个元素，按照一定的顺序排列成一列，叫作从n个不同元素中取出的m个元素的一个排列.注意：研究的对象元素各不相同，定义中指的是“一个排列”，不是所有的；排列的定义中包含两个基本内容：“取出元素 与 按照一定的顺序排列一定顺序”说明排列与顺序有关.只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同个排列，元素完全不

11、同，或元素部分相同，或者元素完全相同而顺序不同的排列，都不是同一排列.在排列时，如果后m(即每次只取出一部分元素)；就叫排列，若n =m(即每次取出全部元素)，就叫全排列.2.排列数从n个不同元素中取出m(记n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号A J表示.说明 要注意区分“排列数”与“一个排列”两个概念.一个排列是“从n个不同的元素中，任取出m个元素，按照一定的顺序摆成一排 ，它不是一个数，而是具体的一件事；排列数是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数“，它是一个数.3.排列数公式的推导研究排列数公式时，我们从特殊到一般用不完全归纳法去推导排

12、列数公式.(1)先求A:假定有排好顺序的2个空位，从n个不同元素a.ao,a中任取2个去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到.不同填法的种数就是A?.第 I 位 第 2 位完成这件事分两个步骤：第一步，先填第一个位置的元素，有n种方法，第二步，再填第二个元素，可以从剩下的n-1个元素中选，有n-1种方法，从而A/=n(n-1)(2)求排列数A可以这样去做：假定有排好顺序的m个空位，从n个不同元素ai,a*用中任意取出m个去填空，一个空位填一个，这样可以分m步去做同样可得A=n(n-l)(n-2)(n-m+1)第 I 位笫 2 位第3

13、位 第,位排列数公式：An=n(n-l)(n-2).(n-m+1)其中 n,m 6 N*,并且 mn.说明 第一个因数是n;最后一个因数是n-m+l;一共有m个连续的自然数相乘.例：=6x5x4x3x2=720(3)自然数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示.所以n个不同元素的全排列公式An=n!=n.(n-l)-(n-2).1典型例题例 写出从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素的所有排列.分析：借助 树图法 列举所有排列，条理清晰，防止重漏，结合本例可画出下图.VV va b c例5名男生与5名女生站成一排.(1)如果男生必须相邻，有多少种站法？(2)男生必须相邻，女生也必须相邻，

14、有多少种站法？(3)如果男生都不相邻，有多少种站法？(4)如果男生都不相邻，女生也都不相邻，有多少种站法?解（1）把5个男生“捆”在一起作为一个元素，每个女生看成一个元素，共6个元素排列，有A，种方法，但男生之间可以改变顺序，有A s 种方法，共有AA55=8 6 4 0 0（种）方法.（2）男生看成一个元素，女生也看成一个元素进行排列，共有A?种，但男生之间可改变顺序，女生之间也可改变顺序，各有A 5$种方法.，共有人2 2 4 5 5小5 5 =2 8 8 0 0（种）方法.（3）先让女生排好，每2个女生之间及两端共计有7个空位，让男生插入，每个空位至多插入1名男生，于是男生均不相邻（但女

15、生有可能相邻）.，共有3 0 2 4 0 0（种）方法.（4）一排1 0个位置，男生站1、3、5、7、9位，女生站2、4、6、8、1 0位；或反过来，这样排列，男生互不相邻，女生也互不相邻.共有A 5 2 A 5、A,2=2 880 0（种）方法.说 明 题（2）与题（4）实质上是一样的.题（2）也可这样考虑：男生站1、2、3、4、5位，女生站6、7、8、9、1 0位，或反过来，所以这两题结果一样.对于“相邻”问题，多采用“捆绑法”处理；对于不相邻的问题，往往采用“插空法”处理.例 有0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个无重复数字的（1）五位数？（2）能被2 5整除的五位数？（3）

16、大于2 0 1 3 4 5的自然数？解（1）本题有一个隐含的限制条件：（）不能放首位，故先考虑0.1 未选0,其余5个数排列共A 5$=1 2 0种.2。己选0,则0只能排在个、十、百、千位，0排定后，在其余5个数中选4个排在其余位置上，共A/A s,=4 80 种.共有 1 2 0+4 80=6 0 0（种）方法.另解 采用排除法.先考虑在这6个数中选5个进行排列（让0也能在首位），再除去0在首位的那些排列.二共有 A56-A54=72 0-1 2 0=6 0 0（）（2）本题有两个限制条件，即0不能放在首位和该数要被2 5整除.从优先考虑该数能被2 5整除入手，此数末两位数只能是2 5与5

17、 0.末两位数是2 5时，还必须考虑首位不能为0,末两位数是5 0时，则不必考虑首位不为0的条件，于是得解为（A 2 1 A 3?）+&3 =4 2.或（3 _人3 2）+&3=4 2.（3）比2 0 1 3 4 5大的六位数可以分两种情况：首位为3、4、5的六位数均比2 0 1 3 4 5大；首位为2且后5位数字为0、1、2、3、4、5的数中，以2 0 1 3 4 5最小，因此只须首位为2、3、4、5而除去一个数即可.共有A/A s n=4 79（种）.另解 在所有用这6个数字排成的全排列中，去掉以0、1为首位的那些排列，再去掉2 0 1 3 4 5这个数，得共有 AA2 A s ，=4 7

18、9（种）说 明 解含限制条件的排列组合问题时，通常有直接法与间接法两种解法.直接法就是先考虑限制条件，直接计算满足限制条件的排列数；间接法则是先不考虑限制条件，把所有排列数算出，然后再根据限制条件把不合题意的那些排列排除.例 用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比2 0 0 0 0大，并且百位数不是3的没有重复数字的五位数，共有（）A.96 个 B.78 个 C.72 个 D.6 4 个分析 要求比1 0 0 0 0大，于是可由万位所数字确定，即万位上只要排入2以上（包括2）数字即可满足条件，也就是说1不排在万位，并且3不排在百位的排列问题。解法一：直接法：以元素为主，考虑不在百位，但可在

19、其它任何位，由于1不在万位，所以3排与不排在万位与1的排法有影响，故按3的排法分两类：3排在万位，剩余的位置可以无限制条件，有P J种不同的排法；3不排在万位时，按先排3再排1,后排其它的步骤进行共有A 3 LA 3 3种不同的方法，根据加法原理，满足条件的5位数共有A/+A 3 1 A 3%；=78个，故选B.解法二：间接法：不符合条件的排列为：1在万位或3在百位，包在三种情况（如图所示）：1在万位且3不在百位；1不在万位且3在百位；1在万位且3在百位，共有2 A 3 1 A A 3 3+A 3 3种不同的方法，所以符合条件的排法有A 5 5-Q A 3 A/+A 3 3）种不同的方法.组合

20、【重点难点解析】1.排 歹i与城合的区别在于排列与顺序有关，而组合则与顺序无关.2 .排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式阶乘形式，前者多用于数字计算，后者多用于证n明恒等式，注意公式的倒用.即由5 一根)！写出C J3 .组合数的第二个性质不好记忆.要使学生搞清公式的结构，即下标相同，而上标差1 的两个组合相加，等于下标比原下标多1,上标与高的相同的一个组合数.【命题趋势分析】组合应用题比排列应用题更具广泛性，组合问题的分类和解题思路类似于排列问题的分类和解题思路.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式，并能运用它解决一些简单问题.本节内容在高考中年年都有，题型基本是选择题、填空题，题

21、目体现了本章的最大特点，就是实用性.因此，解决好高考中的排列组合问题，关犍在于把握问题的实际意义及基本原理，基本公式，本节属高考必考内容.核心知识【基础知识精讲】1 .组合的概念一般地说，从 n个不同元素中，任取m(n g n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合说明 排列与组合问题有共同点，就是都要“从 n 个不同元素中，任取m个不同元素”.排列与组合问题的不同点是:排列要“按照一定的顺序排成一列”,而组合却要“不管怎样的顺序并成一组相同的组合指的是这两个组合中元素一样，无论顺序如何.2 .组合数从 n个不同元素中取出m(记n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素

22、中取出m个元素的组合数,用 符 号 表 示.说 明“组合数”指的是“从 n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数“，它是一个数.而“一个组合”是指“从 n个不同元素中，任取m(m S i)个元素并成一组，它不是一个数，而是具体的一件事.3 .组合数公式由乘法原理发现排列数与组合数之间的联系：Anm=Cnm-Amm4 (-1)(-2).(n-m +X)%!Cnm=M =w!=这里n e N；meN,并且m n,规定C=l.4 .组合数的性质定理 1 C=C m”m定理 2 C n+|m=C+C 性质 3 k C k=n C n-F典型例题例 1 写出从4个不同元素a、b、c、d中任取3个元素的

23、所有组合.解列举所有的组合情形，通常采用分类法，这样条理清晰，便于防止重漏，本例答案是a b c,a b d,a c d,b c d.1 1 7例 2 已知 5.%=1UU7，求 C 8 m解已知等式掰!(5-！幽!(6 -M!7 冽!(7 -活)!Q 5!.6!=1 0-7!=m 2-2 3 m+4 2=0 =m=2 或 m=2 1.m=2 1 不合题意，舍去.C 8n l=C 8?=2 8.说明 含A J、C J的式子都有mgn作为隐含条件，在解题过程中要注意.例 3(1)解方程=C165X-5解利用组合数的性质1,得X2-X=5X-5 或 x2-x=16-(5x-5)又 gx2-x016

24、 且 05x-516，整数X的解为x=l或x=3.求值：c2n,7-n+c13+n3n解 依 题 意n必须满足0 1 7-2 0 3 1 3+/.5.7n6.5.n=6*,*原式 C2+Ci98 =31.例 4计算下列各题：2国-中 6!+5!(C H)o +C H X)+P|0|3(3)C 2 +C 3 +C 4 +.+C|0 .7!-6!(7 x 6 -6)x 5!解原式=6!+5!=(6+l)x!=1*(2)原式 MCIOFXAIOIUCIOJ+PIO/U 3=(3)原式=(Cj+CsD+Cr+.+Go?=C j+C+C5+-+C ()3 6TJ6=165例5男运动员6名，女运动员4名，

25、其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形各有多少种选派方法？(1)男3名，女2名；(2)队长至少有1人参加(3)至少有一名女队员(4)既要有队长，又要有女运动员.解(1)先选男运动员有C6?种方法：再选女运动员有C42种方法，故共有C/C 42=120种选派方法.仅1个队长参加有C22V种方法，2个队长参加有Cg3种方法，故共有C22V+C83=196种选派方法.(3)无女运动员的选法有C$5种，故至少有一名女运动员的选派方法有CKAC65=246种.(4)若女队长参加，有C/种选法，若无女队长，则必有男队长，另有女运动员1个、2个或3个，有C3IG3+C.FC52+C53GL65种选

26、法，因此既要有队长，又要有女运动员的选法有C9、65=191种选法.例6在11名工人中，5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人既能当钳工又能当车工，现从这11个中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法？解 按两种都会的工人分如下几类；(1)2人都选出当钳工，再选2个钳工有C$2,选4个车工有C j.此类有C22c52c丁种选法.(2)2人有1人被选出当钳工，再选3个钳工有C$3,选4个车工有C5*另一人可当车工，也可不当车工)，.,共有 C2-C52-C54(3)2人都不被选出当钳工C2O-C54-C64-:.共有 C22C52C44+C21 C53C54+C2,C54C45=1

27、85(种)例 7 计算CIOE+GO”“值不相同的有()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解本题主要考查组合数的性质和组合的概念.0 r+l 1,故 CjAC 尸n n-k+若 k 2,则 k 1,故 CnkCjT02从而最大的项是力一分+1 当n为奇数时，若k 1,X-1故 C n B C j L 所以 C n V C：V C n 2V 2时，则n-k +k=1,故 C n k=C .用一出+1k VI,故 CjvcF.所以M+l M+l.+lrV rT+1 皆*C n.3.有关二项展开式的特殊等式(1)(1+1)n =2 =C n+C 3+C j+C J(2)(l-l)n=0=

28、a-Cni-C；+(-l)Cnn=Cn0+Cn2+Cn4+=C +Cn3+Cn5+(3)(l+i)n=C0+Cnli+Cn2i2+C ni n无n c F c j+c V-C；+=显 cos 4典型例题例1在(、份+后)1 的展开式中有多少个有理项？解Tr+1=Clu Or(圾 产 工咯：-C,2吟 3：一 C i o o 乙若T m是有理项，则2与3的指数均是整数；.r=4k,kGz 且 g e lO O故O SkW25,k G z,共26个有理项.例2已知(l+3x的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121,求展开式中系数最大的项.解末三项的二项式系数分别为C2,c T,c J贝IJCn

29、n-2+Cnn-+Cn=121得 n=15(n=-16 舍)Tr+i=C i 5r(3x)r：=C i 5r3rxr设T m项与1；项的系数分别为tr+l与tr)则t r+1 =C 1 5r，3、=C 1 5e 3”4+i C.32 3(15-r +1)令 4 1,即 C3 j=r 解之r 12即当r X.3 2 7x3,15309令9-2 r=3,得r=4.,.展开式中x，的系数为 9七5(-2六=8 8 V (2x?-x-1)6 =(x-1 )6(2x+1 )6,二 的系数为 C62(-1 )2C66+C63(-1 )3C65(2)+C64(-1 )4-C6422-r f：65(-1 )5

30、C6323+C66(-1 )6C62-24=1 5-240+900-96 0+240=-45.(2x?矛 1)(2芯2 _ x _ 1)(2/_ X 1)另 解V(2X2-X-1)6=6个叫.中的系数为C62-22-C4(-1 )C44(-1 )4+C6 -2C52(-1 )2C33(-1 )3+C6-2 C64(-1 )4C22(-1)2=6 0-1 20+1 5=-45.例5 求9严除以1 00的余数;求 证:1 +4C l+7Cn2+1 0C 3+.+(3n+l)C=(3n+2)-2n-1解91 95=(90+1 产=9095+C95l-9094+C952-9093+.+C9593-90

31、2+C9S94+90+C9595.由于这个展开式的96项中，前94项均是1 00的倍数，故它被1 00除的余数等于C9594-90+C9595除以1 00的余数，而 C -C +C g S x W+l =8551.二9俨除以1 00的余数为51.(2)令 S=1 +4Cn 1+7C 2+1 0Cn3+.+(3n+1 )Cnn,则 S=(3n+1)Cnn+(3n-2)Cn,+.+1.两式相加,得2s=(3n+2)(C n+C+.C n)注意 C=CT =(3n+2)-2nA S=(3n+2)-2n l.另证：由于(3k+l)?=31 (23=31 1丁尸+(：Al +4Cn+7C 2+1 0C；

32、+(3n+1 XV=C；+(3-1+1 )C +(3-2+1 )C:+.+(3n+l)C n=3,(1 Cnl+2Cn+.+nCnn)+(Cl)t)+Cn,+.+C1 1)=-3(nCn.)w+nCn.|+.+nCn.|n)+(C nO+Cn1+.+Cnn):=3n,2n+2=(3n+2)-2n l.例6求(l+x)+(1+x)2+(l+x)i 的展开式中各项系数的和.0+初 1-(1+-1。(X +1-1解法 1 原式=1-Q +X)=X.1,其系数和为 CJ+C“2+.+CU，=2L 2.2(2-尹)解法II 设原式=f(x),则系数和 f(l)=2+22+.+2i=1-2=2-2.说明

33、解法H是求二项展开式各项系数的常用方法.例7求和：l-2Cn2+4Cn2-.+(-l)n-l2nCnnl+(-l)2,1Cn;(2)求证：C n0-2C二+4C”24cl i、+(-l)n(n+l)C n=0.解 在二项式定理的公式中令a=l,b =-2,即得17为偶数原式=(l-2)n=(-l)n=IT%为奇数n(-1)!(2)Vk C k=k 旗 -到=n T)T)!=n C.产，C nC n+SC nMC A.+(-l)n(n+l)Cnn=E Cl l0-Cl)l+C,1-Cn3+.+(-l)nCl,n-C,1l-2Cn+3Cn:-.+(-l)n,nC,=(1 -1)-E nCl).|-

34、nCl l.|l+nCn.i2-.+(-l)n.|Cn.|=0-n(1-l)i=0.故原式成立.说明在求含组合数的式子的和时，常运用公式kCg n Cj L例8求证：1+2+22+.+2*I能被31整除.证:V l+2+22+.+25n-12-1=2-1=32n-l=(31+l)n-l=31+Cl l13r-l+.+Cnn l-31=31(31n-,+C1 11-31n-2+.+Cnn-1).括号内各项皆为整数，其和也为整数，所以1+2+22+.+2531 能被 31 整除例9当吟3时,求证：2+2(n+l).证 2(1+1 )nCn,+Cn1+Cn_+.+Cn l+CnnN 2(C n+C

35、3)=2(n+l).说明利用二项式定理证明不等式通常是舍去展开式的若干项或对一些项进行放缩变换.【课本难题解答】用二项式定理证明：(l)(n+1)n-l能被 整除(2)991 0-1 能被 1 000 整除i l E：(1)V(n+l)n-l =n+C nn-l+C 2nn-2+.+Cnn-2-n2+C n-n+1-1=n+Cr ilnn-l+Cn2n-2+.+Cnn2n2+n2=n2(nn-2+C n3+Cn2nn-4+.+Cn-2+1)二(n+1)能被I?整除.(2)991O-1=(100-1),O-1=10O-CIOI-1009+C1O2-1008+.+C1O8-1002-C1O9-10

36、O+1-1=1 O Ol o-C i o-l O O9+Cl o2-l 008+C1 084 002-1 0 x 1 00=1OOO(1O17-CIO2-1OI5+CIO2-1O3+.+CIO8-1O-1)9 9%能被1 000整除.随机事件的概率【重点难点解析】本节萤点通等可能性事件的概率，难点是处理随机现象问题的思考方法.【命题趋势分析】由于本节内容是教材改编后新增加的，所以近几年才出现概率的试题，而且第次就以一道大题出现，说明本节内容是高考的重点内容之一.核心知识【基础知识精讲】1 .必然事件与不可能事件所谓事件，实际上就是在一定条件下所出现的某种结果.在一定条件下必然发生的事件，叫做必

37、然事件.在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件.例如在标准大气压下，把水加热到100,这是条件，在此条件下发生沸腾(或汽化)，这是一个必然事件，又如，向上抛一枚均匀的硬币，这是条件，在此条件下，落地的硬币的正面(有国徽图案的一面)向上，是一随机事件.注意：对于一个事件，如果叙述不明确，容易导致不同的理解.例如，把“在标准大气压下，以下的冰不可能融化 说成是一个事件，那么事件的结果可以认为是指“冰融化”(因而它是不可能事件)，也可以认为事件的结果是指“冰不融化 (因而它是必然事件).在叙述时将事件的条件和结果分开写明，并将整个事件加上引号.为了叙述方便，我们把条件每实现一次，叫做进行一次试

38、验，如果试验结果事先无法确定，并且可以重复进行，这种试验就叫做随机试验.2.随机事件在一定的条件下不可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件.例如：“某人射击一次，中靶”，“掷一枚硬币，出现正面”.随机事件在一次试验中是否发生，虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，这种规律性，一个随机事件的发生既有随机性(对单次试验来说)，又存在着统计规律性(对大量重复试验来说)，这是偶然性和必然性对立的统一.3.事件A的概率m一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发 生 的 频 率 总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A).注意：

39、概率是该事件发生的次数与试验总次数的比值，也是随机事件的频率.频率具有稳定性，即总是在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度就越来越小.概率可以看作是频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.由概率的统计定义，可以得到：必然事件U的概念为1,P(U)=1.不可能事件V的概率为0,P(V)=0,而任意事件A的概率P(A)满足：OWP(A)S1.4.等可能事件的概率一般地,如果一次试验中共有n种可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种.那么事件A的概率P(A)m是n.注意：随机事件的概率，一般都是要通过大量重第试验来求得其近似值.但对于等可能事件来说，每

40、次试验只可以出现有限个不同的试验结果，并且出现所有这些不同结果的可能性是相等的.mP(A)=既是等可能性事件的概率的定义，又是计算这种概率的基本方法.计算时，关键在于求m,n.典型例题例 1 下列事件中，随机事件的个数为()(1)物体在重力作用下会自由下落.(2)方程X2+2X+3=0有两个不相等的实根.(3)某传呼台每天的某一时段内收到的传呼要求次数不超过10次.(4)下周日会下雨.A.l B.2 C.3 D.4解要准确的理解随机事件的概念.(1)为必然事件；(2)为不可能事件；(3)为随机事件；(4)不是随机事件.故选A.说明：本题容易将(4)视为随机事件，而(4)只是未来的某一天，只有一

41、个，不能重复，虽然下雨与否不能确定，但也不应视为随机事件.例 2 掷一枚骰子三次，所得点数之和为10的 概 率 是()1111A.6 B,8 C,12 D.36解 掷一枚骰子三次所有可能结果与一次掷三枚有区别（编号）的骰子所得的结果是一一对应的，而后者每一可能结果对应一三之有序数组：3必6 3）/3二6=1,2,3.所以要计算出使X I+x2+x3=1 0的有序数组的个数.基本事件总数为6 3,这可以看作有一排三个格子，每格可填1到6这6个整数之一，由乘法原理填得数即为6 3,满足X|+x2+x3=1 0的正整数解的组数可分类讨论.X =l,则 X z+X 3=9,由 l S x*6,i=2

42、3故解为(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)共 4 组.xXXXX=2,则 X?+X 3=8,解为(2,=3,则 X 2+X 3=7,=4,则 X2+X3=6,=5,则 XZ+X3=5,=6,则 X 2+X 3 =4,解为（1,解为（1,解为（1，解为（1,以上合计为 4+5+6+5+4+3=2 7 =3 36)、(3,5)、(4,6)、(2,5)、(3,5)、(2,4)、(3,4)、(2,3)、(3,3)、(2,2)、(3,4)、(5,3)、(6,2)共 5 组.4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)共 6 组.3)、(4,2)、(5,1)共 5 组.2)、(4,1)共 4 组.

43、D共3组.1故所求概率为6 3 =0.例3给出下列命题：“当xdR时，si nx+c osx W l”是必然事件；“当xGR时，si nx+c osx W l”是不可能事件；“当xeR时，si nx+c osx 2”是随机事件；“当xGR时，si nx+c osx 2”是必然事件.其中正确命题的个数是（）A.O B.l C,2 D.3分析：本题主要考查随机事件，必然事件，不可能事件的概念.解 由三角函数的知识，得 当xGR时，-2 si nx+c osx J 5,；.si nx+c osx 2 是必然事件.二应选B.例4 5封信可以投入5个信箱中的任一个，且每封信投入每个信箱的机会均等，求每个

44、信箱恰好投入一封信的概率.解 每封信投入信箱的方法有5种，.封信共有投法种，而每个信箱恰好投入一封信的投法有A$5种,4 1 2 0 2 4每个信箱投入一封信的概率为：p=5$=3 1 2 5 =6 2 5例5有1 0件产品，其中有2件次品，每次抽一件检验，共抽5次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽取后不放回；（2）每次抽取后放回，求5次中恰有1次抽到次品的概率.解（1）不放回抽取可理解为无顺序问题，即一次取5个产品，共有C*种取法（或考虑顺序，这时5次抽取有AW种），设A表示5次抽样中恰有1次是次品的事件，则共有C/C z上 或C/C zl A./）.所以事件A发生的概5 -5率为 P（A

45、）=g o =9（或 p（A）=A o =9）.C；.8（2）有放回抽样试验的结果有种,而事件A发生的可能情况为C s i g ,加以P（A）=0.40 9 6.5所以：（1）每次抽取后不放回，5次中恰有1次抽到次品的概率是9 .（2）每次抽取后放回，5次中恰有1次抽到次品的概率是0.40 9 6.说 明 等可能事件发生的概率P（A）=n,注意区分有放回抽取和不放回抽取的区别.【课本难题解答】1.某城市的电话号码由五个数字组成，每个数字可以是从。到9这十个数字中的任一个，计算电放号码由五个不同数字组成的概率.解 根据题意，由五个数字组成的电话号码中的每个数字可以是由0到9这十个数字中的任一个，

46、因此所有不同的电话号码的种数为I O、.另外，其中由五个不同数字组成的电话号码的个数，就是从这1 0个数字中任取5个出来进行排列的种数A1 0因此所求的概率4 189P=105=6252.5个同学任意站成一排，计算：P恰好站在正中间的概率；甲、乙两人恰好站在两端的概率.解(1)P=&=5(2)p=&=10.互斥事件有一个发生的概率 重点难点解析】本节而点总互斥事件的概率加法公式的应用，难点是对互斥事件的概率的理解.【命题趋势分析】本节是新增内容，主要考查互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率.核心知识【基础知识精讲】1.事件的和设A,B是两个事件，那么A+B

47、表示这样一个事件：在同一试验下，A或B中至少有一个发生就表示它发生.“事件的和”教材中是结合实例说明A+B的意义的，它可以进一步推广，“A 1+A?+A”表示这样一个事件，在同一试验中，A”A2,.A中至少有一个发生即表示它发生.2.互斥事件与彼此互斥不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，其中必有一个发生的两个互斥事件叫对立事件.一般地，如果事件A”A2,A“中任何两个都是互斥事件，那么说事件A，A2,A,彼此互斥.说明事件的互斥是对两个事件说的.对立事件一定是互斥事件，事件A的对立事件记作区,但互斥事件未必是对立事件.3.互斥事件有一个发生的概率如果事件A、B互斥，那么事件

48、A+B发生(即A、B有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即 P(A+B)=P(A)+P(B)(1)如果事件A 1,A 2,，A彼此互斥，那么事件A 1+A 2+A,发生(即A”A2.A,中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和.即P(A1+A2+.+A)=P(A!)+P(A2)+.+P C A n)(2)对于公式(1),我们可以用古典概型的例子加以证明：设在某一随机试验之下，共有N种等可能出现的结果，其中有g 个结果属于事件A(也就是这砚 个结果中任何一个发生都表示A发生)，有n h个结果属于事件B(也就是这他个结果中任何一个发生都表示B发生).这里A与B互斥，

49、所以属于事件A的g个结果与属于事件B的m 2个结果中不存在相同的结果，事件A+B的发生表示A与B中有一个发生，即在上述属于 A的 明 个结果连同属于B的n h个结果中，有任何一个发生都表示A+B发生(或者说，凡属于A的结果和属于 B的结果都属于A+B),因此.n+%P=(A+B)=N.又 已 知P(A)=N,p(B)=N.从而P(A+B)=N =N +N =P(A)+P(B)值得注意的是：上而证法虽然是用古典概型的例子加以证明，但公式(1)对于非古典概型的互斥事件仍然是成立的，公式(2)在等可能事件的情形下，不难用数学归纳法在公式(1)的基础上加以证明.两个事件不互斥，就不能用公式(1).4.

50、对立事件的概率根据对立事件的意义，A+N是一个必然事件，它的概率等于1,又由于A与 N互斥，从 而P(A)+P(4)=P(A+)=1.即两个对立事件的概率的和等于1,该公式还可以写为P(X)=1-P(A).典型例题例1 10件产品中有2件次品，任取2件检验，求至少有一件是次品的概率.解全 是 正 品 的 概 率 为,则至少有一件次品的概率为1-10.例2由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数概率01234 5人以上0.10 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04求：(1)至多2人排队的概率(2)至少2人排队的概率解(1)记没有人排队为事件A,1人排队为事件B.