概率论与数理统计》期末考试试题及解答.pdf

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1、一、填空题(每小题3分，共15分)1.设事件A 3仅发生一个的概率为0.3,且P(A)+P(B)=0.5,则A,6至少有一个不发生的概率为.答案：0.3解：即所以P(A U 豆)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X W1)=4 P(X=2),则P(X=3)=.答案：解答：由 P(X W1)=4P(X=2)知 e+衣”=2方6”艮 口2；!2/1一1 =0解得/1 =1,故3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量丫=X2在区间(0,4)内的概率密度为fY(y)=.答案：解答：设丫的分布函数为8(y),X的分布函数为F Jx)，密度为人3则

2、因为 XU(0,2),所 以&(4)=0,即 K(y)=&(6)故另解在(0,2)上函数y=f严格单调，反函数为(y)=4所以4.设随机变量X J相互独立，且均服从参数为4的指数分布，P(Xl)=e=,则A=，Pmin(X,7)!)=答案：4=2,Pmin(X,y)l=l-e4解答：产(Xl)=l-P(X41)=e-=e-2,故几=2=l-e-4.5.设总体X的概率密度为f(x)=(6+1)/,0%-.0,其它,X?,X”是来自X的样本，则未知参数。的极大似然估计量为答案：解答：似然函数为解似然方程得。的极大似然估计为9=1-1.二、单项选择题(每小题3分，共15分)1.设A,8,C为三个事件

3、，且A,6相互独立，则以下结论中不正确的是(A)若P(C)=1,则4 c与6 c也独立.(B)若P(C)=1,则A C与8也独立.(C)若P(C)=O,则A C与8也独立.(D)若CuB,则A与C也独立.()答案：(D).解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所 以(A),(B),(C)都是正确的，只能选(D).事实上由图可见勺 C T X-2 .设随机变量X Si函数为(x),则P(|X|2)的值为(A)2(1-0(2).(C)2-0)(2).答案：(A)(VD1 -Z/2 J .T T解答：X N(O,1)所以 P(|X|2)=1 P(|X 区 2)=1 P(2 X (2

4、)+(2)=1_ 2 (2)1 =2 1 (2)应 选(A).3 .设随机变量X和丫不相关，则下列结论中正确的是(A)X 与y 独立.(B)D(X-Y)D X+D Y.(C)D(X-Y)D X-D Y.(D)DXY)=D X D Y.()答案：(B)解答：由不相关的等价条件知，px y=0 =c o v (x,y)=0应 选(B).4.设离散型随机变量X和丫的联合概率分布为若x,y独立，则名一的值为7|1(A)a=,/?=.(A)a=,p9 9 929(C)a P (D)a ,/3 .()66 18 18答案：（A）解答：若x,y独立则有.)5.,X2,正 彳(A)X 1是的无偏估i卜量.(B

5、)X,(C)X 1是的相合（一致）估计量答案：(A),x”为来自x的样本，则下列结论中是的极大似然估计量.（D）不是的估计量.（）解答：EX=从,所以X 是的无偏估计，应 选（A）.三、（7分）已知一批产品中9 0%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.0 5,一个次品被误认为是合格品的概率为0.0 2,求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设4=任取一产品，经检验认为是合格品8=任取一产品确是合格品则（1）P（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）（2）P（B|A）=9-0-9 5=0.9 9 7

6、7 .P（A）0.8 5 7四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为五、（10分）设二维随机变量（X,y）在区域Z）=（x,y）|x N O,y 0,x+y W l 上服从均匀分布.求（1）（x,y）关于x的边缘概率密度；（2）z =x+y的分布函数与概率密度.解J i）（X,y）的概率密度为X0 123即P2 7 5 43 68112 5 12 512 512 5X的分布函数为2 3 18DX=3 x x =5 5 2 5用公式心（

7、z）=J f（x,z-x）dxu其.中 率 总 式1z,与0 x l,0 z-x l-x 九仅 其0 它 X.1,X Z 1.x+y=当 z 1 时 L(z)=00 1 时/z （少N y 0 小=2 x.=2 z故拶/4度为7的际函和为.或利用分布函数法 一六、（1 0分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标V相互独立，且均服从N（0,2 2）分布.求（1）命中环形区域。=（%则1 4 +/2的概率；（2）命中点到目标中心距离工二/+片的数学期望.解：=（Z T V-e 8=e-e2.=匚 匚 内74 J中d的o 2 J 疡七、（1 1分）设某机器生产的零件长度（单

8、位：cm）X N 3，S）,今抽取容量为1 6的样本，测得样本均值工=1 0,样本方差/=0.1 6.（1）求的置信度为0.9 5的置信区间；（2）检 验 假 设/wo/（显着性水平为0.0 5）.（附注）八（1 6）=1.7 4 6,%。5（1 5）=L 7 5 3,Z0 0 2 5（l 5）=2.1 3 2,解：（1）的置信度为1-。下的置信区间为所以的置信度为0.9 5的置信区间为（9.7 86 8,1 0.2 1 3 2）（2）“：4 0.1的拒绝域为犬N片（一 1）.1 5 S 2z2=-=1 5 x1.6 =24,成a（1 5）=2 4.9 9 6因为力2 =2 4 P(A,)+P

9、(A2)-1(C)P(A)=P(A U 4)(D)P(A)0,P(B)0,外闻6)=P(A),则P(且 A)=.(2)设随机变量X 的分布函数为则x 的密度函数y(x)=,p(x 2)=.(3)(4)设总体X 和y 相互独立，且都服从N(0,l),X,X2,X9 是来自总体X 的样本，匕,右，匕是来自总体y的样本，则统计量+编服从分布S求给出自由度)。二、填空题(每空3分共1 5分)yrp*Y ,Q1.P(B)2.f(x)=,3*2 3.-1 4 1(9)0 x 1 =1-P X =0.4 分=1-(0.7)。(1 0.7)4=0.991 9.$分五、(6分)设随机变量X的概率密度为/(x)=

10、尸 ”Y 二 00,其它求随机变量Y=2X+1的概率密度。解：因为y=2x +l是单调可导的，故可用公式法计算.1分当XNO时，y i.2分由 y=2x +l,得工=,x2从而y的密度函数为力(y)=2 10y l2.,5分=0 y Q五、(6 分)设随机变量x的概率密度为y(x)=i.2分由 y=2x +l,Wx=-x=.4 分2 2y 1 1从而y 的密度函数为万(y)=.5分0 y 12=.6 分0 yi六、(8 分)已知随机变量x和丫的概率分布为而且 p x y=o =i.(1)求随机变量x和丫的联合分布；(2)判断x与y 是否相互独立？解：因为p x y=o=i,所以p x yw o

11、=o(2)因为p x =o,y=O =OWPX=o p y=o =g x g =；所以x与y 不相互独立.8 分七、(8 分)设 二维随机变量(x,y)的联合密度函数为求：(1)P(0 X 1,0 r 2)；(2)求 X 的边缘密度。I 2解：(1)P(0 X 1,0 r 2)=J Z x J12e-(3v+4v)00 x O.2 分4 0 x 1Y=100-300 0 X 10100 =1 -p x 10100）.3 分=1一巴X 1000 x 10 0未知，求。的最大似然估计。解:最大似然函数为g,6）=f l /（%,.）=n（+l）x f.2 分i=l/=1二（。+1）（玉，居）”.3

12、 分则。项，“1.4 分令人 -d-i-n-L=-n-b l.n(.X,，x“.)=0nde 9+n于是。的最大似然估计：.5 分0=-nl n l n(X,，x“).7 分十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率X N（,1）服从正态分布，均值为，长期以来方差1 稳定为1,现随机抽取的1 00天的利润，样本均值为元=5,试求的置信水平为95%的置信区间。(05(1 00)=1.99,(1.96)=0.97 5 )解:1分2=1,x=5则的置信水平为95%的置信区间为 X-U a +爷2 v 9 v M4分即为 4.801,5.1 995分 概率论与数理统计课程期末考试试题（B）专业、班级：

13、姓名：学号:题号 四五六七八九十H_一十二总成绩得分一、单项选择题(每题3 分共15分)(1)(2)(3)x,0 x 1连续随机变量X 的概率密度为/(x)=2-x,1 X 20,其它则随机变量 落在区间(0.4,1.2)内的概率为().(A)0.6 4;(B)0.6;(C)0.5;(D)0.4 2.(4)(5)二、填空题(每空2 分共12分)(1)(2)(3)(4)三、(7 分)已知 P(A)=0.5,尸(8)=0.6,条件概率 P(4A)=0.8,试求P(A3).四、(9分).设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Ba r c t a n x,-o o%+o o,求：(1)常数4 8；(2

14、)P(|X|（X -fa/2（T）-7=，X +%2（-1）-7=）；S17n yjn 7 n三、（7分）解：四、（9分）jr解：（1）由1 =/（+8）=4 +小 耳.1分2 n(2)尸(|X|)=/(1)F(1)=.6分（3）f（x）=F（x）=-（-0 0 x +o o）.9分万（1 +/）五、（6分）六、（8分）解：设用X表示乙箱中次品件数，则X的分布律为X的分布函数E（x）为七、（7分）解：八、（6分）解：九、Q0分）解：（1）P（0 X 1,0 y 0A（y）=f fx,y）dx=.8 分J-8 o y 0（3）因为所以x与y 相互独立。.1 0 分十、（8 分）解：因为E（x r）w E（x）E（y）,所以x与y 是相关的。.8 分 -、（7 分）解：十二 （5分）解：共 8页第8页