2023届甘肃省高考数学模拟试题（一）（解析版）.pdf

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1、2023届甘肃省高考数学模拟试题(一)一、单选题1.已知集合A=y|y=|x|-1,xGR,B=x|x2,则下列结论正确的是A.-3GA B.3/B C.AnB=B D.AUB=B【答案】C【详解】试题分析：集合A=y|yZ 1.18UA;.ACB=B【解析】集合间的关系2.若(l+i)+(2-3i)=a+友(。力凡，是虚数单位)，则“力的值分别等于A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4【答案】A【详解】由已知得3-2/=4+万，所以”=3,人=-2,选A.【解析】复数的概念.3.已知 2sin 2a=cos2a+l,则 cos(芳+a)=()A.-B.立 C.D.-正5 5 5

2、 5【答案】B【分析】首先根据二倍角公式得到tana=g,从而得到sina=4，再利用诱导公式求解即可.【详解】2sin2a=cos2a+l=4sinacosa=2cos22,因为。(0,5，所以cosaw O,所以tana=；.因为a,所以5皿&=咚.所以cos(芳+a)=sina=*.故选：B4.记数列q的前项和为S”，且S“=2(a“-1),则=()A.4 B.2 C.1 D.-2【答案】A【分析】由工=,S?=6+%列方程组求值即可.【详解】因为E=4=2(4-1),解得4=2.又 因 为=4+。2 =2(%-1)，解得 2=4.故选：A.JT 7T5.若仁(万，兀)，且 3cos 2

3、 a=sin(,a),则 sin 2G 的 值 为()A.-1 B.1 C.D.?18 18 18 18【答案】C【解析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得3(cosa+sina)=乎，对等式平方即可得结果.【详解】由3cos2a=sin可得3(COS2 a-sin2 a-s in a)，又由a ,可知co sa-sin a wO,于是3(cosa+sina)=，所以l+2sinacosa=乙，v 2 18故 sin 2a=一得故选：C.【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.6.已知集合人=5刀=1,2,C=1,3,4,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐

4、标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A.33 B.34 C.35 D.36【答案】A【详解】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C21c31A33=36,但集合B、C 中有相同元素1,由 5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36-3=33个，故选A.7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是()【答案】D【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s=o+:+J+!的2 4 6值，计算求解即可.【详解】模拟的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量5=0+：+；+的值,5=0+=2 4 6 12故选：D.8.函数/（X）在（-1

5、,1）上是奇函数，且在（一1,1）上是减函数，若人1,*）+_/（一皿）0,则/的取值范围是（）A.（0,；）B.（-1,1）C.D.（-l.0）U（l l【答案】A【分析】函数式x）在（-1,1）上是奇函数，所以/（I-，）-/（-，）=/（附，再根据函数的单调性，即可求出，”的取值范围.【详解】因为函数4 0在（-1,1）上是奇函数,所以川-?）-/（-=/（加），又因为/（X）在（一1,1）上是减函数，所以T-机 ，解得。相3，故选A.-1 -m 1【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，单调性及函数的定义域，属于中档题.9.9 知圆G：(x-2)2+(y-3)2 =l,H|C2：(x-3)

6、2+(y-4)2=9,N 分别是圆 GC 上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM+|PN|的最小值为()A.57 3-4 B.5/2-4C.5 -3 D.5/2-3【答案】B【分析】作出圆心C 1 关于X 轴的对称 点,先 求 得 I+|PG|的最小值，结合图象进而求得I PM的最小值.由题意得，圆G圆心为(2,3),半径4=1,圆c2圆心为(3,4),半径4=3,作圆心G关于X 轴的对称点4 2,-3),则(|P C j+|P G|)1 n h i=|A C z|=5 0,当且仅当G，P，A三点共线时取等，结合图象可得(|P M|+|P N|)mm=(|P G|+|P G|)m in 4

7、2=5a 4.故选：B.1 0.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是()俯视图49A.2+/5 B.2+2/C.-D.-3【答案】B【分析】根据三视图还原几何体，可得该棱锥4 个面中有2 个为直角三角形，2 个面是等腰三角形,利用三视图中的数据即可得结果.【详解】该几何体是棱长分别为2,2,1 的长方体中的三棱锥：P-A B M ,其中：SABM=2,S=S.MB=，SAB=，该几何体的表面积为：2 +2 x +y 5=2 +2 y/5.2故选：B.1 1.设a=21nl.()l,/?=lnl.()2,C=VLO4-1.则()A.a b c B.bca C.b a c D.calnl

8、.02=6,所以力/iT +l,则4 0)=0,f(x=212？)、+x 717蒜 (i+x)后 获由于 l+4x-(l+x)2=2 x-x2=x(2-x)所以当 0 x 0,即 Jl+4x(l+x),/x)0,所以x)在 0,2 上单调递增，所以/(0.01)/(0)=0,即21nl.01VT5-l,即”c；令g(x)=ln(l+2x)-Jl+4x+l,则 g(0)=0,g(x)=，-2+、)l+2x(l+x)/i+4由于l+4x-(l+2x)2=4?,在 x0 时，l+4x-(l+2x)2 0,所以g(x)0,即函数g(x)在 0,+8)上单调递减，所以g(0.01)g=0,即ln l.0

9、 2 5?-l,即 bc；综上，bc 1)/J，0，即函数/(x)在(1,+oo)上单调递减 X+1/(7 1 +0.04)/(1)=0,.-./?、f r2+3A令 g(x)=21n l-x +l(l x 0,即函数g(x)在(1,3)上单调递增X+3g(Jl+0.04)(g(l)=(V.a)c综上，hca,故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.1 2.已知函数凡)=第+2加+5+1有两个极值点x/、X2,且2,1 ,X 2 S 1,2 ,

10、则人一1)的取值范围是()3 3A.3 B.6 C.3,1 2 D.-1,1 2【答案】C【详解】由题意得/(X)=3 x?+4 6 x+c =0的两根x/、X2,且2,1 ,*2右1,2 ,因此/(-2)2 0 ,-助 +1 2 2 0;(7)4 0 =/(0)0 =C-4H340c+4b+3 0c +8/?+1 2 0由可行域可知直线力-c =z过点时A(0,-1 2)取最大值1 2,过点8(0,-3)时取最小值3,选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画 目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，

11、避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.二、填空题1 3 .在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8 个长方2形的面积和的不，且样本容量为1 4 0,则 中 间 一 组 的 频 数 为.【答案】4 0【分析】根据频率分布直方图各小矩形面积之和为1，可以求出中间一个小长方形的面积，即该组的频率，所以中间一组的频数=1 4 0、频率.【详解】设中间一个小长方形面积为x,其他8个长方形面积为，x,2根据频率分布直方图各小矩形面积之和为1,得x +；x =l,则x =即中间一组的频率为52所以中间一组的频数为1 4 0X：=4

12、0.故答案为：4 0.1 4 .已知同=6,忖=3,a b=2,则向量Z 在 向 量 万 方 向 上 的 投 影 是.【答案】4【分析】根据题意，结合向量投影公式直接计算即可.【详解】记向量 与石的夹角为巴所以2 在万方向上的投影为同8$=同 第=芹=4.故答案为：4.1 5 .双曲线4 1=1 (0,&0)的一条渐近线平分圆C:(x-iy+(y-2)2=l 的周长，此双曲a b线 的 离 心 率 等 于.【答案】小 分析由渐近线平分圆知渐近线经过圆心，可求得渐近线的斜率即为2,从而求得离心率.a【详解】依题意得，双曲线的渐近线过圆心(1,2),于是有2 =2,a双曲线的离心率为e =亚.故答

13、案为:石1 6 .以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图,则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为（写出符合要求的一组答案即可）.图 图【答案】（答案不唯一）【分析】由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.【详解】选择侧视图为，俯视图为,如图所示，长方体ABCO-ABC。中，AB=BC=2,BB11,瓦尸分别为棱BQ,3C的中点，则正视图，侧视图，俯视图对应的几何体为三棱锥故答案为：.【点睛】三视图问题解决的关键之处是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系.三、解答题17.已知 A 3 C的内角4、B、C满足s

14、in A-sin B +sin Csin Csin Bsin A +sin B-sin C求角A；(2)若A4BC的外接圆半径为I,求AABC的面积S的最大直【答案】至4【分析】(1)将sir bA-sin fi+sin Csin Csin Bsin A +sin B-sin C,转化为为=bc,再由余弦定理求解;(2)根据 A 8 C的外接圆半径为1,得到4 =2 H sin A =6,再利用余弦定理结合基本不等式求得be hc，所以从43,当且仅当b =c时，等号成立,所以 工 诋=-s i n E,G,分别为AC,BC的中点.(1)求证：平面FGH;(2)若CF_L平面A8C48_LBC

15、,C=Z)NBAC=45。,求平面FGH与平面ACF。所成的角(锐角)的大小.【答案】(1)证明见解析(2)60【分析】(1)根据题意证明出四边形。尸CG为平行四边形，再由线线平行证明出线面平行；(2)为了方便计算，不妨先设出一个棱长,根据题意建系，把面面角的余弦值转化为各自法向量夹角的余弦值的绝对值，进而求出面面所成角即可.【详解】(1)证明:连接OG,C2设CDcG F=O,连接OH,在三棱台D E F-A B C 中,AB=2 D E,G为4 C的中点，可得。尸 GC,。尸=GC,所以四边形D F C G为平行四边形.则0为C D的中点，又H 为 B C的中点，所以O BD,又。H u平

16、面FGH,B D(Z平面FGH,所以B D 平面FGH.(2)由题知，不妨设设AB=2,则CF=1.在三棱台。ABC中。为 AC的中点，由。F=g AC=GC,可得四边形OGCF为平行四边形，因此DG/C,又尸C,平面A8C,所以 0G，平面 A B C.在4 ABC 中，由 AB_LBC,/BAC=45。是 AC 中点.所以A8=8C,G3_LGC,因此GB,GC,GO两两垂直.以 G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.X所以G（0,0,0）,B（垃,0,0）,C（0,夜,0）,（0,0,1）.可得“，0，尸故 而 =冬冬。,GF=（0,5/2,l）.设 =（x,y,z）是

17、平面FGH的一个法向量，则由n-G H=0n-GF=0，可得fx+除y=z 0=。可得平面尸G”的一个法向量石夜）.因为痂 是平面A C F D的一个法向量,GB=（72,0,0）.所以平面FG 4与平面ACFD所 成 角（锐角）的大小为60。.1 9.李先生家住，小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有/卜/2两条路线（如图）,力路线上有A，4,4 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为g；4 路线上有综区两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为H3 34 5（I）若走L 路线，求最多遇到1 次红灯的概率;（I I）若走A路线，求遇到红灯次数X的数学期望;（I I I）按照“平均遇到红灯

18、次数最少的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.4 4 2 起Bi B?【答案】:E X-选 择 八路线上班最好.【详解】【试题分析】（1）走线路。相当于3 次独立重复试验，按照二项分布的计算公式，计算恰好发生0次和恰好发生1 次的概率，相加即可.（2）走线路4，则遇到红灯次数X的可能取值为0 ,2,按照独立事件概率计算公式计算对应的概率，写出并求其期望.（3）。线路是二项分布，利用公式E（X）=”p 计算出期望，由于）的期望小,故选线路以【试题解析】（I ）设“走 人 路线最多遇到1 次红灯”为事件A,则尸 =O+c；f 1，所以走L路线，最多遇到1 次红灯

19、的概率为;.（H）依题意，X的可能取值为0,1,2.*=。）=（1-汕司=5r、/v 3 3 9尸（X =2）=x =.、7 4 5 2 0随机变量X的分布列为：X012P1T o92 092 01 9 9 2 7J j lflU E X=x 0 +x l+x 2 =.1 0 2 0 2 0 2 0d l l)设选择(路线遇到红灯次数为y,随机变量y 服从二项分布y 所以1 3EY=3x-=.因为所以选择右路线上班最好.【点睛】本题主要考查二项分布的分布列即数学期望，考查相互独立事件概率计算，考查期望值的在现实生活中的指导意义.对比两条线路，第一条线路每次遇到红灯的概率是一样的，都 为 所 以

20、可以看成是3次独立重复试验，符合二项分布的概念.线路二用的就是相互独立事件概率公式了.2 0.设抛物线C:y2=2px(p 0)的焦点为尸，准线为/,M e C,以M 为圆心的圆M 与/相切于点Q,Q 的纵坐标为G 0，E(5,0)是圆M 与x 轴的不同于尸的一个交点.(1)求抛物线C 与圆M 的方程；4(2)过 F 且斜率为的直线与C 交于A,B 两点，求AABQ的面积.【答案】(1)抛物线C:y 2=4x,圆M:(x-3)2+(y-2 G)2=16(2)20+1 5 64【分析】(1)分别求点。,M 的坐标，再利用圆心在线段E尸的垂直平分线上，求得P 值，即可求得抛物线和圆的方程;(2)直

21、线与抛物线方程联立，求得点4 B 的坐标，求得|A 3|,以及点。到直线A 3的距离，再求三角形的面积.【详解】(1)由抛物线的定义知，圆 M经过焦点尸(5，0),，一多K p),点 M 的纵坐标为6 p,又M e C,则B p=Z p x,得 尤=,则 (当,g p),|MF|=|p +l p =2p.P+5由题意，M 是线段E F的垂直平分线上的点，所以九二，解得p=2,2-2故抛物线 C-.y2=4 x,圆 M:(x-3)2+(y-2 )2=16.4(2)由题意知直线的方程为y=(x-l),由，y2=4x4Z,、，解得=(x T)A;或.y=41x=4y=-设A(4,4),叫则明咛.点。

22、(一 1,26)到直线”:4x 3)，-4=0 的距离 d=所以 B Q的面积S=.d=手叵.2 1.己知函数/(x)=or+xlnx的图象在点X =e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.求实数。的值：若&e Z,且&l恒成立，求人的最大值；x-1【答案】。=1(2)3【分析】(1)利用导数的几何意义即可求出实数。的值；(2)分析题意得到左 l恒 成 立.令g(x)=x+xh 利用导数求出x-l X-g(x)L=g(飞 飞3,4),即可求得%的最大值.【详解】(1)因为 x)=ax+xlnx,所以f(x)=a+lnx+l.因为函数 x)=+xln尤的图象在点x=e处的切线斜率为3,所以/(

23、e)=3,即a+lne+l=3.所以a=l(2)由(1)知，/(x)=x+x ln x,所以对任意x l恒成立，x-1即为人 1恒成立.x-令g(x)=,则(x ),令/z(x)=x-lnx-2(x l),则(x)=l-=?0,所以函数/z(x)在(l,yo)上单调递增.因为 M3)=l-ln30,所以方程(x)=0在(1,-)上存在唯一实根修，司-lnx。-2=0且满足题3,4).当l x /时，h(x)0,即 g(x)0,gp gx)0,所以函数8(力=士 乎 在 上 单 调 递 减，在 伉，田)上单调递增.X-1所 以 凶 切 而 尸 小）=当臀=当守=犷（3,4）工 0-1 xo所以左

24、 O）,射线6 =。，d=（p-,与曲线G 分别交异于极点。的四点A,B,C,D.4 4 2（1）若曲线G 关于曲线C?对称，求a 的值，并把曲线G 和C?化成直角坐标方程；（2）求IOAHOCI+IO B H 8 I的值.【答案】（1）a=,C,:（X-1）2+（3；-1）2=2,C2:y=l,（2）4 0.x=pcosd【分析】（I）根 据 y=p s i n e 把 G、G 的方程化为直角坐标方程，又曲线G 关 于 曲 线 对 称，可2 2 2x+y=p得 直 线 经 过 圆 心 求 得“=i,故G 的直角坐标方程.（2）依题意表示出|0 4|、|。8|、IOCL O D,再根据两角差的

25、余弦公式计算可得.【详解】解：因为曲线G 的极坐标方程为0=2夜sin（e+f）,4即 p=2/2sin0 c o s+c o s s in,即/?=2sin+2cos，即 p2=2psn0+2/xos0,x=pcosd又T-s i n e ,所以f +=2y+2x,x2+y2=p2即曲线G 的直角坐标方程为（x T y+（y-iy=2.把 c?的方程化为直角坐标方程为y=。，因为曲线G 关于曲线G 对称，故直线y=”经过圆心（1,1），解得。=1,故C?的直角坐标方程为y=l.(2)由题意可得，|04|=2&sin卜+|,|OB|=2&sin(e+?=2/5cose,|OC|=2/2sin,

26、|。)|=2&sin(夕+?卜2/x s 夕+(所以|。4H oe|+|。郎|。)|=8sin(0 +sine+8cos+0)cos 0=8 co s5+e)一 9=8cos?=8x 等=4夜.2 3.已知函数/(x)=|2 x-a|+a .(1)若不等式/(x)4 6 的解集为 x|-2 4x 4 3 ,求实数。的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数使/()4 /(-)成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)a=l；(2)4,-).【解析】(1)原不等式可化为|2 x-。区 6-凡解得a-3 4 x 4 3.再根据条件可得。-3=-2,从而求得。的值.(2)由题意令8()=/()+/(-

27、)，根据函数9()=|2-1|+|2+1|+2=,2-4,n 2A1 14,n 得尹()的最小值，从而求得，”的范围.【详解】解：(1)由|2x-a|+aW 6得，|2 x-446-a,a-6 2 x-a 6 a,E|J a-3 x 3,由条件不等式/(x)&6的解集为x|-2KxW3a 3=-2,1 a=1(2)由(1)知/(x)=|2x l|+l,令*()=/()+/(-),则夕()=|2 -1|+12 +1|+2=2-4n,n 29()在上单调递减，在 上 为 常 数 函 数，在(f+s j 上单调递增，所以9()的最小值为4,存在实数n使/()成立，即存在实数n使/()+/(-)4机成立，所以9(”)而”加实数机的取值范围是 4,+8).【点睛】本题考查根据绝对值不等式的解集求参数，考查利用绝对值不等式求解存在性问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.