2023年江苏省南通市栟茶高考数学四模试卷含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如 图1,九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是:有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距

2、离三尺，问折断处离地面的高为（）尺.2.在棱长均相等的正三棱柱A B C =A 4 G中，。为B4的中点，E在A G上，且。尸_ L AG，则下述结论:A F =F G；平面D A G，平面A C GA ：异面直线A G与C O所成角为60 其中正确命题的C.3D.43.已知集合 A=y =l g s i n x+J g-d ,则/(x)=c o s 2x+2s i n A,x e A 的值域为()4.已知复数z =C=二，）（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）A.z的虚部为4B.复数二在复平面内对应的点位于第三象限C.z的共轨复数三=4一 2iD.恸=2石5.有一改形塔几何体由若干个正方

3、体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是（）A.8 B.7 C.6 D.46.已知全集。=区，集 合 例=x|-3x l ,N=x|x l ,则阴影部分表示的集合是（）A.-1,1 B.(-3,1 C.(F,3)U(1,+O D.(-3,-1)7.已知函数/（彳）=12+次+&其中0 4人K 4?c 0函数y =/（/W）的零点所在区间为A.B.(-1,0)C.C,4)D.(4,5)10.2已知双曲缚巧_ _22-1的渐近绣-片程为、6丫+上一。.U J i

4、 l/i（）4-1 U J n Jrvly j J A,d-V J 9 7 U U-2D.-3)D.-32A.273 B.y/3 C.D.473211.“哥德巴赫猜想“是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2 的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）1 1 3A.-B.-C.一5 3 512.已知等差数列 2 的前13项和为5 2,则（-2）%+”=（A.256 B.-256 C.3

5、2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。X 4-2,X -113.已 知/（幻=/-5,-1 314.设/（x）为定义在R 上的偶函数，当x 09 20 no x3,得 A =(0,3J,/(x)=co s 2x+2s i n x =2s i n 2x+2s i n x+l,令s i n x =t,.X G(0,3,.e(0,所以得g(t)=2+2r +l ,g 在上递增，在上递减，g(l)=l,g 1 =j ,所以3 3g G 1,-,即“X)的 值 域 为1,-故选A【点睛】本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题4.D【解析】利

6、用i的周期性先将复数z化简为z =T+2 i即可得到答案.【详解】4i +2 4i +2 4i +2因为i 2=1，/=,j 5=i，所以i的周期为4,故2=寿 亚=-=-4+2i,1 1 1故2的虚部为2,A错误；Z在复平面内对应的点为(-4,2),在第二象限，B错误；Z的共钝复数为1=-4 2i，C错误；Z|=J 5+2 2 =2石，D正确.故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轨复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.5.A【解析】则从下往上第二层正方体的棱长为：而不=4 0，从下往上第三层正方体的棱长为：,(22+(2厨=4,从下往上第四层正方体的棱

7、长为：亚万=2&，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8,则从下往上第二层正方体的棱长为：&+4 2 =限叵，从下往上第三层正方体的棱长为：J(2可+(2回=4,从下往上第四层正方体的棱长为：万寿 =2 0，从下往上第五层正方体的棱长为：J(可+(可=2,从下往上第六层正方体的棱长为：炉工=血,从下往上第七层正方体的棱长为:从下往上第八层正方体的棱长为:改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选：A.【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.6.D【解析】先求出集合N的补集e,再

8、求出集合M与Q N的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由。=R,N=x|x|,1,可得6 N=x|xl,XM=%|-3xl所以 A/cq,N=x|-3 c x T .故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.7.D【解析】/(2)12 4+2/?+c12/、1由1,，“，分别以 c为横纵坐标建立如图所示平面直角坐标系，由图可知，P(A/(-2)4 4-2/?+c 0时，/(x)的单调性和零点，令 x)=0,根据“xWO时,/(x)的取值范围”得到/(x)=2v+log3x-9 =3,利用零点存在性定理，求得函数y=/(/(x)的零点所在区间.【详解

9、】当xWO时,3/(%)4.当xNO时,/卜)=2*+地9幺-9=2*+1083%-9为 增 函 数,且/=0,则x=3是/(力唯一零点.由于“当xWO时，3/(x)4 ,所以令/(/(力)=。，得/(x)=2*+log3X-9=3,因 为 3)=08xl.414+log33-9=3.3123,所以函数y=/(/(x)的零点所在区间为3 a2/故选：A【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10.A【解析】2 2L根据双曲线方程三-4=1 确定焦点位置，再根据渐近线方程氐土y=O得 到=百 求 解.

10、4 b2a【详解】2 2因为双曲线工一与=1(人0),4 b2所以a=2,又因为渐近线方程为百x 土y=0,所以。=2=百，a 2所以6=2百.故选：A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.A【解析】列出所有可以表示成和为6 的正整数式子，找到加数全部为质数的只有3+3=6,利用古典概型求解即可.【详解】6 拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知，所求概率为故选：A.【点睛】本题主要考查了古典概型，基本事件，属于容易题.12.A【解析】利用等差数列的

11、求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详 解】由 3=1 3%=5 2,%=4,得（一2尸=（-2?=2 5 6.选 A.【点 睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，等差数列的等和性应用能快速求得结果.二、填空题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共2 0分。1 3.-1【解 析】先 求/（4），再 根 据/（4）的范围求出即可.【详 解】由题可知/（4）=1 0 8?4 =2,故/（4）=/（2）=2 2-5 =-1.故答案为：-1.【点 睛】本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.1 4.1【解 析】根 据/（x）为 定 义 在R上的偶函数，得/=/（T）

12、,再 根 据 当x0时，/（x）=2 +m 为 常 数）求解.【详 解】因 为/（x）为 定 义 在R上的偶函数，所以.=又 因 为 当x0时,f（x）=2x+m,所 以 l）=/（T）=2 T+?=所 以 实 数 机 的 值 为L故答案为：1【点 睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.1 5.a b-6|z|=VTo【解析】7:复数2=。一，且 一:=+bi1 +iQ _ I（Q Z）（l Z）（Q 1）（Q+l）j.-=-=-=l +/?z1 +z 2 21=b；.a b =-6,|Z|=732+(-1)2=7 1 0故答案为-6,Vio16.10【解析】先

13、求出a,b,根据分层抽样的比例引入正整数A表示，从而得出的最小值.【详解】由题意得，a=0 2。=8 0,由表可知，灯泡样品第一组有40个，第二组有60个，第三组有80个，第四组有20个，所以四个组的比例为2:3:4:1,所以按分层抽样法，购买的灯泡数为=2A+3A+4A+A=10(AeN*),所以的最小值为10.【点睛】本题考查分层抽样基本原理的应用，涉及抽样比、总体数量、每层样本数量的计算，属于基础题.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(I)见 解 析(I I)存在，此时N 为 的 中 点.【解析】(I)证明PE_L平面E 8 C D,得到平面PEB_L

14、平面E B C Q,故平面P8C J_平面PEB,EA/_L平面P B C,得到答案.(I I)假设存在点N 满足题意，过 M 作于。，平面E B C D,过。作 Q R L E N 于 R,连接MR,则 E N _LM R,过。作于R,连接M R,NMRQ是二面角8-硒M 的平面角，设PE=EB=BC=2,BN=x,计算得到答案.【详解】(I)V P E L E B,P E L E D,EBplED=E,，P_L平面 EBCD.又PE u平面P E B，二平面P E B，平面E B C D,而B C u平面EBCD,BC_LEB,，平面P3C_L平面PEB,由 P E=E B，P M =A

15、B 知 E M L P B,可知 A/_L平面 P8C,又EM u平面.平面EMN _L平面P8C.(I I)假设存在点N满足题意，过M作于0,由P E L E B 知 PE/MQ,易证PEL平面E B Q 9,所以平面EBCD,过。作QR_LEN于R,连接M R,则(三垂线定理)，即Z M R Q是二面角6 EN M的平面角，不妨设P E=E B=B C =2,则MQ=1,B N E N在 RtAEBN 中，设 B N =x(0 x (p=k7 l+-,AGZ;co 6 2 2 6,_ _ 7 ta)7 ta _ T 71 71 71 2 7t 2 n ，、一由得，-(p=mTi=6?=m7

16、 i-,m e Z -=0 y3；4 4 2 2 6 3 CD 3若成立，则 y =2,(p 检,/(x)=s i n(2 x+?),jrm jr若成立，则。=加 万-=m7 r，m e Z,不合题意，4 2若成立，则br +工 卫=根 乃 型=。=1 2(加一口一6 N6,m,k e Z,2 6 4与 中 的0 口 3矛 盾，所以不成立，所以只有成 立，/(x)=s i n2 x +?J.TT TT 7 T S 7 7 !(II)由题意得，0无 生=2 +b0),a2 b2则。=4，c=2/3，：.b=a2 c2=292 2所以曲线c的 方 程 为 二+=1.1 6 4(2)设直线/：y=k

17、x+m(%力士),2由y=kx+m/,o,9 消去y,可得(l+422)%2+8初吠+4“6=o.x+4y=16 7因为直线/总与椭圆c有且只有一个公共点,所以 =643加2 一 4(1 +4左 2)(4，/一 1 6)又由=0，m2=16k2+4-0y=kx+mX-2尸。可得P2m m1一2门一 2k同理可得Q-2m m1+2-1+2/由原点o到直线PQ的距离为d=h+k2 和 I PQ|=Jl+A H -X。卜将代入得SAOPQ=2m24k2+14左2 一 12m 2m-1-2k 1 +2 左2m21-4A:2.1 软28*WI 时，5咏=8（族Ab2 口+1上、8C0 +市2力 8,综上

18、，。尸。面积的取值范围是（8,+8）.【点睛】此题考查了轨迹和直线与曲线相交问题，轨迹通过已知条件找到几何关系从而判断轨迹，直线与曲线相交一般联立设而不求韦达定理进行求解即可，属于一般性题目.20.a=2+0【解析】将圆夕=2 sin e和直线+=1化成普通方程.再根据相切，圆心到直线的距离等于半径，列等式方程，解方程即可.【详解】解:将圆夕=2。sin。化成普通方程为F +y2=2ay，整理得x2+(y-a)1=a2.将直线0cos(e+?)=l 化成普通方程为la+V2I因为相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 1=aV2解得 a=2+V I.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，

19、考查直线与圆的位置关系，是基础题.21.(1)降低！(2)-5 6【解析】(1)计算出罚金定为10元时行人闯红灯的概率，和不进行处罚时行人闯红灯的概率，求解即可；(2)闯红灯的市民有80人，其中A 类市民和3 类市民各有40人，根据分层抽样法抽出4 人依次排序，计算所求的概率值.【详解】40 1解：(1)当罚金定为10元时，行 人 闯 红 灯 的 概 率 为 诉=；Q Q 7不进行处罚，行人闯红灯的概率为砺=1；2 1 1所以当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低-二=二；(2)由题可知，闯红灯的市民有80人，A 类市民和B 类市民各有40人故分别从A 类市民和3 类市民各抽出

20、两人，4 人依次排序记 A 类市民中抽取的两人对应的编号为L2,3 类市民中抽取的两人编号为3,4则 4 人依次排序分别为(1,2,3,4),(1,2,4,3),(1,3,2,4),(1,3,4,2),(1,4,3,2),(1,4,2,3),(2,1,3,4),(2,1,4,3),(2,3,1,4),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(2,4,3)，(3,1,2,4),(3,1,4,2),(3,2,1,4),(3,2,4,1),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,1,3,2),(4,2,3),(4,2,3)，(4,3,1,2),(4,3,2,1),共有 24

21、 种前两位均为8 类市民排序为(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,3,1,2),(4,3,2,1),有 4 种，所以前两位均为8 类市民的概率是P=24 6【点睛】本题主要考查了计算古典概型的概率，属于中档题.22.1【解析】试题分析：由柯西不等式得3。+2 3b+2 3c+2(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)2 力(3a+2)(30+2)(3c+2)3(3a+2)(3Z?+2)(3c+2)=9,所以-1-1-3。+2 3b+2 3c+21试题解析：因 为4 c均为正数，且 7 +6+C=1,所以(3a+2)+(3Z?+2)+(3c+2)=9.于 是 由 均 值 不 等 式 可 知(卷+羡+)(3“+2)+(3 2)+(3,+2)2%(3a+2)(3上+2)(3。+2)3(3a+2)(33+2)(3。+2)=9,当且仅当a=%=c=J 时，上式等号成立.3从而一+一 +一21.3a+2 3b+2 3c+2故-1 -1-3a+2 3b+2 3c+2的最小值为1.此时a=/?=c23考点：柯西不等式